aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten Kansdefinitie van Laplace aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten P(gebeurtenis) = je mag deze regel alleen gebruiken als alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn bij een verkeerslicht zijn de uitkomsten rood, oranje en groen niet even waarschijnlijk, want het verkeerslicht staat langer op rood dan op oranje dus P(oranje) is niet gelijk aan ⅓ bij het gooien met een dobbelsteen is elk van de 6 uitkomsten even waarschijnlijk dus P(meer dan 4 ogen) = 2/6 = ⅓ hierbij zijn 5 en 6 ogen gunstig hiermee is de kans exact berekend, bij een exact antwoord mag je niet benaderen 4.1

Kansschaal 4.1

opgave 3 Bastiaan gooit met 2 dobbelstenen. Bereken de kans op: a verschil is 2 8 gunstige uitkomsten 36 mogelijke uitkomsten P(verschil is 2) = 8/36 = 2/9 b product is 12 4 gunstige uitkomsten P(product is 12) = 4/36 = 1/9 c product minder dan 30 33 gunstige uitkomsten P(minder dan 30) = 33/36 = 11/12 d verschil is minder dan 2 16 gunstige uitkomsten P(verschil minder dan 2) = 16/36 = 4/9 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 alles behalve (5,6), (6,5) en (6,6)

Samengestelde kansexperimenten Het gooien met een dobbelsteen is een voorbeeld van een kansexperiment. Kenmerkend voor een kansexperiment is dat de uitkomst niet van te voren vastligt. voorbeelden zijn : het gooien met een dobbelsteen en een geldstuk het gooien met 2 dobbelstenen het gooien met 3 geldstukken het kopen van 3 loten in een loterij. Het aantal gunstige uitkomsten bij een samengesteld kansexperiment met dobbelstenen of geldstukken krijg je bij : 2 kansexperimenten met een rooster 3 of meer experimenten met systematisch noteren en/of handig tellen. 4.1

Samengestelde kansexperimenten Heb je met meer dan 2 experimenten te maken, dan bereken je kansen als volgt : bereken het aantal mogelijke uitkomsten tel het aantal gunstige uitkomsten door deze systematisch te noteren en/of handig te tellen deel het aantal gunstige door het aantal mogelijke uitkomsten Zo krijg je bij een worp met 3 dobbelstenen en de gebeurtenis ‘som van de ogen is 15’ aantal mogelijke uitkomsten is 6 x 6 x 6 = 216 aantal gunstige uitkomsten is 10, namelijk 555 663 , 636 , 366 654 , 645 , 546 , 564 , 456 , 465 dus P(som is 15) = 1 + 3 + 6 10 5 = = 216 216 108 4.1

v dc 500 50 opgave 12 a de vliegreis wint P(vliegreis) = 1/36 = 0,028 b de troostprijs wint P(troostprijs) = 12/36 = 0,333 c prijswaarde minstens 550 euro P(minstens 550 euro) = 5/36 = 0,139 d niets wint P(niets) = 13/36 = 0,361 v dc 500 50

Empirische en theoretische kansen Wet van de grote aantallen Door een kansexperiment heel vaak uit te voeren, komt de relatieve frequentie van een gebeurtenis steeds dichter bij de kans op die gebeurtenis te liggen. 1 Empirische kansen v.b. : P(meisje bij geboorte) en P(punaise met punt omhoog) empirisch betekent ‘op ervaring gegrond’ Empirische kansen krijg je door een groot aantal waarnemingen te gebruiken. Empirische kansen bereken je door relatieve frequenties te gebruiken. 2 Theoretische kansen Bij veel kansexperimenten kun je van te voren zeggen wat de kans op een gebeurtenis is. v.b. : P(6 ogen) bij een worp van een dobbelsteen is 1/6 Je gebruikt de kansdefinitie van Laplace. 3 Subjectieve kans Hoe groot is de kans dat voor 2010 je sneller loopt dan 9 seconden over de 100m. ?  onmogelijk 4.2

aantal fietsers per minuut 5 6 7 8 9 10 frequentie 15 20 4 3 opgave 17 aantal fietsers per minuut 5 6 7 8 9 10 frequentie 15 20 4 3 a de telling duurde 15 + 20 + 8 + 10 + 4 + 3 = 60 minuten totaal = 5×15 + 6×20 + 7×8 + 8×10 + 9×4 + 10×3 = 397 fietsers b P(er passeren 5 per minuut)  empirische kans schatting = 15/60 = 0,25 c P(op een dag minder dan 8 fietsers per minuut) = 15 + 20 + 8 43 = ≈ 0,72 60 60

opgave 18 0,25 0,2 0,2 0,2 0,15 0,15 0,05 a P(meer dan 3 minuten te laat) ≈ 0,2 + 0,2 = 0,4 b P(minstens 2 minuten, niet meer dan 4 minuten) ≈ 0,15 + 0,25 + 0,2 = 0,6 c P(minder dan 2 minuten te laat) ≈ 0,15 + 0,05 = 0,2

Simuleren Door een kansexperiment voortdurend te herhalen kun je kansen schatten. Dat is echter een tijdrovend karwei. b.v. : de kans dat bij een vliegtuig de automatische piloot uitvalt Dit soort kansexperimenten gaat men simuleren (nabootsen) met de computer. Door vervolgens relatieve frequenties te berekenen, schat je kansen. De grafische rekenmachine heeft opties om toevalsgetallen te genereren. 4.2

Simuleren met de GR TI MATH-PRB-menu  randInt met randInt(1,6,10) krijg je 10 gehele toevalsgetallen van 1 t/m 6 Casio OPTN-NUM-menu  Intg en OPTN-PROB-menu  Ran# met Intg(4Ran# + 1) krijg je 1 van de getallen van 1, 2, 3 of 4 4.2

opgave 25 Bij een spel kan Rob per keer € 2 winnen, € 1 winnen, quitte spelen, € 1 verliezen en € 2 verliezen elke mogelijkheid heeft dezelfde kans Rob begint met € 20 Schat m.b.v. een simulatie de kans dat Rob na 10 spelletjes minstens € 25 bezit Selecteer de Random generator en kies bij instellingen. van -2 tot 2 Aantal getallen per experiment 10 Vink gemiddelde aan Voer het experiment een aantal keren uit en tel hoeveel keer het gemiddelde minstens gelijk is aan 0,5. De relatieve frequentie van deze gebeurtenis geeft een schatting van de gevraagde kans.

Bij een voorwaardelijke kans beperk je je tot een deelgroep je moet dan delen door de frequentie van die deelgroep. afspraak : ‘bereken de kans op ……’  rond je af op 3 decimalen Kruistabellen Heb je bij onderzoeksresultaten te maken met 2 kenmerken, dan is het verstandig de gegevens in een kruistabel te verwerken. vervolgens zijn allerlei kansberekeningen eenvoudig te maken Onafhankelijke gebeurtenissen De gebeurtenissen A en B zijn onafhankelijk als P(A onder voorwaarde B) = P(A) gebeurtenis B heeft geen invloed op gebeurtenis A  onafhankelijk gebeurtenissen die niet onafhankelijk zijn  afhankelijk 4.3

leeftijd 15 16 17 krantenwijk 15 3 3 3 1 19 supermarkt 10 10 4 2 16 16 opgave 30 leeftijd a P(geen bijbaantje) = ≈ 0,402 b P(ouder dan 15) = ≈ 0,402 c P(krantwijk+16) = ≈ 0,0307 d P(16j. heeft krant) = ≈ 0,167 e P(supermarktwerker is 15) = ≈ 0,625 f P(jonger dan 17 en geen krantenw.) = ≈ 0,731 g P(16j. met bijbaan werkt in supermarkt) = ≈ 0,500 15 16 17 krantenwijk 15 3 3 3 1 19 + supermarkt 10 10 4 2 16 16 3 overige 6 1 7 14 82 geen 18 10 5 33 33 3 49 18 18 18 15 15 82 82 82 82 18 10 16 10 + 4 + 6 + 1 + 18 + 10 49 + 18 4 3 + 4 + 1

Machine I II III totaal defect 0,55 0,6 0,45 0,45 1,60 1,60 in orde opgave 36 Machine 1% van 55 = 2% van 30 = 3% van 15 = I II III totaal defect 0,55 0,6 0,45 0,45 1,60 1,60 in orde 54,45 29,4 14,55 98,40 aandeel 55 30 15 100 0,45 P(defecte buis is door III gemaakt) = ≈ 0,281 1,60 P(buis is door III gemaakt onder voorwaarde dat deze defect is) = P( III | defect )

opgave 37 2% van 2 = 98% van 2 = P N Totaal T 1,96 2 0,04 T 99,98 9898,02 9998 aandeel 101,94 9898,06 10000 P(T | P) = 1,96 / 101,94 ≈ 0,0192 0,0192 x 50 =0,96 dus 1 persoon. 1% van 9998 = 99% van 9998 =

51 9 opgave 39 a A niet A totaal Rh+ x 170 Rh- 30 60 140 200 BLOEDGROEP a A niet A totaal Rh+ x 170 Rh- 30 60 140 200 51 9 er geldt P(Rh + onder de voorwaarden A) = P(Rh+) dus x = x 170 = 60 200 60 · 170 = 51 200 9 b P(bloedgroep A en Rh-) = ≈ 0,045 c P(met Rh+ heeft A) = ≈ 0,3 200 51 170

Combinaties is bij het kiezen van 4 dingen uit 7 dingen de volgorde niet van belang, dan spreken we van het aantal combinaties van 4 uit 7 het aantal combinaties van 4 uit 7 noteren we als spreek uit : 7 boven 4 het aantal combinaties van 4 uit 7, dus het aantal manieren om 4 dingen te kiezen uit 7 dingen zonder op de volgorde te letten, is 7 4 7 4 4.4

Kansen en combinaties Ook bij het pakken van knikkers uit een vaas heb je met combinaties te maken. P(2r, 2w, 1b) = ? Volgens de kansdefinitie van Laplace is die kans Het aantal mogelijke uitkomsten is het aantal manieren om 5 knikkers uit de totaal 15 knikkers te pakken. Dat kan op manieren. Het aantal gunstige uitkomsten is het aantal manieren om 2r uit de 8r, 2w uit 4w en 1b uit 3b te pakken. Dat kan op P(4r, 1w, 2b) = ≈ 0,168 aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten P(G) = 15 5 8 2 4 2 3 1 . . manieren 2+2+1=5 8 2 4 2 3 1 8+4+3=15 . . 15 5 4.4

Het vaasmodel bij veel kansberekeningen kan het handig zijn het kansexperiment om te zetten in het pakken van knikkers uit een geschikt samengestelde vaas  vaasmodel 4.4

opgave 51 probleem Gloeilampen in dozen van 20 stuks. Willekeurig worden 4 lampen uit de doos gecontroleerd. Alle 4 goed dan wordt de doos goedgekeurd. In een doos zitten precies 2 defecte lampen. vaasmodel Vaas met 20 knikkers waarvan 2 rood (de defecte lampen) en 18 groen. antwoord P(goedkeuring) = P(4 goed) = 18 4 ≈ 0,632 20 4

opgave 52 probleem In een restaurant zijn bij de ingang 20 kapstokken. Er komt een gezelschap van 18 personen binnen. Willekeurig worden de jassen opgehangen. Hoe groot is de kans dat de kapstokken 3 en 12 leeg blijven. vaasmodel Vaas met 20 knikkers waarvan 2 rood (de nummers 3 en 12) en 18 groen. antwoord P(3 en 12 blijven leeg) = 2 0 18 18 . ≈ 0,005 20 18

opgave 53 probleem 500 appels wordt verpakt in 20 dozen van elk 25 stuks. Bij deze 500 appels zijn er 10 met een rotte plek. Bereken de kans dat alle appels in de doos gaaf zijn. vaasmodel Vaas met 500 knikkers waarvan 10 rood (de appels met een rotte plek) en 490 groen, je pakt 25 knikkers uit de vaas. antwoord P(alle appels gaaf) = P(geen rode) = 490 25 ≈ 0,596 500 25

De somregel Als de gebeurtenissen geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben, dus als de gebeurtenissen elkaar uitsluiten. Hebben twee gebeurtenissen wel gemeenschappelijke uitkomsten, dan geldt de somregel niet. Zo is P(som is 4 of product is 4) niet gelijk aan, P(som is 4) + P(product is 4) want de gebeurtenissen ‘som is 4’ en ‘product is 4’ hebben de uitkomst  gemeenschappelijk Voor elkaar uitsluitende gebeurtenissen G1 en G2 geldt de somregel : P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2) 4.5

opgave 58 In een vaas zitten 4 rode, 2 blauwe en 4 groene knikkers, Nancy pakt 3 knikkers uit de vaas. a P(2 of 3 rood) = P(2 rood) + P(3 rood) b P(minder dan 2 groen) = P(0 groen) + P(1 groen) 4 2 6 1 4 3 6 0 . . = + ≈ 0,333 10 3 10 3 4 0 6 3 4 1 6 2 . . = + ≈ 0,667 10 3 10 3

18 11 29 29 13 3 16 24 6 2 8 37 16 53 mannen vrouwen 0-<5 km opgave 61a mannen vrouwen Bij een onderzoek naar de vergoeding van reiskosten worden 10 personen ondervraagd. 0-<5 km 18 11 29 29 5-<10 km 13 3 16 24 10 km > 6 2 8 37 16 53 P(meer dan 8 ondervraagden vlakbij het bedrijf) = P(9 wonen dichtbij) + P(10 wonen dichtbij) = 29 9 24 1 29 10 24 0 . . + ≈ 0,013 53 10 53 10

18 11 29 13 3 16 6 2 8 37 37 16 16 53 mannen vrouwen 0-<5 km opgave 61b mannen vrouwen Bij een onderzoek naar de vergoeding van reiskosten worden 10 personen ondervraagd. 0-<5 km 18 11 29 5-<10 km 13 3 16 10 km > 6 2 8 37 37 16 16 53 P(minder dan 3 vrouwen) = P(0 vrouwen) + P(1 vrouw) + P(2 vrouwen) = 16 0 37 10 16 1 37 9 16 2 . 37 8 . . + + ≈ 0,358 53 10 53 10 53 10

18 11 29 13 3 16 5 6 2 8 37 16 53 mannen vrouwen 0-<5 km opgave 61c mannen vrouwen Bij een onderzoek naar de vergoeding van reiskosten worden 10 personen ondervraagd. 0-<5 km 18 11 29 5-<10 km 13 3 16 5 10 km > 6 2 8 37 16 53 P(2 vrouwen die 5 km of meer van het werk afwonen) = P(2 vrouwen uit 5 en de andere 8 mensen uit de overgeblevenen 48) = 5 2 . 48 8 ≈ 0,194 53 10

De complementregel P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1 P(minder dan 8 witte) = P(0 w) + P(1 w) + P(2 w) + P(3 w) + P(4 w) + P(5 w) + P(6 w) + P(7 w) = 1 – P(8 witte) P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1 P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis) 4.5

opgave 67 Vaas met 50 knikkers waarvan 4 rood (de glazen met een barst) hieruit worden 5 knikkers gepakt (de doos die Aafke pakt). a P(minstens 1 glas met barst) = 1 – P(geen enkel glas met barst) = 1 – b P(alle kapotte glazen in deze doos) = 4 0 46 5 . ≈ 0,353 50 5 4 4 46 1 . ≈ 0,00002 50 5

opgave 70a Vaas met 30 knikkers waarvan 20 rood (minder dan 10 km van school). P(minstens 6 minder dan 10 km van school) = P(6) + P(7) + P(8) = 20 6 10 2 20 7 . 10 1 20 8 10 0 . . + + ≈ 0,452 30 8 30 8 30 8

opgave 70b Vaas met 30 knikkers waarvan 12 rood (de jongens). P(minder dan 7 jongens) = 1 - P(7 jongens of 8 jongens) = 12 7 . 18 1 12 8 18 0 . + ≈ 0,997 30 8 30 8

Vaas met 30 knikkers waarvan 13 rood . opgave 70c Vaas met 30 knikkers waarvan 13 rood . (de meisjes die minder dan 10 km van school wonen) P(3 meisjes die minder dan 10 km van school wonen) = 13 3 17 5 . ≈ 0,302 30 8