vwo B Samenvatting Hoofdstuk 1

Algebraïsch oplossen van tweedegraadsvergelijkingen 1 het type x² = getal 2 ontbinden in factoren 3 de abc-formule 1.1

1 x² = getal x = √getal v x = - √getal a x² = positief getal vb.1 x² = 7 x = √7 v x = - √7 vb.2 x² = -16 x = √-16  k.n. heeft dus geen oplossingen vb.3 (x + 5)² = 16 x + 5 = √16 v x + 5 = - √16 x + 5 = 4 v x + 5 = -4 x = 4 – 5 v x = -4 – 5 x = -1 v x = -9 a x² = positief getal 2 oplossingen b x² = 0 x = 0  1 oplossing c x² = negatief getal k.n.  geen oplossing 1.1

2 Ontbind in factoren voorbeeld 1 prod=+15 +1 +15 -1 -15 +3 +5 -3 -3 a maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengen b vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijk c ontbind het linkerlid in factoren d A · B = 0  A = 0 v B = 0 voorbeeld 1 x² - 3x = 5x – 15 x² - 3x – 5x + 15 = 0 x² - 8x + 15 = 0 ( x – 3 )( x – 5 ) = 0 x – 3 = 0 v x – 5 = 0 x = 3 v x = 5 ad a prod=+15 opgeteld = -8 ad b +1 +15 ad c product = +15 -1 -15 ad d +3 +5 ad d -3 -3 -5 -5 1.1

3 De abc-formule Bij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc – formule als ontbinden in factoren niet lukt. de vergelijking eerst gelijk aan 0 stellen x = - b + √D v x = - b - √D 2a 2a D = b² - 4ac D > 0  2 oplossingen D = 0  1 oplossing D < 0  0 oplossingen 1.1

∙ ∙ ∙ Vergelijkingen met een parameter x x x in de vergelijking -x² + 5x + p = 0 heet p een parameter met behulp van de parameter p worden oneindig veel vergelijkingen genoteerd je onderscheidt 3 situaties : 2 oplossingen, 1 oplossing of geen oplossing y = -x² + 5x – 6¼ x ∙ x de vergelijking -x² + 5x – 4 = 0 heeft 2 oplossingen dus de parabool y = -x² + 5x – 4 snijdt de x-as in 2 punten de vergelijking -x² + 5x – 6¼ = 0 heeft 1 oplossing dus de parabool y = -x² + 5x – 6¼ raakt de x-as de vergelijking -x² + 5x – 8 = 0 heeft geen oplossingen dus de parabool y = -x² + 5x – 8 ligt geheel onder de x-as ∙ ∙ x y = -x² + 5x – 4 y = -x² + 5x – 8 1.1

Wortels x² = 10 x = √10 v x = - √10 kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffen √10 = 2 √10 √10 = 10 √10 ≈ 3,16 (√10)² = 10 daarom heet √10 ook wel de tweedemachtswortel van 10 GR 1 y1 = x2 en y2 = 10 plotten  intersect coördinaten v/h snijpunt 2 optie x √ gebruiken 1.2

Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden. 1.2

grafiek is puntsymmetrisch in (0, 0) 1 p is positief ( n = oneven ) er is één oplossing x = p = n √ p n = oneven grafiek is puntsymmetrisch in (0, 0) x³ = 3 x = 3 x ≈ 1,44 1,44 1.2

2 p is negatief ( n = oneven ) er is één oplossing x = p = n √ p -1,44 1.2

grafiek is lijnsymmetrisch in de y-as 3 p is positief ( n = even ) er zijn twee oplossingen x = p = n √ p v x = -p = - n √ p x4 = 3 x = 3¼ x ≈ 1,32 v x ≈ -1,32 n = even grafiek is lijnsymmetrisch in de y-as -1,32 1,32 1.2

4 p is negatief ( n = even ) er zijn geen oplossingen x4 = -3 x = -3¼ Er is geen oplossing 1.2

Modulusvergelijkingen er zijn 2 getallen op de getallenlijn met afstand 4 tot 0 dat zijn -4 en 4 we zeggen dat de modulus van 4 gelijk is aan 4 en dat de modulus van -4 gelijk is aan 4 notatie : |5| = 5 en |-5| = 5 i.p.v. modulus zeggen we ook wel absolute waarde dus de absolute waarde van -7 is 7 |x| is de absolute waarde ofwel de modulus van x |x| is de afstand van het getal x tot o op de getallenlijn |x| = afstand = 4 afstand = 4 -4 -4 x als x ≥ 0 -x als x < 0 1.2

Wortelvergelijkingen oplossen opgave 33a 2x + √x = 10 √x = 10 – 2x x = (10 – 2x)2 x = 100 – 40x + 4x2 -4x2 + 40x + x – 100 = 0 -4x2 + 41x – 100 = 0 D = (41)2 – 4 · -4 · -100 D = 81 x = x = 6¼ v x = 4 isoleer de wortelvorm kwadrateer het linker- en het rechterlid los de vergelijking op -4 ± √81 -8 controleer of de oplossingen kloppen voldoet niet voldoet 1.3

Substitutie bij wortelvergelijkingen opgave 36a x3 + 30 = 11x √x x3 – 11x √x + 30 = 0 stel x √x = p p2 – 11p + 30 = 0 (p – 6)(p – 5) = 0 p – 6 = 0 v p – 5 = 0 p = 6 v p = 5 x √x = 6 v x √x = 5 x2 · x = 36 v x2 · x = 25 x3 = 36 v x3 = 25 x = 3 √36 v x = 3 √25 -6 - 5 = -11 en -6 · -5 = 30 kwadraat voldoet voldoet 1.3

Gebroken vergelijkingen Regels voor het algebraïsch oplossen van gebroken vergelijkingen = 0 geeft A = 0 = geeft A = C = geeft A = 0 v B = C = geeft AD = BC A B 0 1 = 0 = kan niet een breuk is nul als de teller nul is en de noemer niet A B C B 1 0 A B A C 0 0 A B C D 0 5 controleer of geen noemer nul wordt 1.3

Lineaire vergelijking met twee variabelen algemene vorm ax + by = c grafiek is een rechte lijn vb.1 2y + 3x = 8 om de grafiek te plotten moet je eerst y vrijmaken 2y = -3x + 8 y = -1½x + 4 voer in y1 = -1½x + 4 je kunt de grafiek ook tekenen zonder de formule in te voeren in de GR snijpunt met de y-as is (0, 4) rc = -1½ of je gebruikt de formule 2y + 3x = 8 je maakt een tabel met 2 punten vul bijv. x = 0 en x = 2 in dan krijg je de punten (0, 4) en (2, 1) teken de punten en de lijn y 4 ● ● : 2 -1½ 3 ● 2 1 ● x -1 1 2 3 4 -1 1.4

Stelsels vergelijkingen vb.2 gegeven zijn de lijnen f : 2y + x = 4 en g : y – 3x = -5 het punt (2, 1) is het snijpunt van de lijnen of (2, 1) is de oplossing van 2y + x = 4 als van y – 3x = -5 we zeggen dat (2, 1) de oplossing is van het stelsel 2y + x = 4 y – 3x = -5 y 4 g 3 f 2 1 ● x -1 1 2 3 4 -1 1.4

Algebraïsch oplossen van een stelsel vergelijkingen 2y + x = 4 y – 3x = -5 3 1 stap 1: kan elimineren door optellen? + - stap 2: kan elimineren door aftrekken? 3y – 2x = -1 y + 4x = 9 nee nee stap 3: kan elimineren door eerst te vermenigvuldigen en dan optellen of aftrekken ? x geëlimineerd 6y + 3x = 12 y – 3x = -5 + invullen 7y = 7 y = 1 : 7 y = 1 2y + x = 4 2 · 1 + x = 4 2 + x = 4 x = 2 - 2 maakt niet uit welke vergelijking de oplossing is (2, 1) 1.4

De vergelijking x² = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen 1 algebraïsch x² = 2x + 3 x² - 2x – 3 = 0 ( x + 1 )( x - 3 ) = 0 x + 1 = 0 v x - 3 = 0 x = -1 v x = 3 prod= -3 +1 +1 -3 -3 -1 +3 1.5

2 grafisch-numeriek (m.b.v. GR) f(x) = 0  nulpunten berekenen optie zero of ROOT 2 grafisch-numeriek (m.b.v. GR) de oplossingen van de vergelijking x² = 2x + 3 zijn de x-coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = x² en g(x) = 2x + 3 voer in y1 = x² en y2 = 2x + 3 optie intersect geeft x = -1 v x = 3 1.5

Grafisch-numeriek y 10 8 6 4 2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x -2 y2 -4 -6 x² = 2x + 3 y1 = x² y2 = 2x + 3 optie intersect x = -1 v x = 3 6 4 2 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 3 4 x -2 y2 -4 -6 1.5