Laplace transformatie SYMO Laplace transformatie

terugblik vorige week HL1 - inleiding - definitie - functies transformeren - afgeleiden transformeren - differentiaalvergelijkingen transformeren

programma vandaag (HL2) - oplossingen oefenopgaven - systemen doorrekenen - overdrachtsfuncties - responsies

oplossingen oefenopgaven functies transformeren: 1. f(t) = t2 F(s) = 2/s3 2. g(t) = 2- t3 G(s) = 2/s – 6/s4 3. h(t) = 1 - 3e-t H(s) = 1/s – 3/(1+s) 4. r(t) = sin(4t) R(s) = 4/(s2+16) 5. q(t) = sin(4t) + cos(4t) Q(s) = 4/(s2+16) + s/(s2+16) = (4+s)/(s2+16)

oplossingen oefenopgaven (vervolg) transformeer de volgende DV en los op: f(t) + f’(t) = t met f(0) = 1 F(s) + s·F(s) – 1 = 1/s2 ofwel F(s) = (1+ 1/s2)/(s+1) = (s2+1)/(s2·(s+1)) = 2/(s+1) + 1/s2 -1/s terugtransformeren levert nu weer y(t) = 2e-t + t - 1

oplossingen oefenopgaven (vervolg) transformeer de volgende DV en los op: 7. g(t) + g’’(t) = 0 met g(0) = 0 en g’(0) = 1 G(s)+s2·G(s)-1=0 ofwel G(s) = 1/(s2+1) terugtransformeren levert g(t) = sin(t)

de overdrachtsfunctie overdrachtsfunctie van een systeem H(s) = Y(s)/X(s) hierbij is X(s) de getransformeerde van de input x(t) en Y(s) de getransformeerde van de output y(t); y(t) wordt ook wel de responsie genoemd x(t) genereert y(t)

systeem met input en output in t-domein x(t) y(t) Het systeem wordt bijvoorbeeld beschreven door een DV. De functie y(t) is dan de oplossing van de DV (en x(t) is het inhomogene deel van de DV, rechts van het =teken). systeem

systeem met input en output in s-domein X(s) Y(s) Nu geldt: Y(s) = H(s)·X(s) H(s)

systeem met input en output in t-domein x(t) y(t) Het systeem wordt voor t>0 bijvoorbeeld beschreven door de DV: y + 3y’ = x met x(t) = 5 (stapfunctie) en y(0) = 0 De functie y(t) is de oplossing van de DV (incl. beginvoorwaarde). Deze is y(t) = 5-5·e-t/3 eerste orde systeem

systeem met input en output in s-domein X(s) Y(s) Nu geldt: Y(s) = H(s)·X(s) = X(s)/(1+3s) 1/(1+3s)

eerste orde systeem X(s) Y(s) K/(1+τ·s) K: statische procesversterkingsfactor τ: tijdconstante DV: τ·dy/dt + y(t) = K·x(t) K/(1+τ·s)

responsie De responsie is de functie (y(t), ook wel output genoemd) die het gedrag van het systeem beschrijft bij input x(t). Berekening van y(t) bij gegeven overdrachtsfunctie H(s) van het systeem gaat als volgt.

berekening van de responsie 1. transformeer de input x(t) tot X(s) (Laplace transformatie) 2. bereken Y(s) = H(s)·X(S) 3. transformeer Y(s) terug tot y(t) (inverse Laplace transformatie)

voorbeeld eerder (drie sheets terug) hadden we: Y(s) = H(s)·X(s) = X(s)/(1+3s) stel x(t) = 0 voor t<0 en x(t) = 8,0 voor t>0 (stapvormige input), dan geldt X(s) = 8/s en Y(s) = (8/s)/(1+3s) = 8/s – 8/(s+1/3) terugtransformeren levert y(t) = 8 - 8·e-t/3 = 8·(1-e-t/3)

impulsvormige input impuls: kortdurende hoge input Dirac-functie x(t) = δ(t) eigenschappen: ∫ δ(t)dt = 1 en X(s) = L(δ(t)) = 1 ‘grotere’ piek, bijv.: x(t) = 3·δ(t) ∫ 3·δ(t)dt = 3 verschoven piek, bijv. op t=4: x(t) = δ(t-4)

impulsresponsie berekening van impulsresponsie Y(s) = H(s)·X(s) = H(s) dus y(t) = Linv(H(s))

voorbeeld eerder (zes sheets terug) hadden we: Y(s) = H(s)·X(s) = X(s)/(1+3s) stel x(t) = δ(t) (impulstapvormige input), dan geldt X(s) = 1 en Y(s) = 1/(1+3s) terugtransformeren levert y(t) = (1/3)·e-t/3

blokschema X ± Y Y = (1/s)·(1/s)·(X-Y) 1/s 1/s

overdrachtsfunctie Y = (1/s)·(1/s)·(X-Y) s2·Y = X – Y Y·(s2 +1) = X H = Y/X = 1/(s2 +1)

blokschema X ± Y H = Y/X = 1/(s2 +1) 1/s 1/s

equivalent blokschema X(s) Y(s) opdracht: bereken responsies voor x(t) = 1 x(t) = t x(t) = δ(t) 1/(s2+1)

oplossing H = Y/X = 1/(s2 +1) responsie voor a. x(t) = 1 X(s) = 1/s Y(s) = 1/(s·(s2 +1)) = 1/s – s/(s2 +1) y(t) = 1 – cos(t)

oplossing H = Y/X = 1/(s2 +1) responsie voor b. x(t) = t X(s) = 1/s2 Y(s) = 1/(s2·(s2 +1)) = 1/s2 – 1/(s2 +1) y(t) = t – sin(t)

oplossing H = Y/X = 1/(s2 +1) responsie voor c. x(t) = δ(t) X(s) = 1 Y(s) = 1/(s2 +1) y(t) = sin(t)

oefenopgaven 9. Een systeem heeft DV: y’’ + y’ + y = x Geef de overdrachtsfunctie van dit systeem. 10. Een eerste orde systeem heeft K = 10 en τ = 3,0 s. Bereken de responsie voor x(t) = 4,0 (stapfunctie) 11. Een tweede orde systeem heeft H(s) = s/(s2 +1) Bereken de impulsresponsie met x(t) = 7·δ(t)

oplossingen 9. Een systeem heeft DV: y’’ + y’ + y = x Geef de overdrachtsfunctie van dit systeem. We transformeren de DV, waarbij de beginvoorwaarden buiten beschouwing worden gelaten: s2·Y + s·Y + Y = X H = Y/X = 1/(s2+s+1)

oplossingen (vervolg) 10. Een eerste orde systeem heeft K = 10 en τ = 3,0 s. Bereken de responsie voor x(t) = 4,0 (stapfunctie) Y=H·X= 10/(1+3·s)·(4/s) = 40/s – 40/(1/3 + s) terugtransformeren levert y(t) = 40 – 40·e-t/3

oplossingen (vervolg) 11. Een tweede orde systeem heeft H(s) = s/(s2 +1) Bereken de impulsresponsie met x(t) = 7·δ(t) Y = H·X = s/(s2 +1) · (7) = 7s/(s2 +1) terugtransformeren levert y(t) = 7·cos(t)

extra oefenopgaven 12. Gegeven is de DV y’’ - y = t met beginvoorwaarden y(0) = 0 en y’(0) = 2. Bereken y(t) m.b.v. Laplace transformatie. 13. Gegeven is de overdrachtsfunctie van een systeem: H(s) = s2 /((s2 +1)·(s2 +2)) Bereken de responsie y(t) voor x(t) = δ(t) 14. De responsie op een stapfunctie x(t) = 1 van een eerste orde systeem is y(t) = 8 – 8·e-0,75·t Bereken K en τ van het systeem.

oplossingen 12.Gegeven is de DV y’’ - y = t met beginvoorwaarden y(0) = 0 en y’(0) = 2. Bereken y(t) m.b.v. Laplace transformatie. Transformatie van de DV inclusief beginvoorwaarden levert: s2·Y - 2 - Y = 1/s2 ofwel Y = (2+1/s2)/(s2-1) = 1/(2s-2) – 1/(2s+2) hieruit volgt y(t) = (et – e-t)/2

oplossingen (vervolg) 13. Gegeven is de overdrachtsfunctie van een systeem: H(s) = s2 /((s2 +1)·(s2 +2)) Bereken de responsie y(t) voor x(t) = δ(t) Y = H·X = s2 /((s2 +1)·(s2 +2)) = 2/(s2 +2) - 1/(s2 +1) terugtransformeren levert y(t) = √2·sin(√2·t) – sin(t)

oplossingen (vervolg) 14. De responsie op een stapfunctie x(t) = 1 van een eerste orde systeem is y(t) = 8 – 8·e-0,75·t Bereken K en τ van het systeem. De eindwaarde van y is 8 en dit is een factor 8 maal de stapwaarde, dus K = 8. Vergelijking van e-0,75·t met e-t/τ levert 1/τ = 0,75 dus τ = 4/3 ≈ 1,33 s