Grafen, punten en wegen Een graaf bestaat uit punten, waarvan er twee of meer verbonden zijn door wegen. Een graaf met één of meer eenrichtingswegen heet een gerichte graaf. Als er in een graaf getallen staan bij de wegen, dan heet zo’n graaf een gewogen graaf. 12.1

Afstandmatrix Veel problemen zijn met een graaf te visualiseren, zoals het zoeken van een kortste route. Het is daarbij verstandig de gegevens van de graaf in een tabel op te slaan. Vaak noteren we de afstandtabel zoals in het schema ernaast. Zo’n schema heet een matrix. Een matrix is een rechthoekig schema van getallen, waarbij links en rechts grote haken staan. De afstandmatrix M heeft 4 rijen en 4 kolommen. 12.1

a Gerichte gewogen graaf opgave 7 a Gerichte gewogen graaf b Vul de afstandmatrix M in c Dat de getallen aan weerszijden van de diagonaal die van links boven naar rechtsonder loopt niet allemaal gelijk zijn. Van D naar A : 120 + 50 + 150 = 320 Van A naar D : 40

Verbindingsmatrix In de geografie worden grafen gebruikt om de onderlinge bereikbaarheid van steden, landen of gebieden te bestuderen. Daarbij speelt het begrip verbindingsmatrix van een graaf een centrale rol. In een verbindingsmatrix staan enen en nullen. Een 1 geeft aan dat er een rechtstreekse verbinding is tussen twee punten van de graaf. Een nul geeft aan dat er geen rechtstreekse verbinding is. 12.1

In de verbindingsmatrix van een graaf staan enen en nullen. 1 geeft aan dat er een rechtstreekse verbinding is. 0 geeft aan dat er geen rechtstreekse verbinding is. Bij een graaf waarin elk tweetal punten rechtstreeks met elkaar verbonden is, is sprake van maximale verbondenheid. Er is sprake van minimale verbondenheid in een graaf als door het weglaten van welke weg dan ook een niet-samenhangende graaf ontstaat. 12.1

a Teken eerst de graaf en zet de getallen van M in de graaf. opgave 13 a Teken eerst de graaf en zet de getallen van M in de graaf. Van A naar E is 25, dus van B naar E is 15 (van A naar E via B en C is al 10 + 8 + 10 = 28). Zo is van A naar C: 10 + 8 = 18 en van A naar D: 10 + 8 + 10 = 28. b Optellen van de getallen op de rijen geeft de totale afstand die de ambulances moeten afleggen om in elk van de plaatsen te komen. Deze rij-totalen zijn: 81, 51, 46, 62 en 56. De totale afstand naar C is het kleinst, dus het ziekenhuis komt in C. 81 51 46 62 56

Directe-wegenmatrix In de directe-wegenmatrix staat het aantal rechtstreekse wegen tussen elk tweetal wegen. 12.1

opgave 16 a Omdat er van A naar B 3 wegen zijn en van B naar A maar 1 weg, zijn er 2 éénrichtingswegen van A naar B. enz. b Vervang elk getal dat niet gelijk is aan 0 door 1. Je krijgt c Ja, dat lukt. Je vervangt elk getal dat niet gelijk is aan 0 door 1. Nee, dat lukt niet. Je weet niet waardoor je de enen moet vervangen.

De afmeting van een matrix De matrix M is een voorbeeld van een datamatrix. In een datamatrix zijn waarnemingsgetallen opgeslagen. De matrix M heeft drie rijen en vier kolommen. Er zijn 12 elementen. We zeggen dat de matrix M de afmeting 3 × 4 heeft. m32 = 70 Een n × m-matrix M heeft n rijen en m kolommen. Het element mij is het getal in de i-de rij en de j-de kolom van M. Een vierkante matrix is een matrix met evenveel rijen als kolommen. De hoofddiagonaal bestaat uit b11 , b22 … Een vierkante matrix B is symmetrisch als geldt bij = bji. 12.2

Het vermenigvuldigen van matrices De matrix K in opgave 23 heet de productmatrix van V en W. Dus V · W = K. Je kunt het product van de matrices V en W alleen berekenen als het aantal kolommen van V gelijk is aan het aantal rijen van W. 12.2

opgave 26 a M · K heeft betekenis. b N · M heeft betekenis c Bereken M · K De getallen van de matrix M · K geven de productiekosten van de producten A, B en C per eenheid.

d Bereken N · M De getallen in de matrix N · M geven de benodigde hoeveelheid grondstoffen en arbeidstijd die nodig is voor de bestelling. e Bereken N · M · K De productiekosten van de totale bestelling zijn 788 800 euro. opgave 26

Machten van een matrix Een vierkante matrix met op de hoofddiagonaal uitsluitend enen en alle andere elementen gelijk aan nul, heet een eenheidsmatrix. 12.2

opgave 31 a Bereken de matrix K = T · G b k21 geeft het bedrag dat de familie Vrielink per dag kwijt is op camping 2. c Voor Vrielink was camping 3 het voordeligst. Voor Eijssink was dat ook camping 3. d Z = ( 7 7 7 7 ) F = Z · K F geeft de bedragen voor elke familie als ze op elke camping een week hebben gestaan.

Machten van een overgangsmatrix De getallen in de graaf in figuur 12.28 zijn de kansen op de verschillende overgangen per week. Bij deze graaf hoort de overgangsmatrix M. In een overgangsmatrix is de som van de getallen in elke kolom gelijk aan 1. Geeft M de kansen op de overgangen per week, dan geeft M n de kansen op de overgangen per n weken. 12.3

a Vul de overgangsmatrix T in : opgave 36 a Vul de overgangsmatrix T in : t22 is de kans dat na een medeklinker weer een medeklinker komt. b Bereken T 3 t22 is de kans dat drie plaatsen na een medeklinker weer een medeklinker komt. c Bereken t22 in T 4. Deze kans is 0,514. d Bereken t31 in T 5. Deze kans is 0,148. 3

Het doorrekenen van populaties In een gebied verschijnen de regionale dagbladen de Ster en de koerier. Hiernaast staat informatie over het verloop van de abonnees tussen deze dagbladen. Bij deze situatie horen twee matrices, namelijk de overgangsmatrix V en de kolommatrix Hieronder staat de berekening van de productmatrix V · B Geeft de overgangsmatrix V de overgangen per tijdseenheid en de kolommmatrix B de populatie op t = 0, dan geeft V n · B de populatie op t = n. 12.3

opgave 39 a Bereken met de GR de matrix W 2. Het element w11 van W 2 is 0,8162, dus 81,6%. b Bereken met de GR W 4 · K met K = Je krijgt W 4 · K = De procentuele verdeling is A 33,9%, B 24,9% en C 41,2%. c Gebruik de elementen w11, w22 en w33 van W 2. Je krijgt 0,8162 · 30 + 0,7245 · 40 + 0,8691 · 30 = 79,539. Dus 79,5%. d De elementen in de derde rij worden groter. Je krijgt bijvoorbeeld

Markow-keten Een Markow-keten is een serie zichzelf herhalende onahankelijke kansexperimenten. Je houdt daarbij steeds dezelfde overgangsmatrix. We gaan ervan uit dat aan enkele randvoorwaarden is voldaan. Zo komen er bijvoorbeeld geen nieuwe klanten bij. Er is sprake van een gesloten systeem. 12.3

Stabilisatie In opgave 43 had je te maken met de overgangsmatrix M. Neem aan dat 40% van de klanten voor map A kiest en dus 60% voor map B. Hierbij hoort beginsituatie P. Met de GR is de verdeling van de aantallen voor de komende weken berekend. Er ontstaat een evenwichtstoestand. Het blijkt dat je onafhankelijk van de beginverdeling telkens dezelfde evenwichtstoestand krijgt. Er treedt dus stabilisatie op. Voorwaarde is dat de overgangsmatrix M of één van zijn machten geen enkele nul bevat. 12.3

opgave 44 a Voor een periode van 5 jaar geldt Na 5 jaar: bereken M · V met V = Je krijgt M · V = , dus 58 leden bij L en 52 leden bij S. Na 10 jaar M 2 · V = , dus 62 leden bij L en 48 leden bij S. b De GR geeft afgerond op drie decimalen Uiteindelijk zal Lenig 0,600 × 110 = 66 leden hebben en Souplesse 0,400 × 110 = 44 leden. 50 60 58 52 62 48 en

Populatievoorspellingsmatrix (Lesliematrix) De Engelsman Leslie ontwikkelde een model om de groei van een populatie te bestuderen. De populatie wordt daarbij verdeeld in n leeftijdsklassen die elk k jaar lang zijn. In de populatievoorspellingsmatrix staan vruchtbaarheidscijfers en overlevingskansen. In de eerste rij staan de vruchtbaarheidscijfers. Zo is l14 het gemiddeld aantal nakomelingen van een exemplaar uit klasse IV in een periode van k jaar. De andere getallen ongelijk aan nul van L zijn de overlevingskansen. Zo is l43 de kans dat een exemplaar uit klasse III na k jaar in klasse IV zit. Soms is de klassenbreedte van de oudste leeftijdsklasse groter dan k jaar, in dat geval is het element lmn van L ongelijk aan nul. 12.4

Berekeningen met Lesliematrices De Lesliematrix L hieronder hoort bij een populatie vissen die is ingedeeld in drie leeftijdsklassen van elk één jaar. Op t = 0 is de bevolkingssamenstelling gegeven door de matrix P. De matrix L · P geeft de samenstelling na één jaar L2 · P geeft de samenstelling na twee jaar Ln · P geeft de samenstelling na n jaar. Bij een beginpopulatie P en een Lesliematrix L waarbij de overgangen worden gegeven per tijdseenheid, krijg je de samenstelling van de populatie na n tijdseenheden met de matrix Ln · P. Met L-1 · P krijg je de populatie een jaar terug. 12.4

Voorbeeld opgave Tweejarige planten bloeien pas in hun tweede levensjaar: na het dragen van vruchten sterven de oude planten af. Per oude plant ontstaan er gemiddeld 8 jonge planten. Uit onderzoek blijkt dat 50% van de jonge planten éénjarige planten worden en dat 25% van de éénjarige planten het tweede levensjaar bereiken. Geef dit weer in een graaf en stel een populatievoorspellingsmatrix voor deze tweejarige planten op. Hoeveel kans heeft een jonge plant om zelf weer jonge planten voort te brengen? Als er in een bepaald afgesloten gebied 400 jonge planten, 400 éénjarige planten en 100 oude planten worden waargenomen, hoe zal die populatie zich dan in de komende jaren ontwikkelen? Geef de resultaten weer in grafieken.

Een jonge plant moet dan in de oudste groep terecht komen Een jonge plant moet dan in de oudste groep terecht komen. De kans daarop is : 0,5 x 0,25 = 0,125 dus 12,5 %. Er ontstaan periodieke grafieken met een periode van 3 jaar.

Een bepaalde diersoort wordt in drie leeftijdsgroepen van 4 jaren verdeeld. Op zeker tijdstip (t=0) is de opbouw van een populatie van deze dieren: 200 jonge dieren; 100 volwassen dieren; 50 oude dieren. Er worden geen dieren ouder dan 12 jaar. Deze graaf beschrijft het verloop tussen de leeftijdscategorieën van deze diersoort: Stel een populatievoorspellingsmatrix P voor deze diersoort op. Wat is de betekenis van P2? En van P3? Bereken de aantallen dieren per leeftijdsgroep over 4 jaar (t=1). Onderzoek de groei van deze populatie dieren en teken een grafiek van het verloop van de totale populatie. Is er sprake van exponentiële groei? Zo ja, bepaal dan de groeifactor. Hoeveel bedraagt de levensverwachting van een pasgeboren exemplaar van deze diersoort? Door vervuiling van hun natuurlijk milieu worden de overlevingskansen van deze populatie dieren na 8 jaar (t=2) kleiner. Stel dat alle overlevingskansen met dezelfde factor k worden vermenigvuldigd. g. Bereken bij welke waarde van k de populatie nog net niet zal gaan uitsterven.

200 150 75 425 300 150 112.5 562.5 375 225 112.5 712,5

Van een ontwikkelingsland zijn de volgende bevolkingsgegevens bekend: De aantallen in deze tabel zijn in miljoenen. Het gemiddeld aantal kinderen per hoofd van de bevolking is: Bereken op grond van de eerste tabel de kansen dat iemand van een bepaalde leeftijdscategorie overgaat naar de volgende. Stel een Leslie-matrix op voor dit ontwikkelingsland. Waaraan kun je zien dat de sterfte onder kinderen in dit land hoog is? Voorspel de bevolkingssamenstelling van dit land in 2000 en 2020. De bevolking van dit land lijkt steeds sneller te groeien. Toon aan dat dit bij benadering exponentieel gebeurt in de periode van 1900 tot 2020. Bereken het jaar waarin de totale bevolking precies twee keer zo groot zal zijn dan in 1980 als je uitgaat van een zuiver exponentieel groeimodel. leeftijds categorie 1900 1920 1940 1960 1980 0–<20 19,8 22,8 23,5 26,4 27,8 20–<40 8,9 10,2 10,6 11,9 40–<60 3,2 3,7 3,8 60–<80 0,3 0,4 0,5 >80 0,0 leeftijds categorie Kinderen 0–<20 0,25 20–<40 1,97 40–<60 0,09 60–<80 0,00

opgave 52a Omdat niet alle 4-jarigen binnen één jaar sterven is l55 ≠ 0. Uit het gegeven dat 80% binnen één jaar sterft volgt l55 = 0,2. kans 0  1 is kans 1  2 is kans 2  3 is Van de 9 + 11 = 20 uit de klasse ≥ 4 op t = 0 leeft op t = 1 nog 0,2 · 20 = 4. Dit geeft 3  ≥ 4 is Samen met de gegeven vruchtbaarheidscijfers geeft dit

opgave 52b Op t = 1 is de leeftijdsopbouw a te lezen in de matrix K. K = Bereken met de GR L · K en L2 · K. 225 60 64 35 20

Bijzondere Lesliematrix In de situatie van figuur 12.37 heeft alleen de oudste leeftijdsklasse nakomelingen. In dat geval is Uit L3 volgt dat in drie jaar tijd de aantallen van elke leeftijdsklasse met abc vermenigvuldigd worden. Dus ook de omvang van de totale populatie wordt in drie jaar met abc vermenigvuldigd. 12.4

opgave 55 a P(pasgeboren dier wordt één jaar) = 0,80 · 0,60 = 0,48 b L3 · P met P = geeft de samenstelling op 1 juli 2008. L3 · P = c L-1 · P = 500 160 60 50 240 120 60 200 100 50

opgave 55 d De GR geeft Dit betekent dat de populatie elke twee jaar met 20% groeit. e Per twee jaar is de groeifactor 1,2, dus op 1 januari 2015 zijn er 770 · 1,24 ≈ 1597 dieren. f Stel l14 = v. Er moet gelden 0,80 · 0,60 · 0,25 · v = 1, ofwel 0,12 · v = 1. Dit geeft v ≈ 8,33. Zo krijg je