Een meetkundig bewijs van de stelling van Napoleon Met dank aan Chrissy Folsom
Was Napoleon Bonaparte een getalenteerde wiskundige?
Stelling van Napoleon Op de drie zijden van een willekeurige driehoek construeert men buitenwaarts telkens een gelijkzijdige driehoek. Dan zijn de zwaartepunten van deze driehoeken de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek (driehoek van Napoleon).
Vooraf: een weetje over gelijkzijdige driehoeken zwaartepunt
Afspraken (notaties) Driehoek ABC met a = |BC| , b = |AC|, c = |AB| G, I, H : de zwaartepunten van de drie gelijkzijdige driehoeken s = |GI|, u = |AI|, t = |AG| t u
Bewijs We zullen s uitdrukken in functie van a,b en c Cosinusregel in driehoek AGI: * (A = hoekpunt en hoek)
Bewijs c is de basis van een gelijkzijdige driehoek met zwaartepunt G. * Bewijs c is de basis van een gelijkzijdige driehoek met zwaartepunt G. G en analoog voor u : Substitueer de waarde voor t en u in *
Substitutie * *
* Formule: cos(A+60°) = cos A . cos 60° - sin A . sin 60° Invullen in * :
In ABC Cosinusregel: Oppervlakte: h = c sin A en bijgevolg is
Substitutie * (1) (2) (1) en (2) in * :
Dus is driehoek ABC gelijkzijdig!!! symmetrisch in a,b,c Bijgevolg is 3| GI |² = 3| GH |² = 3| HI |² (telkens gelijk aan de bovenstaande symmetrische uitdrukking). Dus is driehoek ABC gelijkzijdig!!!