Driedimensionale ruimten doorzien Roland van der Veen University of California, Berkeley (NWO rubicon)

Waarom 3D-ruimten? Dimensie < 3 is makkelijk, Dimensie > 3 is hopeloos Dynamische systemen 3 = 1+2 = tijd + ruimte Alle rotaties samen vormen een 3D-ruimte Groepentheorie Getaltheorie

Routekaart Lichtstralen Hyperbolische meetkunde 3D-animatie Knopen Hoe leg je een knoop met alleen een schaar? Getaltheorie

Lichtstralen Bestudeer een ruimte van binnenuit. Hoe lopen de lichtstralen? Wat is er te zien? In onze (gewone) ruimte kunnen we dit heel mooi berekenen met het gratis computerprogramma POV-ray.

Programma POV-ray INPUT: Positie van de camera Positie van de lichtbron(nen) Posities van de objecten OUTPUT: Een natuurgetrouwe tekening.

Voorbeeld camera{ location look_at } light_source{ color rgb } sphere{, 1 pigment { color rgb } } plane {, 0 pigment {checker color rgb, color rgb } }

Licht in andere 3D-ruimten We leggen extra condities op aan de lichtstralen: ze kunnen teleporteren of afbuigen. Bijvoorbeeld: de 3D-torus: plafond = vloer, voorkant = achterkant rechtermuur = linkermuur 3D-sfeer: de eenheidssfeer in R 4

Pool spelen met Escher Als je ruimte er overal hetzelfde uit moet zien (isotroop), dan moet de ruimte krommen. KrommingType ruimteType meetkunde > 0BolBolmeetkunde = 0TorusEuclidisch < 0De restHyperbolisch De negatieve kromming is het belangrijkst, het gaat om hyperbolische meetkunde.

Hyperbolische meetkunde Alle duivels zijn gelijk Alle hoeken kloppen Rechte lijnen (geodeten) zijn cirkelbogen loodrecht op de randcirkel Oppervlakte driehoek = π - hoekensom

Hyperbolische meetkunde Waarom is pool spelen zo moeilijk? Omtrek cirkel met straal r = 2π sinh(r) Oppervlakte = 2π (cosh(r)-1) Als r klein is, dan Omtrek = 2πr en Opp = 2πr 2 Oppervlakte/Omtrek ≈ 1 voor r groot

De stelling van Thurston/Perelman Alle * 3D-ruimten zijn hyperbolisch Bovendien is de metriek uniek dus topologie wordt meetkunde *Nou ja bijna alle

Hoe ziet een 3D ruimte er van binnen uit? Zet je 3D bril op. We gaan achtereenvolgens bezoeken: De 3D-torus. Kromming = 0 Euclidisch Twee ruimtes opgebouwd uit een dodecaeder waarvan de tegenoverliggende vlakken worden geidentificeerd. Namelijk: 1.De Poincare-ruimte (Draaiing 1/10), Kromming > 0, bolmeetkunde. 2.De Seifert-Weber-ruimte (Draaiing 3/10), Kromming < 0, hyperbolische meetkunde

Recept om alle mogelijke 3D-ruimten te construeren 1.Begin met de 3D-sfeer, 2.Knip een stel geknoopte torussen weg uit de 3D- sfeer. 3.Haal ze stuk voor stuk binnenstebuiten, 4.En plak ze weer terug.

Een nieuwe manier van knopen leggen Start met een tetraeder en gebruik een schaar. Bijvoorbeeld: Tetraeder Achtknoop knip

Preciezer gezegd Start met tetraeder: Pas nu steeds de drie onderstaande bewerkingen toe. Stelling: Zo krijgen we alle mogelijke knopen

De vereenvoudiging Vervang een knoop door de knoop verkregen uit A, H en U’, waarbij: De knopen die je dan krijgt zijn eenvoudiger, maar liggen niet te ver van de oorspronkelijke knoop. Die zit er namelijk in!

Hoe ziet de ruimte rond zulke knopen eruit? Arithmetisch. De loop van de lichtstralen wordt beschreven door de stellingen van Elon Lindenstrauss

Verwijzingen Pool en 3D animaties door Jeff Weeks Not Knot Video: M M Mijn inleiding POV-ray: /popularization.html /popularization.html De film Dimensions van Etienne Ghys en Jos Leys