Quantummechanica. Inhoud: Waterstof-atoom golfvergelijking Golf en deeltje; superpositie van golven Waarschijnlijkheid Draai-impuls Spin Dirac’s bra-ket Stern-Gerlach expt EPR experiment Bell’s ongelijkheden

Quantummechanica nu Quantummechanica is een van de meest succesvolle en precieze theorieën van de natuurkunde Quantummechanica is o.a. de basis van alle electronica (radio, TV, computer, CD, laser, zonnecel,…) Maar, wat betekent het precies, hoe te interpreteren? Hoe kan iets een golf én een deeltje zijn? Wat is de rol van de waarnemer? Is de onzekerheid van de quantummechanica ingebouwd of is er een diepere causale structuur? (Einstein vs. Bohr) Energie is gequantiseerd, ruimte ook…?, tijd ook…? Hoe is de quantummechanica toe te passen in de algemene relativiteitstheorie (zwaartekracht)? etc. etc. …

Niels Bohr 1885 - 1962 1969

λ is de De Broglie-golflengte Waarom is er in het Bohrmodel maar een beperkt aantal banen voor het electron rond de kern mogelijk? Stel dat electronen (met massa m en snelheid v) zich ook als golven kunnen gedragen In dat geval kunnen de golven elkaar alleen maar versterken (staande golven vormen) als ze op de cirkel passen λ λ is de De Broglie-golflengte

Erwin R.J.A. Schrödinger, 1887 - 1961, NP 1933: golfvergelijking

Quantum Mechanica

Je kunt iedere kromme benaderen alsof zij een superpositie is van een aantal “vlakke golven”:

Schrödinger vergelijking Als iedere golf voldoet aan De Broglie’s vergelijkingen: terwijl Dan voldoen al die golven aan dezelfde golfvergelijking: Schrödinger vergelijking Dus geldt dit ook voor de totale functie ... de vergelijking dikteert hoe een golffunctie evolueert in de tijd.

Men kan vervolgens de effecten van elektrische en magnetische krachten aan de vergelijking toevoegen, en meerdere elektronen tegelijk beschrijven. Met de vergelijkingen die men dan krijgt kan men de stabiele toestanden van een atoom heel nauwkeurig uitrekenen. De Schrödingervergelijking is dan veel nauwkeuriger dan de oorspronkelijke atoomtheorie van Bohr. De Schrödingervergelijking vervangt de Newtonse vergelijking voor elekronen in een atoom

stelde als eerste voor: Max Born, 1882 – 1970 stelde als eerste voor: het kwadraat van de amplitude van een golf in een punt x is de waarschijnlijkheid om een deeltje in het punt x aan te treffen. Hierdoor werd quantummechanica een theorie voor waarschijnlijkheid en statistiek

Draaibeweging Het aantal golf-buiken dat past op de cirkel is beperkt: er is slechts een beperkt aantal draaiende- bewegings-toestanden mogelijk. Hetzelfde geldt voor draaibewegingen in drie dimensies:

Deeltjes kunnen een een eigen draaibeweging hebben: spin Spin wordt gekarakteriseerd door een draai-as en een draairichting: Spin = 0: slechts één spintoestand Spin = ½: 2 spintoestanden (“op” of “neer”) Spin = 1: 3 spintoestanden (“op”, “neer” of “zijwaards”) etc.

Dirac’s haakje notatie Deeltje met spin = ½ Slechts twee onafhankelijke spin-toestanden: spin neer spin op wanneer is spin rechts? + _ Dirac’s haakje notatie

Het Stern-Gerlach experiment Z N

Een Stern-Gerlach experiment stelt ons in staat de spin van een deeltje te meten: hoeveel % is “op” en hoeveel % is “neer” ? Bij fotonen (spin = 1) kan dit ook: spin = op/neer of links/rechts (spin = voor/achter is verboden) Meten met polarisatie-filter: Vertikaal gepolariseerd licht: spin fotonen = op/neer; Horizontaal gepolariseerd: spin fotonen = links/rechts

Twee deeltjes met spin ½ kunnen verstrengeld zijn Quantum – logica: Twee deeltjes met spin ½ kunnen verstrengeld zijn Twee electronen in een atoom kunnen in de volgende combinatie zitten: Maar dit is ook: want ... Het uitsluitingsprincipe van Pauli

Het verval: de twee fotonen zijn verstrengeld! De situatie is in principe precies als bij deeltjes met spin ½ die verstrengeld zijn, maar de notatie is anders want fotonen hebben spin = 1. Het Einstein – Rosen – Podolski gedachten-experiment Op Venus Op Aarde Op Mars

Als we op Venus spin = op meten → op Mars spin = neer (we gebruiken even de spin = ½ notatie) Als we op Venus spin = op meten → op Mars spin = neer ,, ,, ,, ,, spin = neer ,, → ,, ,, spin = op Maar we kunnen op Mars ook de horizontale spin meten, dan vind je: Meten we op Venus spin = op → op Mars spin = 50% rechts 50% links ,, ,, ,, ,, spin = neer → ,, ,, spin = 50% rechts Echter, op Venus kunnen we ook de horizontale spin meten: Meten we op Venus spin = rechts → op Mars spin = links ,, ,, ,, ,, spin = links → ,, ,, spin = rechts Paradox: dit lijkt op allerlei verschillende mogelijkheden. Niettemin zijn er slechts twee spin-toestanden !!!

1 2 3 De ongelijkheid van Bell 1 2 3 Als je twee verstrengelde deeltjes hebt, en je meet de spin van een deeltje langs een willekeurige as, dan weet je ook de spin van het andere deeltje t.o.v. dezelfde as. Maar, t.o.v. een andere as krijg je alleen kans- verdelingen: de kwadraten van de coefficienten hierboven.

(wellicht met een of andere kansverdeling) 1 2 3 relatieve Indien deeltje 1 spin = + : Bell: stel nu dat het deeltje aan de andere kant aankomt met een “voorschrift”: spin(0) = + spin(1) = + spin(2) = - spin(3) = - (wellicht met een of andere kansverdeling) We meten spin 1 langs as 0 of 2 We meten spin 2 langs as 1 of 3

De correlatie-functie is het aantal keren dat de spin dezelfde is, minus het antal keren tegengesteld: C=1: gelijke spin; C= -1: tegengesteld. Dan is volgens John S. Bell, het gemiddelde van: want hoe je spin0, spin1, spin2 en spin3 ook kiest, niet alle vier C’s kunnen +1 bijdragen, één moet het verkeerde teken hebben. Echter, volgens de quantummechanica:

Daarom is de “hidden variable” theorie uitgesloten: het deeltje komt niet met een vlaggetje: “als je mij meet langs die-en-die as, dan geef ik plus of dan geef ik min”.

Elementaire-deeltjesfysica Quantum- mechanica Speciale Relativiteits- theorie + = Elementaire-deeltjesfysica ( = Hoge-energiefysica = Quantum-veldentheorie )

1 1 www.phys.uu.nl/~thooft/lectures/wereldbeeld2/wereldbeeld2.ppt 3 3