Rambles Barcelona 19 mei 2011

Hoe ver kun je komen?

Zwaartepunten Leon van den Broek en Dolf van den Hombergh uit het Wiskunde D-aanbod van de WM Info WM heeft geen wiskunde D-boeken WM stelt gratis haar lesmaterialen beschikbaar, te downloaden van de website www.wageningse-methode.nl Compleet met werkbladen en zelftoets en planning Zwaartepunten staat ook op de cTWO-site. Waarom kiezen we voor Zwaartepunten? Dit onderwerp vind je geen enkele andere methode.

Hoofdstukken wiskunde D vwo * Analytische meetkunde * Combinatoriek en rekenregels * Discrete dynamische modellen * Zwaartepunten * Inproduct * Binomiale en normale verdelingen * Inleiding complexe getallen * Hypothese toetsen en Poissoin verdeling * Continue dynamische processen * Allerlei Verbanden

Hoofdstukken wiskunde D havo * Hoeken in de Ruimte * Kans 1 * Kans 2 * Lineair Programmeren * Toegepaste Analyse * Vectoren en Meetkunde * Zwaartepunten

Uitgangspunt bij het bepalen van een zwaartepunt Schuifprincipe Een evenwicht wordt niet verstoord als je twee even grote gewichten tegengesteld aan elkaar verplaatst: of

1 Je hebt twee gram in een punt en drie gram in een ander punt. a. Waar ligt het zwaartepunt? Je hebt a gram in het ene punt en b gram in een ander punt. b. Waar ligt het zwaartepunt? 2 We bekijken het systeem van Aarde en Maan. Aarde heeft massa 5,975  1024 kg en Maan 7,343  1022 kg. De straal van Aarde is 6371 km en de straal van Maan is 1738 km. Hieronder staat een plaatje op schaal. Voor de afstand Aarde-Maan is 100 mm gekozen. In werkelijkheid is die 384400 km (tussen de middelpunten van Aarde en Maan). Waar ligt het zwaartepunt? Wat valt je op?

Antwoord 1 a. Verdeel de afstand tussen de twee gewichten in vijf gelijke delen. Drie gewichten van 1 gram twee delen naar links schuiven en twee gewichten van 1 gram drie delen naar links schuiven verandert het evenwicht niet. b. Op van het gewicht van a gram 2 Op 4467 km van het middelpunt van de aarde, dus onder het aardoppervlak

3 We bekijken een voorbeeld met drie massa’s: 1, 2 en 3. Voor het gemak hebben we een driehoekjesrooster aangebracht, waarbij de afstanden tussen een tweetal massa’s verdeeld is in 15’en. a. Bepaal het zwaartepunt door eerst de massa’s 2 en 3 samen te nemen. b. Ook door eerst 1 en 2 samen te nemen. c. En door eerst 1 en 3 samen te nemen.

Antwoord 3 a. Eerst 2 en 3 samennemen 1 5 Dan 1 en 5 6

Om in te zien dat het er niet toe doet in welke volgorde je massa’s samenneemt, is het handig met vectoren te werken. In de punten A en B bevinden zich de massa's a en b. We kiezen een willekeurig punt O als oorsprong. Het zwaartepunt Z is het eindpunt van de vector O A Z B 4 In de punten A, B en C bevinden zich de massa’s a, b en c. a. Toon aan (door eerst de massa’s in A en B samen te nemen) dat: b. Hoe volgt uit a dat het er niet toe doet in welke volgorde je de massa’s samenneemt?

Antwoord 4 a. De massa’s in A en B worden samen genomen in D. Daarna de massa’s in C en D: Haakjes wegwerken geeft het gewenste resultaat. b. De uitdrukking is symmetrisch.

In de punten A1, A2,…, An bevinden zich de massa’s a1, a2,…, an. Algemeen In de punten A1, A2,…, An bevinden zich de massa’s a1, a2,…, an. Voor het zwaartepunt Z van dit massasysteem geldt: O 1 2 3 5 Aan een gewichtloze staaf hangen de gewichten van grootte 1, 2 en 3. Om het tekenen te vergemakkelijken is het geheel in een rooster geplaatst. a. Bepaal de plaats van het zwaartepunt door bovenstaande stelling toe te passen met het aangegeven punt O als centrum. b. Doe dat ook door als oorsprong de plaats van het gewicht van grootte 3 te kiezen.

Antwoord 5 a. O 1 2 3 b.

6 Vier keer een vierzijdige piramide met ribben van lengte 1. a. De massa’s zitten in de hoekpunten, in elk hoekpunt dezelfde massa (de ribben zijn massaloos). Op welke hoogte boven het grondvlak bevindt zich het zwaartepunt? b. In de staafjespiramide zit de massa in de ribben. De acht ribben zijn even zwaar. c. De piramide is nu gesloten: de vijf grensvlakken bestaan uit plaatwerk. De massa van een grensvlak is dus evenredig met de oppervlakte. Verder is de piramide hol. d. In het vierde geval is de piramide massief en homogeen. Met integraalrekening kan de plaats van het zwaartepunt bepaald worden. Dat blijkt op hoogte ? van de hoogte boven het grondvlak te zitten.

Antwoord a. Op  van de hoogte van de piramide b. Op  van de hoogte c. Op van de hoogte

7 Op de zijden van driehoek ABC liggen de punten P en Q. P verdeelt zijde BC in stukken die zich verhouden als 1 : 2, Q verdeelt zijde AC in stukken die zich verhouden als 3 : 2. Zie plaatje. Z is het snijpunt van de lijnen AP en BQ. De lijn CZ verdeelt zijde AB in twee stukken. Hoe verhouden die stukken zich? Tip: Plaats geschikte gewichten in de hoekpunten A, B en C. A B C Q P Z

7 Het snijpunt van CZ met AB noemen we R. Antwoord 7 Het snijpunt van CZ met AB noemen we R. Plaats 1 gram in C, 2 gram in B en 1 gram in A, dus beter nog 2 gram in C, 4 gram in B en 3 gram in A. Dan is Q het zwaartepunt van de gewichten in A en C en P het zwaartepunt van de gewichten in B en C. Het snijpunt van AP en BQ is dus het zwaartepunt van de gewichten in A, B en C. Dus is R het zwaartepunt van de gewichten in A en B. Dus AR : RB = 4 : 3 A B C Q P Z R

8 Bewijs de stelling van Ceva. Door elk van de hoekpunten van een driehoek wordt een lijn getrokken, zo dat ze door één punt gaan. De lijnen verdelen elk een zijde in twee stukken, zeg in verhouding a1 : a2 , b1 : b2 en c1 : c2; de volgorde van de stukken corresponderend met a1, a2, b1, b2, c1 en c2 is tegen de klok in; zie de figuur. Dan: a1 ⋅ b1 ⋅ c1 = a2 ⋅ b2 ⋅ c2 a2 a1 b1 c1 b2 c2 8 Bewijs de stelling van Ceva.

FIN Dank voor uw aandacht