Compositionaliteit, bereik en lambda’s Henriëtte de Swart

Meer dan woorden… Betekenis van constituenten, zinnen. Vraag: hoe wordt de betekenis van complexe gehelen opgebouwd uit die van woorden. ‘Jan slaat Piet’  ‘Piet slaat Jan’ Woordvolgorde  Subject-Object relatie  Agens-Patiens relatie.

Compositionaliteit Principe van Compositionaliteit van betekenis (Frege): betekenis van geheel is functie van de betekenis van de samenstellende delen en van de manier waarop ze zijn samengesteld. Woorden + structuur Dus: semantiek altijd afhankelijk van syntaxis.

Semantische representaties Semantische representaties worden geformuleerd in logische talen (b.v. 1e orde propositie/predikatenlogica). Logische talen respecteren principe van compositionaliteit: regels voor interpretatie volgen regels voor wffs.

Probleem I Eerste orde logica is niet voldoende om alle natuurlijke taaluitdrukkingen te representeren (modificatie, kwantificatie over predikaten, tweede orde kwantoren).

Modificiatie Joost is een Nederlandse taalkundige T(j)  Nl(j) Pim is een grote muis/een kleine olifant Niet: M(p)  Gr(p) Niet: O(p)  Kl(p)

Kwantificatie over eigenschappen Jan heeft alle eigenschappen van Sinterklaas. P [P(s)  P(j). Geen eerste orde logica! In eerste orde logica alleen predikaatconstanten (geen predikaatvariabelen).

Tweede orde kwantoren Alle studenten houden van taalkunde. x [St(x)  Hvt(x)] De meeste studenten houden van taalkunde. Niet: Mx [St(x)  Hvt(x)] waarom niet? Niet: Mx [St(x)  Hvt(x)] waarom niet?

Probleem II Probleem: syntaxis van natuurlijke taal syntaxis van propositie/ predikatenlogica. Is het wel mogelijk om een compositionele interpretatie van natuurlijke taal te geven m.b.v. deze logica’s?

1e orde logic en compositionaliteit Zinnen met individuele constanten/ variabelen: compositionele vertaling . Hanna slaapt. Hanna slaapt (S) S(h) / \ functie applicatie Hanna h Slaapt S (NP) (VP)

Kwantoren en compositionaliteit Zinnen met kwantoren: geen compositionele vertaling. B.v. Iedere student danst. Iedere student danst (S) xS(x)D(x) / \ Iedere student Danst D (NP) (VP) / \ Iedere ?? student S (Det) (N)

Kwantoren en compositionaliteit Zinnen met kwantoren: geen compositionele vertaling. B.v. Iedere student danst. Iedere student danst (S) xS(x)D(x) / \ Iedere student ?? Danst D (NP) (VP) / \ Hoe komen we Iedere ?? student S compositioneel (Det) (N) van hier naar daar?

Lambda abstractie Gebruik van lambda abstractie maakt het mogelijk semantische representaties te geven voor delen van een syntactische boom, zodat we een compositionele vertaling van de zin kunnen geven. Lambda abstractie ook met 2e orde logica.

Essentie 1-plaatsige predikaten (praten, dansen, student,…) denoteren verzamelingen. Vertaling als predikaat: hoofdletters (P, D,S,…). Vertaling als lambda abstract: xP(x).  bindt individuele variabele x.  pikt alle waarden van x eruit die de formule P(x) waar maken, en definieert daarmee de verzameling van P’s (karakteristieke functie).

Lambda’s: formeel Als  een formule is, en x een variabele (die normaliter voorkomt in ), dan is ||x||M, g die functie h van het universum U naar {0,1} zodanig dat voor alle individuen e in U, h(e) = 1 als ||x||M, g[x/e] = 1, en h(e) = 0 anders.

Lambda conversie Toepassing van lambda abstract op constante/variabele leidt tot lambda conversie: [x S(x)](h) = S(h) x S(x): 1-plaatsig predikaat. Functie applicatie: toepassen op individuele constante h. Lambda conversie: deletie van  en vervanging van x door h.

 conversie: formeel Voor  een open propositie, en x een individuele variabele die voorkomt in , en c een individuele constante, dan x (c)  [c/x], waar [c/x] is de formule  met vervanging van alle voorkomens van x door c.

Compositionaliteit met  Hanna slaapt Hanna slaapt (S) xS(x)(h) = S(h) / \ functie applicatie Hanna h Slaapt xS(x) (NP) (VP)

Abstractie over predikaten Een kleine olifant x (K(O))(x). een kleine olifant (NP) x(K(O))(x) / \ een ?? kleine olifant (A(N)) yK(O)(y) / \ functie applicatie kleine (A) olifant (N) PyK(P)(y) O

NPs als verzameling eigenschappen Hanna: h (individuele constante) Hanna: P P(h) (bundel eigenschappen Hanna slaapt: S(h) Slaapt(Hanna): x S(x)(h) = S(h) ‘Hanna is een slaper.’ Hanna(Slapen): P P(h)(Slapen) = S(h) ‘Slapen is een eigenschap van Hanna.’

Lambda’s met kwantoren Iedereen danst x D(x) Kwantoren verwijzen niet naar een vast individu, dus geen representatie als constante, maar: P x P(x) ‘Dansen is een eigenschap van iedereen.’ P x P(x)(Dansen) = x D(x)

Compositionaliteit met kwantoren Iedere student danst (S) xS(x)D(x) / \ Iedere student ?? Danst D (NP) (VP) / \ Iedere ?? student S (Det) (N)

Compositionaliteit met kwantoren Iedere student danst (S) xS(x)D(x) / \ Iedere student Danst Qx[S(x)Q(x)] yD(y) / \ Iedere student zS(z) PQx[P(x)Q(x)]

Tweede orde kwantoren De meeste studenten dansen De meeste: PQ[|PQ| > |P-Q|] Relatie tussen twee verzamelingen: abstractie over twee predikaten.

Reflexieven I Zichzelf: RxR(x,x), waarbij R een 2-plaatsige relatie. Hanna bewondert zichzelf. Zichzelf bewonderen: RxR(x,x)(Bewonderen) = xB(x,x) Hanna bewondert zichzelf: xB(x,x)(h) = B(h,h).

Reflexieven II Iedereen bewondert zichzelf. Zichzelf bewonderen: RxR(x,x)(Bewonderen) = xB(x,x) Iedereen: PyP(y). Iedereen bewondert zichzelf: PyP(y)(xB(x,x)) = yB(y,y)

Van buiten naar binnen Mo kust Peter  Peter kust Mo. yx Kussen(y)(x)(p) = x Kussen(p)(x) Eigenschap ‘Peter kussen’ x Kussen(p)(x)(m) = Kussen(p)(m) Kussen(p)(m) = Kussen(m,p) ‘Mo kust Peter’

Van buiten naar binnen Mo kust Peter  Peter kust Mo. xy Kussen(y)(x)(p) = y Kussen(y)(p) ‘gekust worden door Peter’ y Kussen(y)(p)(m) = Kussen(m)(p) Kussen(m)(p) = Kussen(p,m) ‘Peter kust Mo’

Passief constructie Actieve vorm van het werkwoord: yx Kussen(y)(x) ‘kussen’ Passieve vorm van het werkwoord: xyKussen-(x)(y) ‘gekust worden door’ Lexicale operatie: vorm een passief uit een actief.

Bereiksambiguïteiten Buiten iedere ambassade wapperde een vlag. xy (Amb(x)  Vlag(y) & Wapper(x,y)) yx (Vlag(y) & Amb(x)  Wapper(x,y))

Direct bereik Iedere ambassade > een vlag. Combineer een vlag met predikaat wapperen, daarna iedere ambassade. Qx[Amb(x)Q(x)] z[y [Vlag(y) & Wap(z,y)]] x[Amb(x) y [Vlag(y) & Wap(x,y)]]

Omgekeerd bereik Een vlag > iedere ambassade. Combineer iedere ambassade met predikaat wapperen, daarna een vlag. Py [Vlag(y) & P(y)] zx [Amb(x)  Wapperen(x,z)] y [Vlag(y) & x [Amb(x)  Wap(x,y)]]

Conclusie -abstractie en -conversie maken het mogelijk delen van de syntactische boom te interpreteren. Handhaving principe van compositionaliteit. Toepassing op andere verschijnselen: reflexiviteit, passiefvorming, bereik.