Prijsuitreiking Wiskunde B-dag 2002 17 maart 2003 1 + 1 = 2 en hoe nu verder? • 17 maart 2003 • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag 2002 • 1 + 1 = 2 en hoe nu verder? •

1 + 1 = 2 en eerst even terug Machten van lang geleden Mooie dingen in de werkstukken en een paar puntjes op de ï De stand van zaken in de wiskunde van 1 + 1 • 17 maart 2003 • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag 2002 • 1 + 1 = 2 en hoe nu verder? •

De Jaina Jaina wiskunde en religie: 600 voor Christus in India; met veel belangstelling voor ‘het oneindige’ Anuyoga Dwara Sutra : totaal aantal mensen is 296. Het heelal heeft een periode van 2588 jaren. 296 = 79228162514264337593543950336 2588 = 1013 065324 433836 171511 818326 096474 890383 898005 918563 696288 002277 756507 034036 354527 929615 978746 851512 277392 062160 962106 733983 191180 520452 956027 069051 297354 415786 421338 721071 661056. • 17 maart 2003 • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag 2002 • 1 + 1 = 2 en hoe nu verder? •

Indisch machtsverheffen Bereken 2588 als volgt: 21, 22, 24, 28, 29, 218, 236, 272, 273, 2146, 2147, 2294, 2588 (12 stappen) Van achteren af de exponenten vinden: deel door 2 als dat kan; trek anders 1 af. Er ontstaat een achterwaartse optelketen! • 17 maart 2003 • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag 2002 • 1 + 1 = 2 en hoe nu verder? •

Dat kunnen wij ook …. ?B?e?w?ij?s? Beschrijving maken van optelketen bij n : 588, 294, 147, 146, 73, 72, 36, 18, 9, 8, 4, 2, 1 (12 stappen) ?B?e?w?ij?s? 588, 294, 147, 98, 49, 48, 24, 12, 6, 3, 2, 1 (11 stappen) Wij winnen van de Jaina! • 17 maart 2003 • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag 2002 • 1 + 1 = 2 en hoe nu verder? •

Verdubbelingsmethode 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 576, 584, 588 (12 stappen, net als ‘Indisch’. Waarom?) 588 ? 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 513, 514, 515, 516, 517, 518, 519, 520, 521, 522, … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … • 17 maart 2003 • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag 2002 • 1 + 1 = 2 en hoe nu verder? •

Kies weinig machten + + + , 588 , 586 578 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, Álle voorgaande machten zijn nodig bij 31: 1, 2, 4, 8, 16, 24, 28, 30, 31. • 17 maart 2003 • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag 2002 • 1 + 1 = 2 en hoe nu verder? •

Lukt ‘zuinig verdubbelen’ bij elk getal N? Ja! Bewijs: N= 1 , 2, 3, 4. Dat lukt. Dan lukt N = 4 + ( 1 t/m 3) = 5 t/m 7 ook. ……… En dus lukt ‘t bij 1 t/m 8. Dan lukt N = 8 + ( 1 t/m 7) = 9 t/m 15 ook. ……… En dus lukt ‘t bij 1 t/m 16. Enzovoort. (uit een werkstuk) • 17 maart 2003 • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag 2002 • 1 + 1 = 2 en hoe nu verder? •

Wat was c(n)? c(n) is het aantal stappen van een kortste optelketen voor n 1, 2, 4, 8, 16, 20, 22, 23 (7 stappen) c(23) = 7 ?????? Je weet dan eigenlijk alleen: c(23)  7 [c(23) = 6] • 17 maart 2003 • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag 2002 • 1 + 1 = 2 en hoe nu verder? •

Grenzen voor c(n) Grootste bereikbare n in k stappen is 2k Daaruit volgt 2log(n)  c(n) , voor alle n. 2k – 1 is bereikbaar (binair) in 2k-2 stappen Daaruit volgt c(n)  2 * 2log(n) • 17 maart 2003 • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag 2002 • 1 + 1 = 2 en hoe nu verder? •

Grafiek! c(n) 1,45*2log(n) Klopt, tot aan n = 71. Met 1,47 i.p.v. 1,45 klopt het voor n < 2500. • 17 maart 2003 • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag 2002 • 1 + 1 = 2 en hoe nu verder? •

Rijtjes in een boom Zo vind je 77 na 9 stappen ….. • 17 maart 2003 • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag 2002 • 1 + 1 = 2 en hoe nu verder? •

Factoriseren (1) Naar 11: 1, 2, 4, 8, 10, 11 (5) Geldt nu zeker c( 77) = c(11) + c(7) ?????????? Wel geldt c(a*b)  c(a) + c(b) 1, 2, 4, 8, 9, 17, 34, 43, 77 (8 stappen) • 17 maart 2003 • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag 2002 • 1 + 1 = 2 en hoe nu verder? •

Factoriseren (2) 1122 = 2 * 561 = 3 * 374 = 11 * 102 = ?????????? • 17 maart 2003 • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag 2002 • 1 + 1 = 2 en hoe nu verder? •

? Factoriseren (3, winst 8) 22n – 1 214 – 1 = 16383 = 3 * 5461 = 43 * 381 = 127 * 129 ? 22n – 1 Binaire methode: 2*2n – 2 = 4n –2 stappen Factoriseren: 22n – 1 = (2n – 1) (2n + 1) (2n–2) + (n+1) = 3n - 1 stappen 214 – 1 = 16383; n=7. 6 stappen winst 218 – 1 = 262143: n=9. 8 stappen winst (262143 = 511 * 513) • 17 maart 2003 • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag 2002 • 1 + 1 = 2 en hoe nu verder? •

Factoriseren (4, winst 8) 8 Slimme route naar 127! 214 – 1 = 16383 = 3 * 5461 = 43 * 381 = 127 * 129 Slimme route naar 127! 214 – 1 = 16383: 6 stappen winst, TENZIJ….. 8 • 17 maart 2003 • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag 2002 • 1 + 1 = 2 en hoe nu verder? •

Computerprogramma’s (1) • 17 maart 2003 • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag 2002 • 1 + 1 = 2 en hoe nu verder? •

Computerprogramma’s (2) • 17 maart 2003 • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag 2002 • 1 + 1 = 2 en hoe nu verder? •

Nee, t was niet waar! Vraag (vermoeden van A, Goulard) Geldt altijd c(2n) = c(n) + 1 ? Is door velen ‘bewezen’: “Van n naar 2n is maar 1 stap.” Al ‘bewezen’ in 1895 door E. de Jonquieres in een gezaghebbend tijdschrift. Tegenvoorbeeld: c(382) = c(191) = 11; er zijn oneindig veel tegenvoorbeelden. Wél geldt: c(2n)  c(n) + 1 Onbekend: Bestaat er een n met c(2n) < c(n)? • 17 maart 2003 • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag 2002 • 1 + 1 = 2 en hoe nu verder? •

1 + 1 en verder. Nu! Nieuwe toepassingen in cryptografie en beeldcompressie Geen snelle algoritme’s naar c(n) bekend. c(n) bekend voor 1 t/m 222 ( = 4194304) Voor n  28 geldt c(2n-1) = n + c(n) – 1 (n = 14: c(16383) = 14 + 5 –1 = 18 !!!) Onbewezen vermoeden van Scholz-Brauer (1937): c(2n-1)  n + c(n) - 1 • 17 maart 2003 • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag 2002 • 1 + 1 = 2 en hoe nu verder? •

Moraal van het verhaal Want …………….. • 17 maart 2003 • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag 2002 • 1 + 1 = 2 en hoe nu verder? •

• 17 maart 2003 • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag 2002 • 1 + 1 = 2 en hoe nu verder? •