ESAT/SISTA-COSIC Prof. Dr. Ir. Bart De Moor Kardinaal Mercierlaan 94 B-3001 Leuven Belgium T: +32-(0)16 321709 F: +32(0)16 321970 E: bart.demoor@esat.kuleuven.ac.be W: www.esat.kuleuven.ac.be

Ontstaan van eenheden - systematizering - kwantifikatie METEN = WETEN - uniformisering en standardizatie 2

SI-eenheden -General conference on Weights and Measures, Paris 1960 -International Systems of Units -Noodzaak aan STANDARDIZATIE (waarom ?) Duim, voet, el, vadem, inch, mijl, zeemijl, yard, … roe, acre, bunder, … Pond, ons, shekel, … Pint, gallon, stere, barrel, … Paardekracht (pk),… 3

SI-basiseenheden meter lengte m kilogram massa kg seconde tijd s ampere elektrische stroom A kelvin temperatuur °K candela licht-intensiteit I cd 4

Vanwaar komen die eenheden ? meter = 1 tien-miljoenste van een kwart meridiaan = lengte van een staaf bewaard in Parijs = vandaag gebaseerd op atoom-straling gram = gewicht van 1 kubieke cm water bij 4 graden Celsius = vanaf 1875: Massa van een platina-iridiumstaaf bewaard in Parijs Seconde = 1/86400 van gemiddelde zonnedag (tot 1960) = 1/(31 556 925.974 7) van het tropisch jaar 1900 (=ephemeris time ET) = sinds 1967: gebaseerd op ‘atoomklokken’: 1 s = 9 192 631 770 perioden van de straling van Cesium (isotoop 133) in grondtoestand 5

Vanwaar komen de eenheden ? Candela Eenheid van lichtintensiteit (helderheid) [I]; Fotometrische SI eenheid , 1948 Gedefinieerd via straling platinum bij 2045 K Minst nwk. van alle SI eenheden -Temperatuur - Statistiche maat voor de gemiddelde kinetische energie/botsingen van deeltjes in een gas, lichaam, …. - T in °C = (T in K) – 273.16 6

Aanvullende eenheden de radiaal: cirkel = 2  rad = 360  de steradiaal: 1 sr = 1/(4  ) bolopp; boloppervlak = 4  sr 7

Afgeleide eenheden -Newton kracht N = kg.m/(s.s) -Joule energie, J arbeid of warmte-hoeveelheid -Watt vermogen J/s -Coulomb elektrische lading C=A.s -Volt elektrische spanning, V of elektrische potentiaal -Ohm elektrische weerstand  -Farad elektrische kapaciteit F -Weber magnetische flux -Henry elektrische inductantie H -Tesla magnetische flux dichtheid T 8

Afgeleide eenheden 1 Newton = kracht om massa van 1 kg een versnelling van 1 m/(s.s) te geven 1 Joule = arbeid verricht door kracht van 1 N over afstand van 1 m 1 Watt = Energie(stroom bvb) van 1 J per seconde 1 lumen = 1 lm = lichtflux = lichtintensiteit x ruimtehoek Totale lichtflux van een puntbron van 1 cd = 4  lumen luminantie L = lichtintensiteit (helderheid)/oppervlakte = 1 cd / (m2) = 1 nit (Latijn ‘nitere’ = schijnen) ; 1 stilb = 1 cd/(cm2) = 1 sb -illuminantie: 1 lux = 1 lumen egaal verspreid over 1 m2 9

Samengestelde eenheden oppervlakte Volume [V] snelheid [v] lengte/tijd m/s Versnelling [a] snelheid/tijd Druk [p, Pascal] kracht/oppervlakte Pa = N/ Densiteit massa/volume kg/ Debiet volume/tijd /s … Kinematische viscositeit N.s/ 10

Grootte-ordes -Tera T 1 000 000 000 000 -Giga G 1 000 000 000 -Mega M 1 000 000 -Kilo k 1 000 -Hecto h 100 -Deka da 10 -Deci d 0.1 -Centi c 0.01 -Milli m 0.001 -Micro  0.000 001 -Nano n 0.000 000 001 -Pico p 0.000 000 000 001 -Femto f 0.000 000 000 000 001 -atto a 0.000 000 000 000 000 001 grieks latijn 11

… en ook….. -miljoen 1 000 000 -miljard 1 000 000 000 -biljoen 1 000 000 000 000 -biljard 1 000 000 000 000 000 Let op: Engels : 1 billion = 1 miljard 1 trillion = 1 biljoen 1 quadrillion = 1 biljard 12

…nog gebruikt…. 1 are = 100 1 hectare (=hecto-are) = 100 are Karaat = 1/24 (24 karaats goud = zuiver goud) Minuut, kwartier, uur, dag, week, maand, jaar, decennium, eeuw, Millenium, aeon (1 mio jaar) (60-delig getallenstelsel = Mesopotamisch!) Liter 1 ton = 1000 kg 1 Å = 1 angstrom = 0.000 000 000 1 m 1 bar = 1 E+05 Pa; 1 mbar = 1 E+02 Pa; 13

…nog gebruikt …. 1 mol(e) = massa in g gelijk aan moleculaire massa = massa die evenveel moleculen/atomen bevat als atomen in 12 gram of C (getal van Avogadro) 1 mol C = 12 g ; 1 mol H2O = (1+1+16) g; In 32 g (2 x 16) van O2-gas zitten N_A moleculen N_A Getal van Avogadro (6.022 E+23/mol = # atomen in 12 g C ) 14

…nog gebruikt…. 1 eV = 1 electron volt = energie van een electron bewegend in 1 V elektische potentiaal = 1.6 E-19 J Lading van een electron = 1.6 E-19 C(oulomb) 1 pk = 1 paardekracht = 745.7 W kW hr = kilowatt uur = 3 600 000 J mW hr = megawatt uur = 3 600 000 000 J 1 kcal = 1 kilocalorie = 4 185.5 kJ = hoeveelheid warmte nodig om de temperatuur van 1 kg H2O met 1°C te doen stijgen 15

….nog gebruikt …. Temperatuur Kelvin, Celsius, Fahrenheit T in K = 273.15 + T in °C T in K = 255.37 + (5/9)(T in °F) Voorbeeld: Vriespunt H2O = 0°C = 273.15 K = 32°F Beaufort Windschaal 13 onderverdelingen 0 (briesje) – 12 (orkaan) Richter 0 Richter = 1 micron uitwijking op geijkte seismograaf op 100 Km van epicentrum + 1 Richter = x 10 in seismische energie Richter 3 = 1E+06 J Richter 6 = 1 mio x energie van Richter 0 = 1E+13 J 16

Natuurconstanten c lichtsnelheid 299 792 458 m/s e lading van een electron -1.602 176 46 E-019 C G universele gravitatieconstante 6.7 E-011 N (m.m)/(kg.kg) g gravitatieconstante op aarde 9.80665 m/(s.s) h constante van Planck 6.6260688 E-033 J.s R universele gasconstante 8.314 J/K/mol k constante van Boltzmann 1.381 E-023 J/K (R=k.N) k_e elektrostatische constante 8.987 E+09 N.(m.m)/C Pi 3,141592653589.. Wie U kent O getal belangryk en gepast;Leert ook and’re waarheên ankervast e 2.718281828459045…. N_A Getal van Avogadro (6.022 E+23/mol = # atomen in 12 g C ) 17

Voorbeelden lengte alles in m Kosmische horizon 2 E+26 Andromeda nevel 3 E+25 Diameter ons melkwegstelsel 6 E+20 Alpha Centauri 3 E+16 1 lichtjaar 9463 E+15 ZonPluto 5.9 E+12 ZonAarde 1.49 E+11 Diameter Zon 1.391 E+09 Diameter Jupiter 1.428 E+08 Diameter Aarde 1.271 E+07 Gemiddelde mens 1.8 18

Voorbeelden lengte alles in m Diameter menselijk haartje 8 E-05 Resolutie menselijk ook 4 E-05 Rode bloedcel 7 E-06 Gistcel 2 E-06 Chromosome 1 E-06 Golflengte rood cadmium licht 6.438 E-07 Bacterie 2 E-07 Virus 1 E-08 Atoomdiameter 1 E-10 Atoomkerndiameter 1 E-14 19

Voorbeelden massa alles in kg -Groot melkwegstelsel 1 E+42 -Matig melkwegstelsel 1 E+41 -Zon 2 E+30 -Jupiter 1.88 E+30 -Aarde 5.976 E+24 -Mars 6.4 E+23 -Maan 7.37 E+22 -Atmosfeer 5 E+18 -Geladen tanker 1 E+09 -Walvis 1 E+04 20

Voorbeelden massa alles in kg -Olifant 1 E+03 -Gewichtig mens 1 E+02 -Rat 1 -Insect 0.5 E-03 -Bacterie 1 E-013 -Virus 1 E-021 -Molecule H2O 3 E-26 -Koolstofatoom 2 E-26 -Neutron/proton 1.67265 E-27 -electron 8.5473 E-031 -neutrino 5 E-34 21

Voorbeelden energie -zonnestraling 4 E+26 W (infrarood, zichtbaar licht, ultraviolet, X-straling enz… -zonnestraling op aarde 1.73 E+17 W (waarvan 30 % wordt teruggekaatst) 1 ton TNT (trinitrotoluene) 4.2 E+09 J Thermonucleaire bom 100-megaton TNT Ontsnappingsenergie voor 6.24 E+07 J satelliet van 1 kg Normale inspanning 100 W (hersenen !) Sportman (korte periode) 750 W Elektrische waterverwarmer 1500 W Glas melk 170 kcal 8 uren slaap 1.5 miljoen J Huisbrandolie woning 1 jaar 100 GJ 22

Voorbeelden energie 1 hartslag 1 J Boek van 1 kg 1 m hoog 10 J 1 liter water van 20°C naar 100°C 19 kJ Steenkool 30 a 35 kJ / kg Gratis energieplan Stevaert 100 kWh/gezinslid/jaar Gemiddelde energieverbruik persoon in Vlaanderen 3000 a 3500 kWh/jaar Liberalisering electriciteit Nu reeds voor bedrijven > 20 GWh Vanaf 2002 > 1 GWh 23

Voorbeelden licht Helderheid van bronnen -Zon 2.04 E+27 cd 2.56 E+28 lm (2.04 E+27 cd. 4  sr) 150 000 – 200 000 sb - Gloeilamp 100 W 1700 lumen; 135 cd -Blauwe lucht 0.2—0.6 sb -kaarsvlam 0.5 sb -maanloze heldere nacht 2 E-08 sb -wit papier in middagzon 3 sb - Straf flitsllicht 1 miljoen lm 24

Voorbeelden licht Helderheid van belichte objekten (illuminantie) Zachtverlichte gang 30 lux Kamer waar men goed kan lezen 500 lux Werkplaats 1000 lux Precisiewerk 2000 lux Wit blad in volle zon 70 000 lux 25

Voorbeelden temperatuur -Zon 6000 K -smeltpunt wolfram 3387 K -smeltpunt goud 1337.58 K -Kookpunt van water 373.16 K -Lichaamstemperatuur 310 K -Stolling water 273.16 K -Vloeibare zuurstof 90.188 K -Vast zuurstof 54.361 K -Vloeibare Waterstof 20.28 K -Vaste waterstof 13.81 K -Absoluut nulpunt 0 K (= - 273.16 C) 26

Voorbeelden uit industrie / praktijk Energie/vermogen Gloeilamp van ….. Philips Light Auto van …. Pk BMW, Mercedes, Peugeot, Electriciteitscentrale van …. MW Electrabel, …. Licht Voetbalveld verlichting van … Philips Turnhout Beamer voor projektie van … Barco, Philips,…. 27

Andere grootheden : decibels -Geluid - Gehoor = 20 Hz – 20 kHz Referentie= 0 dB =geluidsterkte voor geluidsgolf van 1000 Hz die juist hoorbaar is door een testpanel van 1000 testpersonen Ofwel vermogen/oppervlakte (W/(m2)): 1 E-012 W/m2 Ofwel drukverschil/oppervlakte (N/(m2)): 2 E-05 Pa/m2 trommelvlies = 1 cm2: elk oor ontvangt +/- 1 E-016 W !! dB schaal = logaritmische schaal Druk: 20 x(log10(p/1)) dB = p x hoger drukverschil Vb. 10 dB = referentiedruk x 3.16; 100 dB = referentiedruk x 100 000 = 2 Pa/m2; -Vermogen: 10x(log10(P/1)) dB = P x hoger vermogen Vb. 3 dB = referentievermogen x 2; 100 dB = referentievermogen x E+010 = 1 E-02 W/m2 28

Geluidsintensiteiten 0 dB Nauwelijks hoorbaar voor intacte oren 10 dB Juist hoorbaar 20 dB Geisoleerde uitzendstudio waarin niets gebeurt 30 dB Zacht gefluister op 5m 40 dB Slaapkamer 50 dB Rustige omgeving 55 dB Licht verkeer op 15 m 60 dB Airco op 6 m 65 dB Gewoon gesprek 70 dB Typisch lichte autostrade 75 dB Vrachttrein op 15 m (geen gesprek mogelijk) 85 dB Drilboor op 15 m 90 dB Zware vrachtwagen op 15 m 100 dB Luid roepen op 15 m 105 dB Opstijgende jet op 600 m 115 dB Luidste stem zonder versterking 117 dB (Te) luide diskoteek 120 dB Opstijgende jet op 60 m 29

Geluid Snelheid van geluid In droge lucht van 0°C: 330 m/s In water van 25°C: 1500 m/s In staal: 5000 m/s Geluid en menselijke perceptie: Veel psychologische effecten ! Gepercipieerd geluidsnivo (subjectief) (bvb house, rock, klassiek) Dieren bvb. horen heel andere geluiden dan wij Muziek Middenste A (la) op piano = 440 Hz 1 oktaaf = verdubbeling in frekwentie 30

Nog andere grootheden…. Viscositeit (stokes, poise, poiseuille) (Radioactieve) straling (curie, rutherford, roentgen, rep, rem, rad… 31

Informatie-theorie Bit: 0 of 1 Byte: 8 bits Baud: bits per seconde Mips: Miljoen instructies per seconde Flop: Floating point operation: 1 vermenigvuldiging + 1 optelling Moderne PC: 20 a 200 MIPS 32

Chemie: Opbouw van de materie Atoom = Kern (=protonen (positief) + neutronen(neutraal)) + electronen (negatief): Wet van behoud van lading Voorbeelden H: Waterstof, C: Koolstof, N: Stikstof, O: Zuurstof, F: Fluor P: Fosfor, S: Zwavel, Cl: Chloor,…. Atomen: Tabel van Mendeljev (1834-1907): Rangschikking volgens stijgende atoommassa: 33

Chemische binding Molecule = verzameling van gebonden atomen Binding = gedeeld elektronenpaar Organische verbindingen: Bevatten C en meestal ook H Anorganische verbindingen = niet-organisch Moleculen hebben een structuurformule: Vaste stoffen, vloeistoffen, gassen 34

Voorbeelden Zuurstof O2: 20 % atmosfeer; 50 % van de aardkorst Stikstof N2: 78 % van de atmosfeer; In proteinen; Water H2O Koolstofdioxide CO2: Eindprodukt van metabolisme (verteren, bomen); Prik; Houdt zonne-energie binnen atmosfeer: Broeikaseffect; Ozon O3: Houdt zonne-ultra-violette straling tegen: Gat in de ozonlaag ! Ammoniak NH3: Nzklk voor industriele voedselproduktie; Kunstmest; (reuk van Camembert/Brie) Zwaveldioxyde SO2: Giftig; Verbranding van zwavelhoudende brandstoffen Zwavelzuur H2SO4: Essentieel in bijna ALLE industriele produkten; Oorzaak van zure regen; Methaan CH4: Brandbaar gas (moerasgas); Propaan C3H8, Butaan C4H10: LPG, aanstekers, grondstof van propyleen Benzeen C6H6, Methanol CH4O, Ethanol C2H6O, Azijnzuur C2H4O2, Melkzuur C3H6O3, Oliezuur C18H34O2, 35

Voorbeelden: Polymeren en plastics -Etheen en polyethyleen: C2H4 en (C2H4)m -Vinylchoride en polyvinylchloride (PVC): C2H3Cl en (CHClCH2)m Styreen en polystyreen: C8H8 en [(C6H5)CHCH2]m Enz…. Enz…. Voorbeelden: Suikers, zetmelen -Glucose: C6H12O6 -Cellulose: 36

De opbouw van het atoom 37

Fysica: Krachten in de natuur Gravitatie De zwakke kernkracht De sterke kernkracht …… 38

Behoudswetten -Behoud van energie (mechanische, thermische, straling, massa,…) -Behoud van elektrische lading 39

Hoofdwetten fysica -Wetten van Newton F = m a Kinetische energie Potentiele energie (‘energie in potentie aanwezig’) 40

Hoofdwetten fysica -Speciale relativiteitstheorie van Einstein De lichtsnelheid is een absolute constante - Massa’s en lengtes veranderen bij beweging Equivalentie van massa en energie Atoombom / Kernenergie Algemene relativiteitstheorie Het equivalentie-principe (voorbeeld van de lift) De m in F = m a is dezelfde als de m in G = m g Quantum mechanica Fotonen = elementaire lichtdeeltjes Quanta: E = h f 41

Straling Frequentie = aantal trillingen per eenheid van tijd Deeltjesenergie = frekwentie x constante Planck Golflengte x frekwentie = lichtsnelheid Voorbeeld: Oranje-geel licht, f=5 E+14 Hz; Energie van elk foton 5 E+14 h = 3.31 E-019 J = +/- 2 eV Laagste zichtbare frekwentie = rood = 1.6 eV (golflengte 700 nm) Hoogste zichtbare frekwentie = violet = 3.2 eV (golflengte 400 nm) 42

Elektro-magnetisch spectrum Golflengte cm 1E+05 1E+04 AM radio Amplitude-geModuleerd 1E+03 1E+02 FM radio Frekwentie-geModuleerd 1E+01 TV 1E+00 Microgolven 1E-01 1E-02 Infrarood 1E-03 1E-04 Zichtbaar 1E-05 1E-06 Ultraviolet 1E-07 Rontgen 1E-08 1E-09 Gamma Uitgezonden door atoomkernen (bvb radium) 43

Zichtbaar licht ROGGBIV (rood-oranje-geel-groen-blauw-indigo-violet) Rood 700 nm 4.3 E+014 Hz Geel 575 nm Groen 520 nm Violet 400 nm Wit licht = alle kleuren samen; Prisma ontbindt wit licht in kleuren; 44

Basiswetten elektriciteit Wet van Ohm: Spanning = weerstand x stroom (1 V = 1  . 1 A) Elektrische energie: 1 J = hoeveelheid elektrisch energie gebruikt wanneer een stroom van 1 A gedurende 1 s door een weerstand van 1  vloeit Elektrisch vermogen = spanning x stroom (1 W = 1 V . 1 A) Stroom/spannings wetten van Kirchoff 45

Basiswetten elektro-magnetisme Wet van Coulomb Elektrisch veld = kracht / lading Magnetisme: Bewegende ladingen veroorzaken krachten (twee evenwijdige stroomgeleiders van lengte l met stroom i1 en i2, op afstand d) Magnetisch veld = kracht/stroomsterkte/lengte bvb: Magnetisch veld aarde = 5 E-05 N/(A.m) 1 Tesla = 1 N/(A.m) = sterkte van een magnetisch veld dat een kracht van 1 N uitoefent op een geleider van 1 m waardoor een stroom van 1 A loopt; 46

Wetten van Maxwell Differentiaalvergelijkingen Beschrijven de voortplanting van elektrische en magnetische velden doorheen de ruimte 47

Hoofdwetten thermodynamica Eerste hoofdwet: Wet van behoud van energie Equivalentie van alle vormen van energie (mechanische, elektrische, warmte, massa, straling,….) ; Lavoisier: Rien ne se crée, rien ne se perd Tweede hoofdwet: Wet van stijgende entropie (Clausius) De totale energie blijft constant; Maar energie ‘ontaardt’; Deze richting van verdeling van energie is irreversibel; 48

Voorbeelden In een motor wordt potentiele (brandstof-) energie omgezet in warmte in arbeid Hete voorwerpen koelen af; Koude voorwerpen verwarmen niet spontaan Een stuiterende bal gaat stilliggen; Een stilliggende bal begint niet spontaan te stuiteren; Koelkast; Airconditioning; Verwarming; HVAC; Koelen = arbeid leveren zodat T verlaagt 49

Enkele wetten… Entropie-verandering = toegevoegde warmte / temperatuur Temperatuur = statistische maat voor de activiteit van veel deeltjes tegelijk Formule van Boltzmann: S = k log W (W = aantal mogelijke toestanden) Ideale gaswet: p.V=n.R.T (p=druk, V=volume, n = hoeveelheid materie, T = temperatuur) Wet van Avogadro: Onder dezelfde temperatuur en druk, bevatten gelijke volumes van alle gassen hetzelfde aantal atomen/moleculen 50

Geschiedenis van …. Wiskunde Fysica Thermodynamica Statistiek Chemie Bio(techno)logie ….. BIJZONDER LEERRIJK ! 51

Geschiedenis van de wiskunde -Oudheid (Pythagoras, Plato, Eudoxus, Euclides, Archimedes, Apollonius, Pappus,…) -Middeleeuwen (Europa) (Boethius, Fibonacci, …) -Middeleeuwen (Arabische wereld) -Renaissance (algebra, trigonometrie, humanisme, kunst,techniek) -Infinitesimaalrekenen (Descartes, Fermat, Newton, Leibniz,….) Achttiende eeuw (Bernouilli’s, d’Alembert, Euler,….) Negentiende eeuw (rigoreusiteit, structuren in algebra en meetkunde) (Gauss, Cauchy, Abel, Galois, Riemann, Plücker, Klein, Weierstrass,….) -Ontwikkeling van statistiek (Pascal, Huygens, Bernouilli, De Moivre, Bayes, Laplace, Quetelet, Poisson, Galton, Pearson,…) -Grondslagen van de wiskunde en axiomatisering (Cantor, Dedekind, Frege, Peano, Russell,….) 52

Geschiedenis Thermodynamica Anders Celsius (1701-1744) James Watt (1736-1819) Nicolas Leonard Sadi Carnot (1796-1832) James Prescott Joule (1818-1889) William Thomson, Lord Kelvin (1824-1907) Rudolf Clausius (1822-1888) Ludwig Boltzmann (1844-1906) Emile Clapeyron (1799-1864) Josiah Willard Gibbs (1839-1903) Stirling Otto Rudolph Diesel 53

Geschiedenis Fysica Galileo Galileï (1564-1642) Evangelista Torricelli (1608-1647) Blaise Pascal (1623-1662) Isaac Newton (1642-1727) Charles Augustin de Coulomb (1736-1806) Joseph Louis Lagrange (1736-1813) Antoine Lavoisier (1743-1794) Alessandro Volta (1745-1827) Pierre Simon de Laplace (1749-1827) André Marie Ampère (1775-1836) Hans Christian Oersted (1777-1851) Karl Friedrich Gauss (1777-1855) 54

Geschiedenis Fysica Georg Simon Ohm (1787-1854) Michael Faraday (1791-1867) Joseph Henry (1797-1878) Wilhelm Eduard Weber (1804-1891) James Clerk Maxwell (1831-1879) Alexander Graham Bell (1847-1922) Nikola Tesla (1856-1943) Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894) Ernest Rutherford (1871-1937) Albert Einstein Paul Adrien Maurice Dirac Niels Bohr J. Robert Oppenheimer 55

Vraagstukken -Hoeveel massa verliest de zon per seconde ? Energie-verlies = 4E+26 J/s; 1 kg = 9 E+16 J; Dus Massaverlies = 4.4 E+09 kg/s (= +/- 4 tankers/s) -Hoelang duurt het voor de zon een massa opbrandt gelijk Aan die van de aarde ? +/- 1.36 E+15 s = 43 miljoen jaar - Hoeveel lampen van 60 W kan je laten branden gedurende 1 uur met de energie aanwezig in 1 liter water ? 1 kg . c . c = 90 quadriljoen joule 56

Vraagstukken Hoeveel (koolstof)atomen kan je na mekaar leggen tot je een ketting hebt van 1.5 cm ? 100 miljoen 57

Vraagstukken Wat is de kinetische energie van een auto van 2000 kg die 30 m/s rijdt ? 9 E+05 J Hoe lang kan je 1 gloeilamp van 60 W laten branden met de potentiele energie van een massa water in een zwembad van 10 m lang, 5 meter breed, 2 meter diep op 100 m hoogte; Wat is de snelheid van een persoon van 100 kg die uit een venster springt op 3 m hoogte, op het ogenblik dat zij de grond raakt ? Waar is de potentiele energie het grootst: Bij 1 kg ijzer of bij 1 kg pluimen elk op 1 m boven de grond ? 58