Motivatie lineaire systemen komt zeer veel voor: speciale technieken sinusoïdale bron geeft overgangsverschijnsel stationaire sinusoïdale responsie met dezelfde pulsatie x(t) = Xa sin(t+)  is gekend, Xa en  te bepalen komt zeer veel voor: speciale technieken elektrotechniek trillingsanalyse rekenwijzen sinusoïdaal in tijdsdomein  vectoren fasor rekenwijze vectoren  complexe getallen complexe rekenwijze Toepassingen modem (modulator - demodulator) arbeidsfactor vraagjes Kan u een situatie bedenken waarin een sinusoidale bron als stationaire responsie toch meer geeft dan alleen maar een sinus met dezelfde pulsatie ? Wat is er specifiek aan deze situatie ?

Fasor rekenwijze y X1+X2 X2 X2y vectoren  X1y X1 t x y X2 fasoren  x1(t) = Xa1 sin(t)  X1y x2(t) = Xa2 sin(t+)  X2y y X1+X2 X2 X2y vectoren  X1y X1 t x y X2 fasoren (= ronddraaien weglaten)  X1 x

Fasor rekenwijze oplossen van netwerken KCL en KVL kunnen toegepast worden op fasoren (zie slide) fasorvoorstelling: i(t) = Ia sin(t) weerstand R v(t) = R i(t) schaling inductantie L v(t) = L di(t)/dt = LIacos(t) = (L)Iasin(t+/2) schaling + positieve draai capaciteit C C dv(t)/dt = i(t) = Iasin(t) dv/dt = Ia/C sin(t) v = Ia/C sin(t)dt = -Ia/(C) cos(t) = 1/(C) Iasin(t-/2) schaling + negatieve draai I V = R I V = (L) I I I V = 1/(C) I

Fasor rekenwijze oplossen van netwerken DUS: Als men rekening houdt met de juiste draaiing van de fasoren, kunnen dezelfde technieken en procedures als gezien bij DC netwerken toegepast worden op netwerken beschreven met fasoren, dus netwerken met een sinusoidaal regime.

RC keten analyse via fasoren + i(t) I=(Ia,) R e(t) E=(Ea,0) Ea sin(t) C  v(t) VC=(Vac,) - strategie stel een grootheid gelijk aan sin(t)  (1,0) gebruik fasorrelaties en wetten van Kirchoff om fasor van bron af te leiden leid schaalfactor en hoek af pas toe op RC I=(1,0)  VR=(R,0) en VC=(1/(C),-/2) KVL  E=VR+VC driehoeksmeting: Ea2=R2Ia2+1/(C)2Ia2 VaC=Ea/(1+()2) hoek tussen Ea en VaC : tg = - dezelfde oplossing als met Laplace doch eenvoudiger (R,0)  tg=-R(C) (1/C,-/2)

RC keten overdrachtsfunctie + + I=(Ia,) R VC=(Vac,) E=(Ea,0) C - - H = (H,) = VC / E functie van de hoekfrequentie H=1/(1+()2) (zie slide) lager dan 0=1/ vrijwel geen verzwakking hoger dan 0 daling evenredig met frequentie laagdoorlaatfilter van eerste orde met kantelfrequentie f0=1/(2) Toepassing: audio: verzwakken van hoge tonen

Complexe rekenwijze y, Im(Z) Z=(X,Y)=X+jY=(Z,)=Zej met Z=(X2+Y2) =bgtg(Y/X) X=Z sin  x, Re(Z) X=Z cos vector complex getal eenheidsvector volgens y-as = j bewerkingen optellen en aftrekken: cartesische vorm vermenigvuldigen en delen: polaire vorm product met j = draaiing over /2 delen door j = draaiing over -/2

Impedanties I + V netwerk - fasoren vervangen door complexe getallen bronnen: x(t) = Xa sin(t+)  X = Xa ej impedantie: V = impedantie • I resistief (reëel) en reactief (imaginair) deel elementaire gevallen: weerstand R: V = R I inductantie L: V = (jL) I capaciteit C: V = 1/(jC) I serieschakeling en parallelschakeling (zie slide) inductieve en capacitieve ketens admittantie: I = admittantie • V I + V netwerk -

RC keten analyse via complexe rekenwijze + i(t) I Z=R e(t) E=Eaej0 Ea sin(t)  v(t) VC=Vacej Z=1/(jC) - regel van de spanningsdeler Vc = E 1/(jC)/(R+1/(jC)) = E/(1+jRC) VaC=Ea/(1+()2) hoek tussen Ea en VaC : tg = - dezelfde oplossing als met Laplace of fasoren doch veel eenvoudiger, enkel algebra met complexe getallen

Resonantie resonantiehoekfrequentie r is een  waarvoor Tweepool gevormd door 2 klemmen van een willekeurig netwerk resonantiehoekfrequentie r is een  waarvoor ofwel Im(Z(r))=0 ofwel Im(Y(r))=0 zuiver resistief, fazehoek is 0

Parallelresonantie + 1/(jC) jL R - Y = 1/R+jC+1/jL = 1/R+j(C-1/L) Z = 1/Y amplitude = 1/ (1/R2+(C-1/(L))2) faze = -bgtg(R(C-1/(L))) resonantie bij 0= 1/(LC), L en C vormen open keten zie slide

Serieresonantie + R 1/(jC) - E + jL - Z = R+1/(jC)+jL = R+j(L-1/(C)) amplitude = (R2+(L-1/(C))2) faze = bgtg((L-1/(C))/R) resonantie bij 0= 1/(LC), L en C vormen kortsluiting VC = 1/(j0C) E/R = (1/j) (LC)/C E/R = -j (L/C) E/R VL = (j0L) E/R = j (L/C) E/R gelijk maar in tegenfaze opslingering met kwaliteitsfactor Q=1/R(L/C) toepassing: antennesignaal versterken en selecteren vb. R=1, L=1mH, C=10pF 0 = 1/(L/C)  f0=1.6MHz Q = 10.000 zie slide

Meerdere resonanties + R 1/(jC1) E 1/(jC2) jL - Z = R+1/(jC2+1/(jL+1/(jC1)))) = R + j (L-1/(C1))/(-2LC2+(C1+C2)/C1) resonantie bij 0= 1/(LC1) Im(Z)=0 serieresonantie van L en C1: H=0 (sper) resonantie bij 1= 1/(LC1C2/(C1+C2)) Im(Y)=0 parallelresonantie van L en serieschakeling van C1 en C2: circulatiestroom: H=1 (doorlaat) Toepassing: in modem (modulator-demodulator)

Vermogen in een impedantie vermogen: P(t) = v(t) i(t) vermogen in impedantie Z =V/I ogenblikkelijk: P(t) = Vasin(t) Iasin(t+) gemiddeld: P = 1/T 0T P(t)dt = VaIa/2 cos effectieve waarde van een wisselspanning en wisselstroom: V= Va/2 en I= Ia/2 gemiddeld vermogen in Z=R+jX P = VIcos; cos = arbeidsfactor P = V•I (spanningvector • stroomvector) P wordt volledig gedissipeerd in R P = (V R/(R2+X2))2/R = VIcos in 1 periode is totale energie naar X nul naar L en C gaat geen vermogen

Vermogen in een impedantie V=ZI S=VI VX=XI Q=XI2   I VR=RI P=RI2 impedantiedriehoek: Z = R + jX spanningsdriehoek: x I (zie boven links) vermogendriehoek: nog eens x I (zie boven rechts) P is actief vermogen (Watt) P = VIcos = RI2 = R V2/(R2+X2) = VR2/R  V2/R Q is reactief vermogen (VAr) S is schijnbaar vermogen (VA) vraagjes Welk vermogen betaalt u thuis ? Wie betaalt het reactief vermogen ? Waarom wil de producent de cos zo dicht mogelijk bij 1 ?