Waar is dit goed voor? doel: conceptuele grondslag voor moleculaire binding, moleculaire structuren. benadering: fundamentele, fysische wetmatigheden, vanuit atomair niveau. motivatie: we kunnen (bio)moleculaire eigen-schappen en materie niet begrijpen zonder kennis van hun fysische eigenschappen. nut: inzicht in verband tussen structuur, eigenschap-pen en functie van (bio)moleculen (dit college is een eerste stap.) 4-4-2017  1

Roadmap Van klassieke mechanica naar quantum mechanica Operatoren, golffuncties, Schrödinger vgl., verwachtingswaarde, Heisenberg onzekerheid Toepassing op eenvoudige systemen Deeltje in een doos, harmonische oscillator, deeltje met circelbeweging, rotatie Atomaire structuur waterstof atoom, meer-electron atomen, Pauli-principe, “Aufbau” principe. Moleculaire binding H2+ molecuul, moleculaire golffuncties, bindende en anti-bindende orbitals, twee-atomige moleculen, σ- en π- orbitals, variatie principe, hybridisatie, Hückel benadering. 4-4-2017  2

QM benadering Vaak willen we energietoestanden weten. Recept: Stel de Hamiltoniaan op volgens het “correspondence principle” (beginnend met de klassiek vgl.; bepalend is vaak de vorm van de functie voor de potentiële energie) Schrijf de Schrödinger vgl. op Zoek de oplossingen van de Schrödinger vergelijking Pas de randvoorwaarden toe  acceptabele oplossingen  eigenfunties. Eigenwaarden  energieën. Voorbeeld: deeltje in één dimensie 4-4-2017  3

Interpretatie van de golffunctie Example of a 1-dimensional system Fysische betekenis van de golfunctie: kans op deeltje volume elementje d=dxdydz op punt r is gelijk aan |(r)|2d |(r)|2 = (r)*(r) is de waarschijnlijkheidsdichtheid. altijd positief ! wavefunction may have negative or complex values Node 4-4-2017  4

Kromming helling van de helling : van grafiek van T is een maat voor hoe krom de grafiek loopt: - positief als grafiek naar boven kromt - negatief als grafiek naar beneden kromt sterke kromming  hoge kin. energie, korte golf-lengte 4-4-2017  5

Voorwaarden voor acceptabele golffuncties continu monotone functie (1e afgeleide eindig) overal één waarde eindig Normaliseerbaar: 4-4-2017  6

Vrij deeltje oneindig aantal oplossingen (sin, cos, exp + alle combinaties daarvan.) sommige keuzes zijn eigenfuncties van andere zijn eigenfuncties van weer andere zijn zowel eigenfuncties van als van elk van deze keuzes representeert een andere toestand van het deeltje. 4-4-2017  7

Superpositie vgl. 19 eigenfunctie van Ĥ , maar niet van wat betekent dat nu? Belangrijk: als ψ een eigenfunctie is van een operator Ô, dan is de daarmee corresponderende grootheid O exact bepaald. als ψ geen eigenfunctie is van een operator Ô, dan is de daarmee corresponderende grootheid O (tot op zekere hoogte) onbepaald. 4-4-2017  8

Verwachtingswaarde We kunnen altijd de verwachtingswaarde uitrekenen: de verwachtingswaarde van : bijv. of 4-4-2017  9

QM principe: Bepaal de operator die bij een meetbare grootheid hoort volgens het “correspondence principle”. Los de eigenwaarde vgl. op: of: bereken de verwachtingswaarde 4-4-2017  10

Heisenberg onzekerheidsrelatie deeltje: impuls en positie zijn niet tegelijkertijd exact te bepalen Hetzelfde geldt voor tijd en energie 4-4-2017  11

4-4-2017  12