vwo D Samenvatting Hoofdstuk 11

De parabool als conflictlijn Een parabool is de verzameling van alle punten met gelijke afstanden tot een punt en een lijn. De vergelijking van de parabool met brandpunt F( , 0) en richtlijn l: x = is y2 = 2px. 11.1

Parabool en raaklijnen De lijn k met richtingscoëfficiënt a die de parabool y2 = 2px raakt heeft vergelijking k: De lijn k die de parabool y2 = 2px raakt in A(xA, yA) heeft vergelijking k: yAy = px + pxA. 11.1

De poollijn van een punt ten opzichte van een parabool Raken de lijnen k en l door het punt P(xP, yP) de parabool y2 = 2px in de punten A en B, dan is de lijn AB de poollijn van P ten opzichte van de parabool het punt P de pool van de lijn AB ten opzichte van de parabool een vergelijking van de lijn AB: yPy = px + pxP. 11.1

De ellips als confictlijn Een ellips is de verzameling van alle punten met gelijke afstanden tot een cirkel en een punt binnen de cirkel. Een ellips is de verzameling van alle punten P waarvoor geldt d(P, F1) + d(P, F2) = constant. De punten F1 en F2 zijn de brandpunten van de ellips. 11.2

Het lijnstuk AB heet de lange as van de ellips. AB = 2a Het lijnstuk CD heet de korte as van de ellips. CD = 2b De punten A, B, C en D heten de toppen van de ellips. Het snijpunt van de symmetrieassen heet het middelpunt van de ellips. De vergelijking van de ellips met toppen A(-a, 0), B(a, 0), C(0, b) en D(0, -b) is 11.2

Ellips en raaklijnen De lijn k die de ellips raakt in A(xA, yA) heeft vergelijking k: Heb je een vergelijking van de raaklijn in een punt A van de ellips opgesteld, dan is daarna eenvoudig een vergelijking van de normaal in dat punt op te stellen. De normaal snijdt de ellips loodrecht in het punt A. 11.2

De poollijn van een punt ten opzichte van een ellips Raken de lijnen k en l door het punt P(xP, yP) de ellips in de punten A en B, dan is de lijn AB de poollijn van P ten opzichte van de ellips het punt P de pool van de lijn AB ten opzichte van de ellips een vergelijking van de lijn AB: 11.2

Is de vergelijking van de ellips b2x2 + a2y2 = a2b2 dan is de vergelijking van de poollijn b2xPx + a2yPy = a2b2 Is de vergelijking van de ellips en een punt P(xP, yP) buiten de ellips, dan wordt de vergelijking van de poollijn 11.2

Een hyperbooltak als conflictlijn Een hyperbooltak is de verzameling van alle punten met gelijke afstanden tot een cirkel en een punt buiten de cirkel. Een hyperbool is de verzameling van alle punten P waarvoor geldt |d(P, F1) – d(P, F2)| = constant. De punten F1 en F2 zijn de brandpunten van de hyperbool. De lijn door de punten F1 en F2 is een symmetrieas van de hyperbool en snijdt de hyperbool in de punten A en B. Deze punten zijn de toppen van de hyperbool. De middelloodlijn van het lijnstuk F1F2 is de andere symmetrieas van de hyperbool. Het snijpunt van de symmetyrieassen heet het middelpunt van de hyperbool. De brandpuntsafstand is 2c, dus F1F2 = 2c. Voor alle punten op de hyperbool geldt |d(P, F1) – d(P, F2)| = 2a 11.3

De vergelijking van de hyperbool met toppen A(-a, 0) en B(a, 0) en brandpunten F1(-c, 0) en F2(c, 0) is Daarbij is b2 = c2 – a2. In het figuur is de vergelijking van de hyperbool Hierbij is a2 = c2 – b2. De lijnen en zijn asymptoten van de hyperbool 11.3

Hyperbool, raaklijn en poollijn De lijn k die de hyperbool raakt in A(xA, yA) heeft vergelijking k: Raken de lijnen l en m door het punt P(xP, yP) de hyperbool in de punten A en B, dan is de lijn AB de poollijn van P ten opzichte van de hyperbool het punt P de pool van de lijn AB ten opzichte van de hyperbool een vergelijking van de lijn AB: 11.3

Kegelsneden Bij wentelen van de lijn l om de x-as ontstaat een kegelvlak. Dit omwentelingskegelvlak bestaat uit twee kegels zonder grondvlak met de gemeenschappelijke top O. De tophoek van zo’n kegel is 2α. Doorsneden van een vlak V met een kegelvlak heten kegelsneden. Een kegelsnede is de doorsnede van een plat vlak met een kegelvlak. Cirkel, parabool, ellips en hyperbool zijn kegelsneden. 11.4