Oppervlakten berekenen een mogelijke ontstaansgeschiedenis voor integralen... Pedro Tytgat – Sint-Pieterscollege Leuven Je vindt deze presentatie ook terug op het Internet op http://www.pedrotytgat.be/wiskunde/analyse/integralen/integralen.pps

Vraagstelling We zoeken de oppervlakte tussen de grafiek van f(x) = x², de x-as en de verticale rechte met vergelijking x = 3. Hiervoor is er echter geen bestaande formule... We benaderen m.b.v. oppervlakten die we wel kennen: rechthoeken. opp = hoogte  breedte

Een eerste benadering We verdelen [0, 3] in 3 deel-intervallen. De breedte van elk rechthoekje noemen we x. Bij 3 deelintervallen is x = 1. De hoogte van elk rechthoekje vinden we door het eindpunt van elk interval in te vullen in de functie: x1 = 1 = 1. x  f(x1) = 1 x2 = 2 = 2. x  f(x1) = 4 x3 = 3 = 3. x  f(x3) = 9 x3 x2 Hou in gedachten voor later dat we altijd het eindpunt van een interval nemen om er de hoogte te berekenen. x1 bevindt zich dus één intervalbreedte ver (1.x), x2 twee intervalbreedtes (2. x) etc. x1

Waarde van de eerste benadering Totale benaderde oppervlakte: f(x1)  x = 1  1 = 1 f(x2)  x = 4  1 = 4 f(x3)  x = 9  1 = 9 opp(3) = waarbij xi = i.x opp(3) = 14 x3 x2  is de Griekse hoofdletter S en wordt het sommatieteken genoemd. Het staat voor een gedurige som van termen; de algemene vorm van elke term staat achter het sommatieteken. Bij ons is dat f(xi). x. Het sommatieteken geeft bovendien aan dat i begint met waarde 1 (de ondergrens) en dan stijgt tot en met 3 (de bovengrens). Dus staat de sommatie hierboven voor f(x1). x + f(x2). x + f(x3). x. Hierbij is xi gelijk aan i keer de intervalbreedte (hierboven is die 1): x1 = 1, x2 = 2 en x3 = 3 x x1 x x

Een betere benadering Verdelen we [0, 3] in 6 deel-intervallen, dan wordt de benadering al iets beter. Elk rechthoekje is nu half zo breed: x = 0,5. De hoogte van elk rechthoekje: x1 = 0,5 = 1.x : f(x1) = 0,25 x2 = 1 = 2.x : f(x2) = 1 x3 = 1,5 = 3.x : f(x3) = 2,25 ... x6 = 3 = 6.x : f(x6) = 9 x2 x4 x1 x3 x6 x5 Met x3 = 3.x bedoelen we hier alweer: x3 bevindt zich op 3 intervalbreedtes van de oorsprong.

Een betere benadering: waarde De totale benaderde oppervlakte is nu: f(x1)  x = 0,25  0,5 = 0,125 f(x2)  x = 1  0,5 = 0,5 f(x3)  x = 2,25  0,5 = 1,125 f(x4)  x = 4  0,5 = 2 f(x5)  x = 6,25  0,5 = 3,125 f(x6)  x = 9  0,5 = 4,5 opp(6) = waarbij xi = i. x opp(6) = 11,375 x2 x4 x1 x3 x6 x5 x Zoals we konden verwachten is de gebonden waarde met 6 deelintervallen KLEINER dan deze met 3 deelintervallen: het stuk dat we teveel rekenen (de stukken die boven de grafiek uitsteken) is nu heel wat kleiner geworden. De waarde 11,375 is dus nog zeker groter dan de gezochte oppervlakte, maar niet meer zoveel als daarnet.

Nog meer deelintervallen Nemen we 12 deelintervallen, dan is x = 0,25 en moeten we 12 hoogtes f(xi) berekenen, waarbij i = 1, 2, 3, ..., 12. We krijgen nu een som met 12 termen van de vorm: f(xi)  x. Beknopt: waarbij xi = i. x Waarde: opp(12) = 10,15625 x4 x8 x2 x6 x12 x10 x3 x7 x1 x5 x11 x9 Wat te voorspellen was: de gevonden benadering is alweer wat kleiner dan de vorige. Alhoewel ze nog altijd te groot is (de rechthoekjes zijn steevast iets groter dan de oppervlakte onder de kromme), is ze beter dan de benadering met 6 deelintervallen en heel wat beter dan die met 3 deelintervallen.

n deelintervallen! Verder bouwend op het stramien van de vorige slides, zouden we kunnen onderzoeken of er een formule bestaat voor n deelintervallen (een willekeurig aantal). n rechthoekjes met vaste breedte: x = en hoogte: f(xi), met i = 1, 2, ..., n. Formule: opp(n) = met xi = i. x n f(xi) Zoals in het begin vermeld: de waarde waarvoor men de hoogte van het rechthoekje berekent, wordt altijd op het einde van het interval gekozen. xi

n deelintervallen: waarde De benaderende oppervlakte opp(n) kan algebraïsch berekend worden; wij maken gebruik van een computerprogramma. We vinden: Zo berekenen we gemakkelijk: opp(12) = 10,15625 opp(60) = 9,22625 opp(100 000) = 9,00013500045 ... Het programma kan niet met x of xi = i.x werken, vandaar dat deze vervangen zijn door resp. 3/n en i.(3/n). De uitkomst rechts geeft je dus de benaderende oppervlakte van n rechthoekjes (met gelijke breedte) onder de kromme met vergelijking y = x² op het interval [0, 3]: voor elke waarde van n hoef je de formule maar in te vullen en je verkrijgt onmiddellijk de bijbehorende oppervlakte. Op de vorige slides moesten we dat nog rechthoekje per rechthoekje doen. Dx  i f ( xi ) Dx

Oneindig veel deelintervallen Hoe groter n, hoe beter de benadering. Als n nadert tot +, nadert opp(n) tot de exacte oppervlakte S. Vertalen we deze laatste zin in het ‘wiskundigs’, dan krijgen we: Je herinnert je nog: bij limieten waarbij x naar oneindig gaat, neem je in teller en noemer de hoogste graadstermen. We werken nu niet met x maar met n, wat echter niets verandert aan de algemene regel. Als je de teller uitwerkt, krijg je 18n² + 27n + 9. De hoogste graadsterm is dus 18n². Als je dat deelt door de noemer, krijg je die uitkomst 9. (Je hoéft de teller echter niet uit te rekenen: als je van elke factor de hoogste graadsterm neemt, kom je hetzelfde uit: 9 . n . 2n) Raar maar waar: alhoewel de ‘figuur’ kromme randen heeft, is de gearceerde oppervlakte tóch een mooi, natuurlijk getal. We vinden: S = 9

En nu voor het interval [0, 4] Het hele verhaal in een notedop: x = De waarden xi zijn nog altijd veelvouden van x: xi = i. x De som blijft dezelfde: De computer vindt: Opp[0,4](n) = De hele procedure blijft dezelfde: verdeel het interval in n even brede deelintervallen, bepaal op het einde van elk deelinterval de hoogte ervan (door die x-waarde in te vullen in de functie), bereken zo de hoogte van het rechthoekje bij dat interval en tel al die rechthoekjes op. In de formule is het enige wat gewijzigd is de x. Dat zie je ook duidelijk in de afdruk van het algebra-programma. S = ?

Exacte oppervlakte op [0, 4] We laten het aantal deelintervallen oplopen tot + en vinden: In de formule voor S(n) valt op dat er in de teller telkens (n+1)(2n+1) staat en in de noemer telkens n². Enkel de coëfficiënten van de teller en noemer veranderen. Dat brengt ons op een gedachte: voor andere intervallen, zoals bijvoorbeeld [0, 5] of [0, 13], zullen die ‘vaste’ factoren misschien ook terugkomen en zullen enkel die coëfficiënten veranderen. Zou er geen formule zijn voor die coëfficiënten?  Daarmee bedoelen we, zou er voor een willekeurig interval [0, b] (met b een strikt positief getal) geen uitdrukking bestaan voor S(n), waarbij de de vaste factoren (n+1)(2n+1)/n² staan, voorafgegaan door coëfficiënten die rechtstreeks uit b berekend kunnen worden?

Op het interval [0, b] We bouwen opnieuw verder op het voorgaande en vervangen in de computerformule voor de som de 4 door een b. We verkrijgen: De exacte oppervlakte is dus: b

De bepaalde integraal Strikt genomen zou je kunnen zeggen dat de exacte oppervlakte S op het interval [0, b] te schrijven is als: Men noemt een aldus verkregen oppervlak de bepaalde integraal van de functie f(x) van 0 tot b en noteert dit verkort als: Die ‘krul’, die men het integraalteken noemt, is historisch afkomstig van de ‘S’ van ‘summa’. Integralen zijn immers (oneindige) sommen. Onderaan staat de ‘ondergrens’ (beginpunt) en bovenaan de ‘bovengrens’ (of het eindpunt voor de oppervlakteberekening). De dx achteraan herinnert je aan de x van onze oorspronkelijke som. f(x) dx herinnert ons dus aan het oorspronkelijke hoogte  breedte.

Oppervlakte op een interval [a, b] Uit de basisformule op het interval [0, b], kunnen we nu de oppervlakte afleiden voor alle andere intervallen. Beschouw het interval [a, b], waarbij 0 < a < b: S = Men leest de onderste integraal als volgt: “de integraal van a tot b van x kwadraat d x”. Of dus: a b

Algemene uitdrukking Meer algemeen kan men gemakkelijk aantonen dat deze formule ook geldt voor intervallen [a, b] met a < b < 0 (het interval ligt volledig links van de y-as) of a < 0 < b (het interval begint links en eindigt rechts van de y -as). Besluit: Het goede nieuws: we kunnen nu alle mogelijk oppervlakken tussen de x-as en de grafiek van y = x² berekenen. Het slechte nieuws: we moeten van vooraf aan (nou ja: we kunnen instappen bij de algemene formule van slide 14) beginnen voor elke nieuwe functie. Het zware rekenwerk zullen we aan computers overlaten; we zullen onze intelligentie inzetten om na te gaan of er misschien geen algemene formules te vinden zijn, die makkelijk vanbuiten te leren zijn.