George Boole ( ) The Mathematical Analysis of Logic (1847) An Investigation of the Laws of Thought (1854) BOOLEAANSE LOGICA

A Niet-A A is een deelverzameling van U. Niet-A  A = U.

BNiet-B B is ook een deelverzameling van U. Niet-B  B = .

ABA AND B A en B zijn beide sets in U. Ze overlappen elkaar voor een deel.

A AND B De overlap heet de doorsnede van A en B: A  B

A OR B De vereniging van A en B: A  B

A - B Het verschil A - B

B - A Het verschil B - A

A OR BA XOR B De exclusive OR is het absolute verschil van A en B: |A - B|

A AND B Niet-A OR Niet-B De Morgan: Niet-(A AND B) = Niet-A OR Niet-B. (A  B) = A  B

A OR B Niet-A AND Niet-B De Morgan: Niet-(A OR B) = Niet-A AND Niet-B. (A  B) = A  B

OR = ParallelschakelingAND = Serieschakeling OR =  AND = 

0  0 = 00  0 = OR = ParallelschakelingAND = Serieschakeling

1  0 = 11  0 = OR = ParallelschakelingAND = Serieschakeling

0  1 = 10  1 = OR = ParallelschakelingAND = Serieschakeling

1  1 = 11  1 = OR = ParallelschakelingAND = Serieschakeling

Resumerend. De Booleaanse Logica kent twee waarheidswaarden: False (0) en True (1). De belangrijkste logische operatoren zijn De doorsnee = AND =  De vereniging = OR =  De ontkenning = NOT =  De implicatie = THEN = Met behulp van deze operatoren kan de propositielogica bedreven worden.

Fuzzy Logic Lotfi A. Zadeh (1921) Fuzzy Sets (1965)

“laag” Drie Booleaanse sets “hoog” “gemiddeld” µ Percentage µ = “mu” = lidmaatschapsgraad

25 “laag” Drie Booleaanse sets 0 1 “hoog” “gemiddeld” 8 µ Percentage µ = “mu” = lidmaatschapsgraad

“laag” Drie Booleaanse sets “hoog” “gemiddeld” µ Percentage µ = “mu” = lidmaatschapsgraad

“laag” Drie Booleaanse sets “hoog” “gemiddeld” µ Percentage µ = “mu” = lidmaatschapsgraad

“laag” Drie Booleaanse sets “hoog” “gemiddeld” µ Percentage µ = “mu” = lidmaatschapsgraad

25 Percentage “laag” Drie fuzzy sets 0 1 µ “hoog” “gemiddeld” 8 µ = “mu” = lidmaatschapsgraad

A = {} Beschouw de klassieke set A van het universum U. Een fuzzy set A wordt gedefinieerd als een set van geordende paren. Definitie van een Fuzzy Set

A = {x} Het is een binaire relatie van een element x… Definitie van een Fuzzy Set

A = {(x, µ)} en de lidmaatschapsgraad… Definitie van een Fuzzy Set

A = {(x, µ (x))} en de lidmaatschapsgraad van x … Definitie van een Fuzzy Set

en de lidmaatschapsgraad van x in A. A = {(x, µ (x))} A Definitie van een Fuzzy Set

Waarbij x behoort tot A. A = {(x, µ (x)) | x  A } A Definitie van een Fuzzy Set

En de lidmaatschapsgraad behoort tot het gesloten interval van 0 tot en met 1. A = {(x, µ (x)) | x  A, µ (x)  [0, 1] } AA Definitie van een Fuzzy Set

Beschouw de klassieke set A van het universum U. Een fuzzy set A wordt gedefinieerd als een set van geordende paren. Het is een binaire relatie van een element x en de lidmaatschapsgraad van x in A. Waarbij x behoort tot A. En de lidmaatschapsgraad behoort tot het gesloten interval van 0 tot en met 1. A = {(x, µ (x)) | x  A, µ (x)  [0, 1] } AA Definitie van een Fuzzy Set

Een fuzzy set A 0 1 x µ U A µ = “mu” = lidmaatschapsgraad

0 1 µ (x) = 0.5 x Een fuzzy set A 0.5 µ A U µ = “mu” = lidmaatschapsgraad

De regenboog als voorbeeld van een universele set met daarin subsets

Fuzzy roodFuzzy groenFuzzy blauwFuzzy oranje Dit zijn een aantal (sub)sets uit de universele set

25 “laag” 0 1 µ “hoog” “gemiddeld” 8 µ ( x ) = 1.0 laag µ ( x ) = 0.0 gemiddeld µ ( x ) = 0.0 hoog Bepaling van de lidmaatschapsgraad x Percentage

25 “laag” 0 1 “hoog” “gemiddeld” 8 µ ( x ) = 0.5 laag µ ( x ) = 0.5 gemiddeld µ ( x ) = 0.0 hoog Bepaling van de lidmaatschapsgraad µ Percentage x

25 “laag” Bepaling van de lidmaatschapsgraad 0 1 “hoog” “gemiddeld” 8 µ ( x ) = 0.0 laag µ ( x ) = 1.0 gemiddeld µ ( x ) = 0.0 hoog µ Percentage x =

25 “laag” 0 1 “hoog” “gemiddeld” 8 µ ( x ) = 0.0 laag µ ( x ) = 0.8 gemiddeld µ ( x ) = 0.2 hoog Bepaling van de lidmaatschapsgraad µ Percentage x

25 “laag” 0 1 “hoog” “gemiddeld” 8 µ ( x ) = 0.0 laag µ ( x ) = 0.6 gemiddeld µ ( x ) = 0.4 hoog Bepaling van de lidmaatschapsgraad µ Percentage x

25 “laag” 0 1 “hoog” “gemiddeld” 8 µ ( x ) = 0.0 laag µ ( x ) = 0.4 gemiddeld µ ( x ) = 0.6 hoog Bepaling van de lidmaatschapsgraad µ Percentage x

25 “laag” 0 1 “hoog” “gemiddeld” 8 µ ( x ) = 0.0 laag µ ( x ) = 0.0 gemiddeld µ ( x ) = 1.0 hoog Bepaling van de lidmaatschapsgraad µ Percentage x

815 “laag” Soepel in te stellen op veranderdende normen 0 1 “hoog” “gemiddeld” 22 µ ( x ) = 0.0 laag µ ( x ) = 1.0 gemiddeld µ ( x ) = 0.0 hoog µ Percentage x =

Operatoren voor fuzzy sets De doorsnede = MIN ( µ (x), µ (x)) De vereniging = MAX ( µ (x), µ (x)) Het complement = 1- µ (x) De implicatie = A A A B B

Operatoren voor fuzzy sets A  B = MIN(A, B) 0 De doorsnede = Minimum

Operatoren voor fuzzy sets A  B = MAX(A, B) De vereniging = Maximum

Resumerend. Fuzzy Logic kent oneindig veel waarheidswaarden: variërend van 0 tot en met 1. De waarheidswaarde = lidmaatschapsgraad = µ. De belangrijkste logische operatoren zijn: De doorsnede = MIN (µ (x), µ (x)) De vereniging = MAX (µ (x), µ (x)) Het complement = 1- µ (x) De implicatie = A A A B B Met behulp hiervan kan approximate reasoning (= benaderend redeneren) bedreven worden.