Het meten van radioaktiviteit meet pulsen gedurende meettijd t wat is de kans om n pulsen te meten? wat is de verdelingsfuntie van pulsen? er zijn van deze intervallen verdeel de meettijd t in kleine intervallen Dt kans op een puls in interval Dt is p kans op geen puls in interval is (1-p) er mag maximaal 1 puls kan voorkomen Dt moet héél klein zijn kans op n pulsen in N intervallen:

Poissonverdeling Poissonverdeling = van de binomiaalverdeling met

Als we maar 1 meting doen en geen hele serie meetresultaat n standaardafwijking van de losse metingen: Hoe goed is deze benadering?

Mag ik aannemen dat n ligt met ca. 68% zekerheid in het interval conclusie: ligt met ca. 68% zekerheid in het interval ligt met ca. 96% zekerheid in het interval

Opgaven van vorige keer Wat is de kans Pn(N) dat de dronken man in exact N stappen op positie n terecht komt? Teken Pn(N) als functie van N bij n=10 en p=0.5 (in Origin) Is ? Probeer te berekenen Is het maximum van de kromme?

Let op Pn(N) = kans om op de Nde stap op positie n terecht te komen PN(n) = kans om na N stappen op positie n te staan

Oplossingen Hij moet in de laatste stap vooruit stappen, dus: Kans Pn(N) = kans dat hij na N-1 passen op positie n-1 is  kans dat hij de Nde pas vooruit stapt dus merk op: Pn(N)=0 voor N<n

In een plaatje

Is ? waarbij

Is ? waarbij q.e.d.

Wat is ? dus bij n=10 en p=0.5 is

Wat is ? dus bij n=10 en p=0.5 is

Lijkt de Poissonverdeling op de Gaussverdeling? Poissonverdeling met m=20 Gaussverdeling met en

Lijkt de binomiaalverdeling op de Gaussverdeling? Binomiaal-verdeling met N=100 en p=0.2 Gaussverdeling met en

Limieten van de binomiaalverdeling neem noem de staplengte van de dronken man: neem Poisson: Gauss: met

Het probleem van de Gaussverdeling kans op een meting x tussen grenzen a en b: niet oplosbaar schrijf nog steeds niet oplosbaar

De gereduceerde normale verdeling definieer (z) heet de gereduceerde normale verdeling d.i. de gewone normale verdeling met en de grenswaarde za is het aantal keer s dat a van afligt ik kan volstaan met 1 tabel: zie diktaat blz. 69

Een oefening diktaat blz. 72, opg. 2

Overzicht van alle zaken tot nu toe

2 soorten fouten systematische fouten Fouten toevallige fouten elimineren of voor corrigeren rekenregels

2 soorten betrouwbaarheidsintervallen notatie: als iedere(herhaling van de) meting hetzelfde resultaat oplevert 68% intervallen als er toevallige afwijkingen zijn meting herhalen om Sp te bepalen

Notatie van meetresultaten Onzekerheden opgeven met 1 significant cijfer Bij tussenresultaten: 2 significante cijfers Meetresultaat en onzekerheid op dezelfde positie afronden EENHEDEN vermelden

Rekenregels - foutenvoortplanting 100%-intervallen: gemeten zijn de grootheden berekend wordt de grootheid Algemene regel: Speciale gevallen: f(x1, …, xn) = som of verschil van x1, .., xn absolute onzekerheden optellen f(x1, …, xn) = product of quotiënt van x1, .., xn relatieve onzekerheden optellen partiële afgeleide

Rekenregels - foutenvoortplanting 68%-intervallen: gemeten zijn de grootheden berekend wordt de grootheid Algemene regel: Speciale gevallen: f(x1, …, xn) = som of verschil van x1, .., xn absolute onzekerheden kwadratisch optellen f(x1, …, xn) = product of quotiënt van x1, .., xn relatieve onzekerheden kwadratisch optellen partiële afgeleide

Voorwaarden Onzekerheden moeten onafhankelijk zijn Onzekerheden moeten klein zijn Let op: onzekerheden in hoeken in radialen en niet in graden

Metingen met toevallige afwijkingen strooiing van meetresultaten xi rond de werkelijke waarde xw kansverdeling: meestal normale verdeling (Gaussverdeling) p(x) dx = kans om een meting te doen met resultaat tussen x en x+dx kans om x te meten met a  x  b is

Verdeling van meetresultaten  veel metingen

kansdichtheidsfunctie: ca. 68 % van de metingen definities: verwachtingswaarde: algemeen: variantie: standaardafwijking:

Losse metingen x1, …, xN theorie: eindig aantal metingen: standaardafwijking van de metingen: S2 = steekproefvariantie

standaardafwijkingen standaardafwijking van de losse metingen: standaardafwijking van het gemiddelde: standaardafwijking van de standaardafwijking: standaardafwijking van de standaardafwijking van het gemiddelde:

De standaardafwijking De standaardafwijking is het 68%-betrouwbaarheidsinterval S = onzekerheid in één meting Sm = onzekerheid in het gemiddelde SS = onzekerheid in S SSm = onzekerheid in Sm Merk op: is ONAFHANKELIJK van het aantal metingen N (mits N groot is) hangt WEL af van het aantal metingen want dus

Het combineren van meetresultaten Gemeten zijn Het gewogen gemiddelde is met gewichtsfactoren De onzekerheid in is

Kleinste-kwadraten-methode gemeten zijn (xi,yi) gezocht wordt de lijn ax + b parameters a en b zijn de onbekenden oplossing vind je door te minimaliseren

Aannames bij de kleinste-kwadraten-methode Wat anders? Het veband is lineair Lineariseer het verband Doe een niet-lineaire fit op je laptop Er zitten alleen onzekerheden in yi Verwissel x en y als er alleen maar onzekerheden in xi zitten Anders te ingewikkeld: plot de grootste onzekerheid langs de y-as De onzekerheden in alle yi zijn constant Doe c2-fit (onzekerheden als gewichtsfactoren) De yi-waarden zijn bepaald uit meetseries Bepaal uit de spreiding van punten rond de lijn

c2-fit minimaliseer c2 m.b.v. niet-lineair verband lineair verband of minimaliseer c2 m.b.v. i.h.a. niet analytisch oplosbaar voor willekeurige f(x). Wel voor rechte lijnen en macht-reeksen (voor lijn door de oorsprong) a,b,c,… zijn de onbekenden

Voorwaarde voor alle fits Neem evenveel fitparameters als onbekenden in het probleem

Oplossing voor een rechte lijn

(= onzekerheid in de meetpunten) yi-waarden zijn bepaald uit meetseries yi-waarden zijn eenmalig gemeten (= onzekerheid in de meetpunten) (= stooiing van de meetpunten rond de rechte lijn)

Verdelingsfuncties continue functies p(x) discrete functies P(n) kansdichtheid kans

Binomiaalverdeling

Poissonverdeling Opmerkingen: Poissonverdeling krijg je uit de binomiaalverdeling door N te nemen en Np==constant te houden De breedte () van de verdeling wordt bepaald door het gemiddelde  via Bij 1 meting (n) ken je die breedte al heel redelijk via voor grote n

Normale verdeling of Gaussverdeling  is de standaardafwijking

Gereduceerde normale verdeling definieer (z) heet de gereduceerde normale verdeling d.i. de gewone normale verdeling met en de grenswaarde za is het aantal keer s dat a van afligt ik kan volstaan met 1 tabel: zie diktaat blz. 69