Johan Deprez PEDIC Gent, februari 2005 Rijen en differentievergelijkingen / recursieve vergelijkingen met de TI-83/84-familie Johan Deprez PEDIC Gent, februari 2005

Kennismaking jullie: ik: ASO – TSO?, veel – weinig uren wiskunde? niet - een beetje - goed vertrouwd met gebruik van TI83/84 voor rijen/recursieve vergelijkingen? ik: EHSAL = economisch hoger onderwijs van 2 cycli, wiskunde in de kandidaturen academische lerarenopleiding T3

Materiaal slides: op www.ua.ac.be/johan.deprez (opschrijven!) werkteksten om tijdens de sessies te gebruiken tekst om achteraf te lezen

Recursieve vergelijkingen: waar te gebruiken? leerplan 3de graad ASO - 6u: “De leerlingen kunnen problemen met betrekking tot discrete veranderingsprocessen wiskundig modelleren en oplossen. (DI3)” keuze-onderwerp iteratie vrije ruimte discrete veranderingsprocessen/iteratie ook toegankelijk voor andere richtingen in ASO en TSO

Bronnen J.D. en Jan Roels, Discrete dynamische systemen, Uitwiskeling 20/3, mei 2004 ( tekst om achteraf te lezen)

Bronnen C. Biront, J.D., Wiskundige begrippen en methoden – deel 3, Wolters-Plantyn, 1998

Overzicht inleiding werkmoment 1: basisbediening TI83/84 i.v.m. rijen en recursieve vergelijkingen (werktekst 1) synthese werkmoment 1 en bijkomende voorbeelden inleiding op werkmoment 2 werkmoment 2: webgrafieken (werktekst 2) synthese werkmoment 2 werkmoment 3: uitbreiding (keuze, werkteksten met antwoorden bijgevoegd) recursieve vergelijkingen en matrixmodellen (werktekst 3) een niet-lineaire recursieve vergelijking (werktekst 4) een differentiaalvergelijking oplossen m.b.v. een recursieve vergelijking (werktekst 5) TIJDENS DE WERKMOMENTEN KUN JE GERUST AAN ANDERE DAN DE VOORZIENE WERKTEKSTEN WERKEN !

Overzicht inleiding werkmoment 1: basisbediening TI83/84 i.v.m. rijen en recursieve vergelijkingen (werktekst 1) synthese werkmoment 1 en bijkomende voorbeelden inleiding op werkmoment 2 werkmoment 2: webgrafieken (werktekst 2) synthese werkmoment 2 werkmoment 3: uitbreiding (keuze, werkteksten met antwoorden bijgevoegd) recursieve vergelijkingen en matrixmodellen (werktekst 3) een niet-lineaire recursieve vergelijking (werktekst 4) een differentiaalvergelijking oplossen m.b.v. een recursieve vergelijking (werktekst 5) TIJDENS DE WERKMOMENTEN KUN JE GERUST AAN ANDERE DAN DE VOORZIENE WERKTEKSTEN WERKEN !

Overzicht inleiding werkmoment 1: basisbediening TI83/84 i.v.m. rijen en recursieve vergelijkingen (werktekst 1) synthese werkmoment 1 en bijkomende voorbeelden inleiding op werkmoment 2 werkmoment 2: webgrafieken (werktekst 2) synthese werkmoment 2 werkmoment 3: uitbreiding (keuze, werkteksten met antwoorden bijgevoegd) recursieve vergelijkingen en matrixmodellen (werktekst 3) een niet-lineaire recursieve vergelijking (werktekst 4) een differentiaalvergelijking oplossen m.b.v. een recursieve vergelijking (werktekst 5) TIJDENS DE WERKMOMENTEN KUN JE GERUST AAN ANDERE DAN DE VOORZIENE WERKTEKSTEN WERKEN !

Overzicht inleiding werkmoment 1: basisbediening TI83/84 i.v.m. rijen en recursieve vergelijkingen (werktekst 1) synthese werkmoment 1 en bijkomende voorbeelden inleiding op werkmoment 2 werkmoment 2: webgrafieken (werktekst 2) synthese werkmoment 2 werkmoment 3: uitbreiding (keuze, werkteksten met antwoorden bijgevoegd) recursieve vergelijkingen en matrixmodellen (werktekst 3) een niet-lineaire recursieve vergelijking (werktekst 4) een differentiaalvergelijking oplossen m.b.v. een recursieve vergelijking (werktekst 5) TIJDENS DE WERKMOMENTEN KUN JE GERUST AAN ANDERE DAN DE VOORZIENE WERKTEKSTEN WERKEN !

Overzicht inleiding werkmoment 1: basisbediening TI83/84 i.v.m. rijen en recursieve vergelijkingen (werktekst 1, errata: zie volgende slide) synthese werkmoment 1 en bijkomende voorbeelden inleiding op werkmoment 2 werkmoment 2: webgrafieken (werktekst 2) synthese werkmoment 2 werkmoment 3: uitbreiding (keuze) recursieve vergelijkingen en matrixmodellen (werktekst 3) een niet-lineaire recursieve vergelijking (werktekst 4) een differentiaalvergelijking oplossen m.b.v. een recursieve vergelijking (werktekst 5) TIJDENS DE WERKMOMENTEN KUN JE GERUST AAN ANDERE DAN DE VOORZIENE WERKTEKSTEN WERKEN !

Errata Werktekst 2, vraag 5: … Druk 6 keer op [pijltje rechts] (i.p.v. [TRACE]) Werktekst 2, vraag 7: … druk hiervoor verschillende keren op [pijltje rechts] (i.p.v. [TRACE]) Werktekst 3, in de commentaar na vraag 6: 'en bij de matrix uit de volgende paragraaf' weglaten Werktekst 4, vraag 7 en commentaar bij vraag 8: Ook 0 is x-coördinaat van een snijpunt (maar dat heeft verder weinig belang)

Overzicht inleiding werkmoment 1: basisbediening TI83/84 i.v.m. rijen en recursieve vergelijkingen (werktekst 1) synthese werkmoment 1 en bijkomende voorbeelden inleiding op werkmoment 2 werkmoment 2: webgrafieken (werktekst 2) synthese werkmoment 2 werkmoment 3: uitbreiding (keuze) recursieve vergelijkingen en matrixmodellen (werktekst 3) een niet-lineaire recursieve vergelijking (werktekst 4) een differentiaalvergelijking oplossen m.b.v. een recursieve vergelijking (werktekst 5) TIJDENS DE WERKMOMENTEN KUN JE GERUST AAN ANDERE DAN DE VOORZIENE WERKTEKSTEN WERKEN !

Een bos beheren: basisscherm … op lange termijn: evenwicht 4500 …

Een bos beheren: recursieve vergelijking - differentievergelijking beginvoorwaarde: differentie: differentievergelijking:

Een bos beheren: vergelijking en tabel accolades worden door de rekenmachine geplaatst !

Een bos beheren: grafiek

Een bos beheren: expliciete vergelijking GRAPH: geen verschil TRACE: geen verschil TABLE: geen verschil

De tijd: een netelige kwestie aantal bomen op het perceel op een zeker ogenblik, tijdstip aantal gekapte bomen in een zekere periode, tijdsinterval starten met 0 1 2 3 4 5 6 7 1ste jaar 2de jaar 3de jaar 4de jaar 5de jaar 6de jaar 7de jaar starten met 1 aantal gekapte bomen tijdens het jaar 1 = 10% van het aantal bomen bij het begin van jaar 1 = 10% van het aantal bomen op tijdstip 0

Een bos beheren: LIST-commando’s verschillen worden steeds kleiner

Een bos beheren: dynamisch evenwicht opgave 12 bij evenwicht: 450 bomen worden gekapt 450 bomen worden geplant AANTAL bomen blijft gelijk, maar het zijn niet allemaal dezelfde bomen: dynamisch evenwicht opgave 13 evenwicht = getal B met B = 0.9B + 450, dus B = 4500

Een bos beheren: evenwicht opgave 14: als je start op het evenwicht: aantal bomen blijft constant opgave 15: als het systeem uit evenwicht gebracht wordt, keert het terug naar het evenwicht: stabiel evenwicht opgave 16: evenwicht = getal B met B = 0.9B + 450 , dus B = 4500 evenwicht = getal B met B = 0.9B + 450 , dus B = 4500 500 ? 5000 evenwicht = getal B met B = 0.9 B +450 , dus B = 4500 0.91 ? 5000

TI83/84 en rijen (deel 1) gebruik van de [ANS]-toets bij berekeningen op het basisscherm met recursieve voorschriften LIST-commando’s seq(… voor een rij sum(seq(… voor een partieelsom ∆List(seq(… voor een verschilrij TABLE en GRAPH in SEQ-vorm (STAT-omgeving)

Overzicht inleiding werkmoment 1: basisbediening TI83/84 i.v.m. rijen en recursieve vergelijkingen (werktekst 1) synthese werkmoment 1 en bijkomende voorbeelden inleiding op werkmoment 2 werkmoment 2: webgrafieken (werktekst 2) synthese werkmoment 2 werkmoment 3: uitbreiding (keuze) recursieve vergelijkingen en matrixmodellen (werktekst 3) een niet-lineaire recursieve vergelijking (werktekst 4) een differentiaalvergelijking oplossen m.b.v. een recursieve vergelijking (werktekst 5) TIJDENS DE WERKMOMENTEN KUN JE GERUST AAN ANDERE DAN DE VOORZIENE WERKTEKSTEN WERKEN !

LIST-commando’s: differenties van ‘veeltermrijen’

LIST-commando’s: financiële algebra Vanaf het jaar waarin ik 40 werd, stort ik elk jaar op 1 januari 1000 EUR op een rekening die 5% (samengestelde) intrest per jaar opbrengt. Ik zal dat volhouden tot het jaar waarin ik 64 word. Hoeveel geld zal er op deze rekening staan op 1 januari van het jaar waarin ik 65 word? waarde van de 1ste storting: 1000×1.0525 waarde van de 2de storting: 1000×1.0524 waarde van de 3de storting: 1000×1.0523 … waarde van de laatste = 25ste storting: 1000×1.051

TABLE/GRAPH in SEQ-vorm: grafieken van meetkundige rijen reden positief en >1 punten op de grafiek van een stijgende exponentiële functie versneld stijgend, limiet +∞

TABLE/GRAPH in SEQ-vorm: grafieken van meetkundige rijen punten verbinden! explosief schommelend, geen limietwaarde

TABLE/GRAPH in SEQ-vorm: rij van Fibonacci beginterm met rangnummer 1 recursieve vergelijking van de tweede orde twee beginwaarden! zelf accolades en komma plaatsen!

TABLE/GRAPH in SEQ-vorm: rij van Fibonacci een expliciet voorschrift:

TABLE/GRAPH in SEQ-vorm: rij van Fibonacci -1 < grondtal < 0  0 als n groot is een expliciet voorschrift: als n groot is

Overzicht inleiding werkmoment 1: basisbediening TI83/84 i.v.m. rijen en recursieve vergelijkingen (werktekst 1) synthese werkmoment 1 en bijkomende voorbeelden inleiding op werkmoment 2 werkmoment 2: webgrafieken (werktekst 2) synthese werkmoment 2 werkmoment 3: uitbreiding (keuze) recursieve vergelijkingen en matrixmodellen (werktekst 3) een niet-lineaire recursieve vergelijking (werktekst 4) een differentiaalvergelijking oplossen m.b.v. een recursieve vergelijking (werktekst 5) TIJDENS DE WERKMOMENTEN KUN JE GERUST AAN ANDERE DAN DE VOORZIENE WERKTEKSTEN WERKEN !

Vraag en aanbod: inleiding – vergelijking (1) product met productietijd van ongeveer één jaar (wintertarwe, varkens, …) beslissing om te produceren (en product op de markt aan te bieden) valt één jaar vóór het effectief aanbieden vergelijking (1), aanbod: aanbod reageert met vertraging op de prijs

Vraag en aanbod: inleiding – andere vergelijkingen vergelijking (2), vraag: vergelijking (3), evenwicht: mechanisme: prijs van jaar n – 1 bepaalt aanbod van jaar n in jaar n stijgt/daalt prijs om evenwicht te krijgen er worden geen voorraden opgebouwd (product is bederfbaar, modegevoelig, …) vergelijking (4), begin:

Vraag en aanbod rechtstreeks ! via recursieve vergelijking

Overzicht inleiding werkmoment 1: basisbediening TI83/84 i.v.m. rijen en recursieve vergelijkingen (werktekst 1) synthese werkmoment 1 en bijkomende voorbeelden inleiding op werkmoment 2 werkmoment 2: webgrafieken (werktekst 2, errata oef. 5 en 7: pijltje rechts i.p.v. [TRACE]) synthese werkmoment 2 werkmoment 3: uitbreiding (keuze) recursieve vergelijkingen en matrixmodellen (werktekst 3) een niet-lineaire recursieve vergelijking (werktekst 4) een differentiaalvergelijking oplossen m.b.v. een recursieve vergelijking (werktekst 5) TIJDENS DE WERKMOMENTEN KUN JE GERUST AAN ANDERE DAN DE VOORZIENE WERKTEKSTEN WERKEN !

Overzicht inleiding werkmoment 1: basisbediening TI83/84 i.v.m. rijen en recursieve vergelijkingen (werktekst 1) synthese werkmoment 1 en bijkomende voorbeelden inleiding op werkmoment 2 werkmoment 2: webgrafieken (werktekst 2) synthese werkmoment 2 werkmoment 3: uitbreiding (keuze) recursieve vergelijkingen en matrixmodellen (werktekst 3) een niet-lineaire recursieve vergelijking (werktekst 4) een differentiaalvergelijking oplossen m.b.v. een recursieve vergelijking (werktekst 5) TIJDENS DE WERKMOMENTEN KUN JE GERUST AAN ANDERE DAN DE VOORZIENE WERKTEKSTEN WERKEN !

Vraag en aanbod ? recursievergelijking: 25 invullen voor p0 webdiagram: 25 invullen voor x prijs verloopt gedempt schommelend met limietwaarde 20

Vraag en aanbod

Overzicht inleiding werkmoment 1: basisbediening TI83/84 i.v.m. rijen en recursieve vergelijkingen (werktekst 1) synthese werkmoment 1 en bijkomende voorbeelden inleiding op werkmoment 2 werkmoment 2: webgrafieken (werktekst 2) synthese werkmoment 2 werkmoment 3: uitbreiding (keuze, antwoorden achter de werktekst) recursieve vergelijkingen en matrixmodellen (werktekst 3) een niet-lineaire recursieve vergelijking (werktekst 4) een differentiaalvergelijking oplossen m.b.v. een recursieve vergelijking (werktekst 5) TIJDENS DE WERKMOMENTEN KUN JE GERUST AAN ANDERE DAN DE VOORZIENE WERKTEKSTEN WERKEN !

Overzicht inleiding werkmoment 1: basisbediening TI83/84 i.v.m. rijen en recursieve vergelijkingen (werktekst 1) synthese werkmoment 1 en bijkomende voorbeelden inleiding op werkmoment 2 werkmoment 2: webgrafieken (werktekst 2) synthese werkmoment 2 werkmoment 3: uitbreiding (keuze, antwoorden achter de werktekst) recursieve vergelijkingen en matrixmodellen (werktekst 3) een niet-lineaire recursieve vergelijking (werktekst 4) een differentiaalvergelijking oplossen m.b.v. een recursieve vergelijking (werktekst 5) TIJDENS DE WERKMOMENTEN KUN JE GERUST AAN ANDERE DAN DE VOORZIENE WERKTEKSTEN WERKEN !

Overzicht inleiding werkmoment 1: basisbediening TI83/84 i.v.m. rijen en recursieve vergelijkingen (werktekst 1) synthese werkmoment 1 en bijkomende voorbeelden inleiding op werkmoment 2 werkmoment 2: webgrafieken (werktekst 2) synthese werkmoment 2 werkmoment 3: uitbreiding (keuze, antwoorden achter de werktekst) recursieve vergelijkingen en matrixmodellen (werktekst 3) een niet-lineaire recursieve vergelijking (werktekst 4) een differentiaalvergelijking oplossen m.b.v. een recursieve vergelijking (werktekst 5) TIJDENS DE WERKMOMENTEN KUN JE GERUST AAN ANDERE DAN DE VOORZIENE WERKTEKSTEN WERKEN !

Overzicht inleiding werkmoment 1: basisbediening TI83/84 i.v.m. rijen en recursieve vergelijkingen (werktekst 1) synthese werkmoment 1 en bijkomende voorbeelden inleiding op werkmoment 2 werkmoment 2: webgrafieken (werktekst 2) synthese werkmoment 2 werkmoment 3: uitbreiding (keuze, antwoorden achter de werktekst) recursieve vergelijkingen en matrixmodellen (werktekst 3) een niet-lineaire recursieve vergelijking (werktekst 4) een differentiaalvergelijking oplossen m.b.v. een recursieve vergelijking (werktekst 5) TIJDENS DE WERKMOMENTEN KUN JE GERUST AAN ANDERE DAN DE VOORZIENE WERKTEKSTEN WERKEN !

Werktekst 4: een niet-lineaire recursievergelijking – vraag 2 stabiel evenwicht: verstoring herstelt zich; aantrekkend in webgrafiek: parabool! helling vd grafiek (raaklijn) in 0.6 ligt tussen -1 en 0 limietwaarde 0.6 (cfr. snijpunt parabool en rechte) gedempt schommelend

Werktekst 4 – vraag 4 en 5 helling vd grafiek (raaklijn) in 5/7 is < -1 + onnauwkeurigheid in de beginwaarde: dus explosief schommelend, onstabiel evenwicht, afstotend rij is constant, in 5/7 snijden parabool en rechte elkaar

geen problemen met afrondingen! Werktekst 4 – vraag 6 geen problemen met afrondingen! rij met periode 2

Werktekst 4 – vraag 7 grafiek van f en rechte snijden elkaar in 5/7 onstabiel evenwicht: raaklijn heeft ‘grote’ helling

Werktekst 4 – vraag 7 hernummeren constante rijen

Werktekst 4 – vraag 7

Werktekst 4 – vraag 8 periode 4 onderzoeken m.b.v.

Werktekst 4 – vraag 8 grafiek f4 uitvergroten helling in snijpunt, aantrekkend helling in ander snijpunt, afstotend een snijpunt