Babylonische wiskunde. Kleitabletten ontcijferen.

Wat gaan we doen: Nog even de Stelling van Pythagoras (550 v. Chr.) bekijken en bewijzen. Kennismaken met de notatie van getallen in een 60-tallig talstelsel. Even oefenen met het 60-tallig stelsel. Babylonische getaltekens in spijkerschrift leren (2000 v. Chr). Als echte veldarcheologen kleitabletten ontcijferen en ons verbazen. Pythagoras “ontmaskeren”.

De Stelling van Pythagoras.

Bewijs de Stelling van Pythagoras: (stencil).

a2 + b2 = c2 De oppervlakte van het volledige vierkant is: (a + b)∙(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 De oppervlakte van de afzonderlijke delen is: 4∙1/2∙ab + c2 = 2ab + c2 Deze uitkomsten zijn gelijk, dus: a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2 -2ab a2 + b2 = c2

Dat levert bijvoorbeeld het drietal: 15 17 8 A B C 8 – 15 - 17

Pythagoreïsche drietallen. 3 – 4 – 5 want 32 + 42 = 52 9 + 16 = 25 5 – 12 – 13 want 52 + 122 = 132 25 + 144 = 169 8 – 15 – 17 want 82 + 152 = 172 64 + 225 = 289 Zijn er nog meer….. ??

Meso (tussen) potamie (wateren)

Hunebedbouwers (3000 v. Chr.) West-Europa: Germanen (1000 v. Chr.)

Het oude Babylonië = het huidige Iran & Irak

Sumerisch pictografisch kleitablet

Spijkerschrift Mesopotamië.

Een vierduizend jaar oud kleitablet met een wiskundige opgave Een vierduizend jaar oud kleitablet met een wiskundige opgave. Van de twee cirkels moet de omtrek berekend worden. Irak, 2500-1800 v Chr.

Een indrukwekkende berekening over (alweer) cirkels.

Soemerische kleitablet. Telling van geiten en schapen. Zuid Irak.

Deze gaan we straks ontcijferen.

En deze ook !

Het 10-tallig positiestelsel. 103 1000 102 100 101 10 100 1 10-1 0,1 10-2 0,01 3 8 5 , 9 Staat voor het getal 3085,09 3 , 7 Staat voor het getal 9303,7

Het 60-tallig positiestelsel. 603 216000 602 3600 601 60 600 1 60-1 1/60 60-2 1/3600 2 12 43 , 45 Staat voor: 2 x 3600 + 12 x 60 + 43 x 1 + 45 x 1/60 = 7963,75 1 51 14 , 20 50 Staat voor: 1 x 216000 + 51 x 60 + 14 x 1 + 20 x 1/60 + 50 x 1/3600 = 219 074,3472

8 23 , 45 Ontcijfer het volgende 60-tallige getal: 8 23 , 45 45 x 1/60 = ¾ = 0,75 23 x 1 = 23 8 x 60 = 480 Dat is dus samen 480 + 23 + 0,75 = 503,75

Babylonische cijfertekens.

YBC 7344 (Yale Babylonian Collection nr 7344)

Welk getal staat hier ? , 12 x 1/60 = 1/5 = 0,2 28 x 1 = 28 Samen dus: 46800 + 3300 + 28 + 0,2 = 50128,2

Zelf aan de slag: Ontcijfer nu de tabel in je stencilpakket.

YBC 7289

Plimpton 322 (plm 2000 v. Chr.)

4 5 6 7 8 9 10 11 12

De laatste twee kolommen: Een vaste uitdrukking, en rangnummers.

De tweede kolom: Ontcijfer de regels 5 - 8 en 11 - 12. Vul de resultaten in, in de tabel op het stencil.

De derde kolom: Ontcijfer de regels 5 – 8 en 11 - 12. Vul de resultaten in, in de tabel op het stencil.

Hoogte AC (niet opgenomen) 1 119 169 2 3367 11521 (4825) 3 4601 6649 4 nr ?????? (1eK) Breedte AB (2eK) Diagonaal BC (3eK) Hoogte AC (niet opgenomen) 1 119 169 2 3367 11521 (4825) 3 4601 6649 4 12709 18541 5 6 7 8 9 541 (481) 769 10 4961 8161 11 12 13 25921 (161) 289 14 1771 3229 15 56 53 (106) 65 319 2291 799 45 1679 97 481 3541 1249 75 2929 Bereken de getallen die in de lege kolom moeten staan. Verbeter de fouten (*) in de andere kolommen.

breedte diagonaal hoogte A B C

Hoogte AC (niet opgenomen) 1 119 169 2 3367 11521 (4825) 3 4601 6649 4 Alles met elkaar komen we decimaal tot de volgende tabel: nr ??????? (1eK) Breedte AB (2eK) Diagonaal BC (3eK) Hoogte AC (niet opgenomen) 1 119 169 2 3367 11521 (4825) 3 4601 6649 4 12709 18541 5 6 7 8 9 541 (481) 769 10 4961 8161 11 12 13 25921 (161) 289 14 1771 3229 15 56 53 (106) 65 319 2291 799 45 1679 97 481 3541 1249 75 2929 72 360 2700 960 60 2400 Bereken de getallen die in de lege kolom moeten staan. Verbeter de fouten (*) in de andere kolommen.

BC2 / AC2 nr Ahá !! (1eK) Breedte AB (2eK) Diagonaal BC (3eK) Alles met elkaar komen we decimaal tot de volgende tabel: nr Ahá !! (1eK) Breedte AB (2eK) Diagonaal BC (3eK) Hoogte AC (niet opgenomen) 1 119 169 2 3367 11521 (4825) 3 4601 6649 4 12709 18541 5 6 7 8 9 541 (481) 769 10 4961 8161 11 12 13 25921 (161) 289 14 1771 3229 15 56 53 (106) BC2 / AC2 1,81501.. 1,78519.. 1,71998.. 1,6928.. 1,5625,, 1,48942.. 65 319 2291 799 45 1679 97 481 3541 1249 75 2929 72 360 2700 960 60 2400 Bereken de getallen die in de lege kolom moeten staan. Verbeter de fouten (*) in de andere kolommen.

Slot. Het is zo goed als zeker dat de Stelling van Pythagoras al ruim 1000 jaar eerder bij de Babyloniërs bekend was. Het 60-tallig stelsel heeft duidelijke sporen nagelaten in onze cultuur (klok, graden). Het is opmerkelijk dat het cijfer “nul” nog niet bekend was (is later “uitgevonden”). Deze presentatie is terug te zien op www.wiskan.nl Ik ga nu lekker slapen ………………