1 Risicobeheer met opties Advanced Corporate Finance Frank de Jong 27 januari 2000

2 Inleiding n Termijncontracten hedgen tegen op en neergaande prijsbewegingen n termijncontract zelf kan verliezen laten zien n soms alleen nodig om neerwaarts risico (mogelijke verliezen) af te dekken n opties bieden hier een mogelijkheid n niet kostenloos!

3 Opties n Een optie geeft je het recht om de onderliggende waarde tegen een vaste prijs te kopen (call) dan wel te verkopen (put) n Het (ver)kooprecht kan alleen op of voor een gegeven vaste datum (expiratiedatum) worden uitgeoefend ä alleen op expiratie: Europese optie ä tot expiratie: Amerikaanse optie

Some Option Strategies Writing a call X C SX C S Buying a call

Some Option Strategies X P S Buying a put X P S Writing a put

6 Toepassingen van opties n Als verzekeringsinstrument: neerwaarts risico op een long positie kan worden afgedekt met een put optie ä belegging in aandelen met putoptie op de AEX: beschermt tegen koersdalingen n Rentebetaling op variabel-rentende lening kan worden begrensd door een cap ä betaalt verschil tussen LIBOR en strike als LIBOR hoger is dan de strike

7 Optiewaarde voor expiratie n Optie heeft altijd positieve uitbetaling, of betaalt niets uit. Zal dus niet gratis zijn, maar wat is een faire prijs? n Intrinsieke waarde call: max(S-X,0) n Tijdswaarde: onderliggende waarde kan fluctueren. Een optie die nu (t<T) out-of- the-money is kan dus op T weer in-the- money zijn.

8 Optiewaarde voor expiratie (2) n Waarde call optie hangt af van ä huidige onderliggende waarde (+) ä uitoefenprijs (-) ä rente (+) ä time-to-maturity (+) ä fluctuaties in onderliggende waarde (+) (volatiliteit)

9 Prijsvorming: binomiaal model n Call optie op aandeel ABC. T = een periode. X = 40 n Prijs aandeel ABC, S= 40 n Prijs aandeel op T=1 is 50 of 32. n Rente is 6,67% per periode n Wat is prijs call op t=0?

10 Binomiaal model (2) n Wat is call op T=1 waard? ä Deze is 10, bij aandelenkoers van 50 en 0 bij koers van 32 ä Aan het einde van de looptijd heeft optie nog slechts intrinsieke waarde; bij een call: Max(0,S * -X) n Wat is optie op t=0 waard? ä Minimaal intrinsieke waarde, maar optie heeft tevens tijdswaarde!

11 Binomiaal model (3) n Replicerende portefeuille: ä Creeer een hedge portefeuille van aandelen en een lening zodanig dat de uitkering van de hedge portefeuille in alle gevallen gelijk is aan de uitkering van de call optie n Koop d aandelen en leen B. Dan moet gelden: ä d x 50 - (1+r) B = 10 ä d x 32 - (1+r) B = 0

12 Binomiaal model (4) n Twee vergelijkingen, twee onbekenden. r=0,0667. Oplossing (ga zelf na!): ä d = 5/9 ä B = 50/3 n Wat is deze portefeuille waard op t=0? ä d x 40 -B = 5/9 x /3= 5,56 n Dit is dus ook de prijs van de call op t=0! ä geen arbitragemogelijkheden

13 Binomiaal model (5) n Conclusie: ä Je kan opties risicoloos nabootsen door een portefeuille met een belegging in de onderliggende waarde en een lening ä De prijs van een optie moet gelijk zijn aan de waarde van deze portefeuille op t=0 n Zelfde principe voor meer-perioden model

14 Black-Scholes model (1) n Continue tijd: limiet van binomiaal model n Exacte formule voor waarde Europese optie n Aannamen: ä rendementen op de onderliggende waarde zijn normaal verdeeld en onvoorspelbaar –Geometrische Brownse beweging ä volatiliteit van rendement is constant ä rente is constant

15 Black-Scholes model (2) n Arbitrage argument: maak een portefeuille van een optie en de onderliggende waarde ä long positie in 1 call optie ä short positie in onderliggende waarde n kies aantal aandelen zo dat koersfluctaties elkaar precies opheffen n portefeuille is dus risicoloos en moet risicovrije rendement geven

16 Black-Scholes model (3) n Black en Scholes leiden uit dit arbitrage argument een unieke prijs voor de optie af n prijs is functie van ä onderliggende waarde (S) ä uitoefenprijs (X) ä rente (r) ä tijd tot expiratie (T-t) ä volatiliteit ( )

17 Call Option Value X Call Price (C) Stock Price ( S T ) Max(0, S T - X)

Put Option Value X Put Price (P) Stock Price ( S T ) Max(0, X - S T )

Put-Call Parity n Consider the following two options: ä a call option on stock S with exercise price X, and ä a put option on stock S with exercise price X. n The put-call parity result states that buying the underlying stock, buying the put option and selling the call option provides a perfect hedge.

20 Black-Scholes uitbreidingen n De Black-Scholes formule kan eenvoudig worden aangepast voor ä dividendbetaling op onderliggende waarde ä valutaopties ä opties op futures ä opties op rente (caps/floors/swaptions)

21 Kanttekeningen n Black-Scholes formule is niet heilig ä volatiliteit is niet direct waarneembaar ä rendementen zijn niet normaal verdeeld n wel is de Black-Scholes formule erg handig om de prijs van opties met verschillende looptijden of strikes te vergelijken ä implied volatilities