Over voetbal enzo Hoeveel zeshoeken bevat een voetbal? Probleem: onmogelijk om een voetbal te maken met alleen zeshoeken Bovenstaande figuur is een vlakvulling: een vlak rooster De veelzijdigheid van bollen
Veelhoeken (polygonen) Hoekpunten n 1 2 3 … n Diagonalen n*(n-3)/2 Zijden n Buren 2 Convexe veelhoek: Alle diagonalen vallen binnen veelhoek
Recursieve Constructie: Herhaald afknippen 1 2 3 … n 1 2 3 … n Een n-hoek bekom je als je vertrekkende vanuit een driehoek n-3 maal een hoekpunt wegsnijdt. Herhaald bijplakken Een n-hoek bekom je door n-2 driehoeken aan elkaar te plakken. De som van de hoeken van een n-hoek = (n-2)*180°
Regelmatige veelhoeken Gegeven: r(=1) en n(=9) a=
Regelmatige veelhoeken z=2*r*sin(180°/n) a=r*cos(180°/n) Opp = r2*sin(180°/n)* cos(180°/n) = r2*sin(360°/n)/2 Opp n-hoek=n*r2/2*sin(360°/n) Omtrek n-hoek=2*n*r*sin(180°/n) Opp 9-hoek=9/2*sin(40°)=2,89 Omtrek 9-hoek=2*9*sin(20°)=6,16
veelvlakken Een veelvlak is een ruimtelijke figuur begrensd door vlakke veelhoeken: Zijden of facetten(diamant) Ribben Hoekpunten Buren zijn hoekpunten verbonden door ribbe Diagonalen: zijdediagonaal lichaamsdiagonaal
orde De orde van een zijde = Aantal begrenzende ribben 5 3 De orde van een hoekpunt = Aantal ribben die toekomen 3 5
Prisma{n} H R Z 2n 3n n+2 Grondvlak // bovenvlak 3 De orde van een hoekpunt = allemaal orde 3 Opstaande ribben h Hoogte h: afstand boven-grond De orde van een zijde = zijvlakken orde 4 grond en boven orde n 4 5 inh=opp(grond)*h H R Z 2n 3n n+2
Piramide {n} H R Z n+1 2n grondvlak top opstaande ribben 3 5 Hoogte h: afstand top-grondvlak inh=opp(grond)*h/3 3 5 De orde van een hoekpunt = grondvlak orde 3 top orde n De orde van een zijde = zijvlakken orde 3 grondvlak orde n
samenstellingen H R Z n+2 3n 2n H R Z 2n+1 4n
Formule van Euler H R Z H+Z-R prisma 2n 3n n+2 2 piramide n+1 duopiramide toren 2n+1 4n Voor convexe veelvlakken geldt steeds: H+Z-R=2
Platonische veelvlakken Slechts 5 Zijden zijn identieke regelmatige veelhoeken EN & Dus alle ribben even lang Alle hoekpunten hebben zelfde orde octaëder Kubus Tetraëder
dodecaëder H R Z 20 30 12 twaalfvlak 12 regelmatige 5-hoeken Orde hoekpunten 3 Orde zijden 5
Icosaëder H R Z 12 30 20 20 regelmatige 3-hoeken Orde hoekpunten 5 Orde zijden 3
Afgeknotte icosaëder H R Z 12 30 20 32 90 60 Z R H
Dualiteit Verbind middelpunten van zijden Kubus octaëder Dodecaëder Icosaëder
Duale in tabel H R Z Orde Z Orde H tetraëder 4 6 3 kubus 8 12 octaëder dodecaëder 20 30 5 icosaëder Het duale van afknotten is uitstulpen
geode Een veelvlak waarbij elk Hoekpunt op een bol ligt En orde 5 of 6 heeft Richard Buckminster Fuller (1895-1983)
triangulatie
Moeilijk kan ook
Fullerenen Het duale van een geode wordt een Fullereen genoemd Onze voetbal is een Fullereen F(1,1)
Ook dit nog In elke geode zijn er exact 12 hoekpunten van orde 5. 5H5+6H6=2R=3Z Telt het aantal ribben uit elke punt Elke ribbe wordt dubbel geteld Elke zijde heeft 3 ribben, maar weeral dubbel geteld H=H5+H6 H+Z-R=2 Euler 12H+12Z-12R=24 2H5+2(3Z)+12Z-6(3Z)=24 2H5+2(5H5+6H6)+12Z-6(2R)=24 2H5=24
Voetbal? Er bestaan geen voetballen met alleen zeshoeken 3H=2R=6Z Telt het aantal ribben uit elke punt Elke ribbe wordt dubbel geteld Elke zijde heeft 6 ribben, maar weeral dubbel geteld H+Z-R=2 Euler 6H+6Z-6R=12 2(6Z)+6Z-3(6Z)=12 2(3H)+6Z-3(2R)=12 012