Staaf- en cirkeldiagram Beschrijvende statistiek : het verzamelen van gegevens het overzichtelijk weergeven van de gegevens in tabellen en grafieken : turftabel frequentietabel staafdiagram cirkeldiagram 4.1

bloedgroep turven frequentie rel.frequentie 12 : 28 x 100 = Voorbeeld 1a 10 : 28 x 100 = 2 : 28 x 100 = 4 : 28 x 100 = bloedgroep turven frequentie rel.frequentie O llll llll ll 12 42,9% A llll llll 10 35,7% B ll 2 7,1% AB llll 4 14,3% totale freq. = 28 relatieve frequentie is de frequentie in procenten rel.freq. = x 100% rond relatieve frequenties af op één decimaal Freq. Totale freq.

bij een cirkeldiagram hoort een legenda 6 : 28 x 360 = Voorbeeld 1b 11 : 28 x 360 = 6 : 28 x 360 = 5 : 28 x 360 = profiel turven frequentie sectorhoek C&M llll l 6 77° E&M llll llll l 11 141° N&G N&T llll 5 64° totale freq. = 28 profiel sectorhoek = x 360° rond sectorhoeken af op hele getallen Freq. Totale freq. bij een cirkeldiagram hoort een legenda

Voorbeeld 1c er zijn 12 jongens × 100% ≈ 42,9% 12 28 er zijn 16 meisjes × 100% ≈ 57,1% 12 28 16 28 - bij een staafdiagram hoort een opschrift en informatie bij de assen - teken de staven even breed en los van elkaar 4.1

Histogram en frequentiepolygoon een histogram of Kolommendiagram bij een freqentietabel met kwantitatieve gegevens (waarnemingsgetallen) op de horizontale as de kolommen liggen tegen elkaar aan een freqentiepolygoon is een lijndiagram waarin de frequenties zijn uitgezet tegen de waarnemingsgetallen als je de relatieve frequenties uitzet tegen de waarnemingsgetallen krijg je een relatieve-frequentiepolygoon 4.1

omvang gezin frequentie Voorbeeld 2 a b omvang gezin frequentie 2 3 7 4 9 5 6 1 omvang gezin frequentie ￜ 2 ￜ 3 ￜ 4 ￜ 5 ￜ6 ￜ 7 aantal personen gezin in het midden van ieder staafje staat het waarnemingsgetal de staven liggen in een histogram tegen elkaar

opgave 3 c omvang gezin rel. freq. 2 10,7% 3 25% 4 32,1% 5 17,9% 6 7 3 : 28 x 100 = omvang gezin frequentie c omvang gezin rel. freq. 2 10,7% 3 25% 4 32,1% 5 17,9% 6 7 3,6% 7 : 28 x 100 = 9 : 28 x 100 = 5 : 28 x 100 = 3 : 28 x 100 = 1 : 28 x 100 = d minder dan 4 personen 3 + 7 = 10 leerlingen × 100% ≈ 35,7% minstens 4 personen 9 + 5 + 3 + 1 = 18 personen × 100% ≈ 64,3% 10 28 aantal personen gezin 18 28

zakgeld turven frequentie Voorbeeld 3 - zijn er bij een statistisch onderzoek veel verschillende aarnemingsgetallen, dan maak je een indeling in klassen geef elke klasse dezelfde breedte zorg voor 5 a 10 klassen zakgeld turven frequentie 5-<10 llll 5 10-<15 llll l 6 15-<20 20-<25 llll ll 7 25-<30 lll 3 30-<35 l 1 4.2

Zakgeld van 4 Havo leerlingen per maand de staven in een histogram tegen elkaar tekenen Voorbeeld 3 f r e q u e n t i e 7 zakgeld freq. 5-<10 5 10-<15 6 15-<20 20-<25 7 25-<30 3 30-<35 1 6 5 4 3 2 1 5 10 15 20 25 30 35 zakgeld in euro’s

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ Zakgeld van 4 Havo leerlingen per maand 7 6 5 4 3 2 1 5 10 de klassenmiddens zijn de punten in een frequentiepolygoon Voorbeeld 3 7 ∙ f r e q u e n t i e zakgeld freq. 5-<10 5 10-<15 6 15-<20 20-<25 7 25-<30 3 30-<35 1 ∙ ∙ 6 ∙ 5 4 ∙ 3 2 ∙ 1 5 10 15 20 25 30 35 zakgeld in euro’s

c het bedrag €20,- komt het vaakst voor Voorbeeld 4 steel-bladdiagram ZAKGELD IN EURO 06 = 6 6 7 8 8 8 1 0 0 2 2 2 4 5 5 6 7 8 8 2 0 0 0 0 2 3 4 5 6 8 3 tientallen eenheden steel blad a 15 komt 2 keer voor b kleinste bedrag is €6,- c het bedrag €20,- komt het vaakst voor d de klassen zijn 0-<10 ; 10-<20 ; 20-<30 ; 30-<40

Cumulatieve frequenties de cumulatieve frequentie krijg je door de frequentie van die klasse en de frequenties van de voorgaande klassen bij elkaar opgeteld bij een cumulatieve frequentiepolygoon teken je de cumulatieve frequenties boven de rechtergrenzen van de klassen begin op de horizontale as bij de linkergrens van de eerste klasse verbind de opeenvolgende punten door lijnstukken 4.2

lengte frequentie cum. freq. rel. cum. freq. 0 + 538 = 538 : 4572 x 100 = 1673 : 4572 x 100 = 538 + 1135 = 2891 : 4572 x 100 = 1673 + 1218 = 3832 : 4572 x 100 = opgave 12a 2891 + 941 = 4489 : 4572 x 100 = 3832 + 657 = 4572 : 4572 x 100 = lengte frequentie cum. freq. rel. cum. freq. 155-<160 538 11,8% 160-<165 1135 1673 36,6% 165-<170 1218 2891 63,2% 170-<175 941 3832 83,3% 175-<180 657 4489 98,2% 83 4572 100% 4489 + 83 = relatieve cumulatieve frequentie is de cumulatieve frequentie in procenten cum.rel.freq. = x 100% rond cum.rel.freq. af op één decimaal cumulatieve frequentie is de frequentie van deze klasse en de voorgaande klassen bij elkaar opgeteld cum. freq. totale freq.

je eindigt altijd bij 100% opgave 12b lengte rel.cum. freq 155-<160 11,8% 160-<165 36,6% 165-<170 63,2% 170-<175 83,3% 175-<180 98,2% 180-<185 100% ∙ r e l. c um.f r e q 100 ∙ ∙ 80 ∙ 60 40 ∙ 20 ∙ ∙ 155 160 165 170 175 180 185 lengte in cm. zet de rel.cum.freq. boven de rechtergrenzen uit, begin bij de linkergrens

Diagrammen histogram (zie par.2) frequentiepolygoon (zie par.2) steel-bladdiagram (zie par.2) staafdiagram met een staafdiagram kon je in één oogopslag onderzoeksresultaten onderling vergelijken de staven zijn even breed en staan los van elkaar lijndiagram een lijndiagram laat zien hoe een verschijnsel zich in de loop van de tijd heeft ontwikkeld in een lijndiagram zijn de gegevens als punten uitgezet en daarna verbonden door lijnstukjes, tussenliggende punten hebben geen betekenis cirkeldiagram (sectordiagram) brengt de procentuele (relatieve) verdeling in beeld beelddiagram hoeveelheden worden aangegeven met figuurtjes 4.3

totale beroepsbevolking was 100 : 15 × 16,5 miljoen = 110 miljoen opgave 22 a is niet zo nauwkeurig b 15% is lid van de vakbond totale beroepsbevolking was 100 : 15 × 16,5 miljoen = 110 miljoen c in de VS zijn relatief weinig werknemers lid van een vakbond, men komt schijnbaar als individu op voor het eigen belang 5 x 3% = 15%

Misleiding bij grafische weergave Let bij grafieken op de volgende punten: 1 staat er bij de grafiek een duidelijk opschrift? 2 staat er voldoende informatie bij de assen? 3 begint de verticale as bij 0? is er een scheurlijn gebruikt? 4.3

opgave 25 a de lengte en breedte van het biljet bij 2006 is 4 keer zo groot als bij het biljet van 2005 b de oppervlakte van het biljet bij 2006 is 42 = 16 keer zo groot als bij het biljet van 2005 daardoor lijkt het of de winst 16 keer zo groot is

Centrummaten gemiddelde het gemiddelde van een serie waarnemingsgetallen is de som van die getallen gedeeld door het aantal getallen mediaan eerst de waarnemingsgetallen naar grootte rangschikken bij oneven aantal getallen is de mediaan het middelste getal bij even aantal getallen is de mediaan het gemiddelde van de middelste twee getallen modus de modus is het waarnemingsgetal met de grootste frequentie 4.4

a gemiddelde = (3×2 + 4×4 + 5×6 + 6×5 + 7×4 + 8×4 + 9×3 + 10×2) : 30 Voorbeeld 5 (zonder GR) a gemiddelde = (3×2 + 4×4 + 5×6 + 6×5 + 7×4 + 8×4 + 9×3 + 10×2) : 30 gemiddelde = 6,3 30 getallen  15e en 16e getal 15e getal = 6 en 16e getal = 6 mediaan = ( 6 + 6 ) : 2 mediaan = 6 het cijfer 5 komt 6 keer voor modus = 5 b modus, mediaan, gemiddelde c totaal was 189 en het aantal ll. was 30 30 + 4 = 34 leerlingen 34 × 6,5 = 221 221 – 189 = 32 de vierde leerling  32 – (3 × 9) = 5 het cijfer 3 komt 2 keer voor cijfer frequentie 3 2 4 5 6 7 8 9 10

Voorbeeld 5 (met GR) a voer in lijst 1 = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } en lijst 2 = { 2, 4, 6, 5, 4, 4, 3, 2 } optie 1-Var Stats L1,L2 (TI) of 1VAR (casio) gemiddelde = 6,3 mediaan = 6 modus = 5 b modus, mediaan, gemiddelde c totaal was 189 en het aantal ll. was 30 30 + 4 = 34 leerlingen 34 × 6,5 = 221 221 – 189 = 32 de vierde leerling  32 – (3 × 9) = 5

Voordelen en nadelen centrummaten voordeel nadeel modus snel op te schrijven, weinig rekenwerk de enige centrummaat die bij kwalitatieve gegevens te gebruiken is geeft weinig informatie is niet altijd aanwezig een kleine verandering kan een geheel andere modus opleveren mediaan niet gevoelig voor uitschieters weinig rekenwerk alleen de volgorde van de waarnemingsgetallen is van belang, niet de grootte van de waarnemingsgetallen gemiddelde alle gegevens worden gebruikt iedereen kent deze centrummaat gevoelig voor uitschieters 4.4

aantal branduren frequentie om het gemiddelde te berekenen moet je eerst de klassenmiddens berekenen de klasse met de grootste frequentie is de modale klasse Voorbeeld 6 a klassenmiddens zijn 1800, 2200, 2600, 3000 en 3400 voer in lijst1 { 1800,2200,2600,3000,3400 } en lijst2 { 85,75,63,58,19 } optie 1 Var-Stats L1,L2 of 1VAR gemiddelde ≈ 2401 uur b GR  mediaan = 2200 dus de mediaan ligt in de klasse 2000-< 2400 c de modale klasse is 1600-< 2000 d 300 waarnemingsgetallen  150e en 151e getal 150 – 85 = 65e getal en 151 – 85 = 66e getal in klasse 2000-< 2400 er zitten 75 getallen in deze klasse 2000 + (65,5 : 75) × 400 ≈ 2349, dat is dus meer dan 2200 aantal branduren frequentie 1600-<2000 85 2000-<2400 75 2400-<2800 63 2800-<3200 58 3200-<3600 19

Hoe teken je een boxplot? 1 bepaal de mediaan 2 bepaal het eerste kwartiel (mediaan van de “1e” helft) en het derde kwartiel (mediaan van de “2e” helft) 3 teken een getallenlijn en zet het kleinste en grootste waarnemingsgetal, de mediaan en de beide kwartielen boven de getallenlijn 4 teken de boxplot 4.4

voorbeeld de volgende score’s zijn gehaald bij een test 23 – 43 – 24 - 34 - 13 - 32 - 44 - 53 - 17 - 28 – 30 – 22 – 19 schrijf de getallen van klein naar groot op 13 – 17 – 19 – 22 – 23 – 24 – 28 – 30 – 32 – 34 – 43 – 44 – 53 teken een getallenlijn kleinste waarnemingsgetal = 13 grootste waarnemingsgetal = 53 mediaan = 28 1e kwartiel (Q1) = (19 + 22) : 2 = 20,5 3e kwartiel (Q3) = (34 + 43) : 2 = 37,5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 tussen 2 verticale streepjes altijd 25% van de waarnemingsgetallen in de box 50% 4.4

Boxplot mbv de grafische rekenmachine 1 frequentie tabel maken stat  edit  1  L1 (waarnemingsgetallen) L2 (frequentie’s) invullen 2 boxplot berekenen stat  calc  1  1 var stats L1,L2 (L1,+2  2nd  1,2) 3 boxplot tekenen 2nd  stat plot  1  on  type ‘5e’  graph 4.4

relatieve cumulatieve frequentie 100 ∙ De relatieve cumulatieve frequentiepolygoon kun je goed gebruiken om een boxplot te tekenen. 75 ∙ 50 ∙ 0%  kleinste getal = 3 25%  1e kwartiel (Q1) = 10 50%  mediaan = 13 75%  3e kwartiel (Q3) = 20 100%  grootste getal = 24 25 ∙ ∙ 3 5 10 10 13 15 20 20 24 25 boxplot 5 10 15 20 25 4.4

Spreidingsmaten vaak wordt naast een centrummaat een zogenaamde spreidingsmaat berekend om aan te geven hoever de data in een verdeling uitelkaar liggen spreidingsbreedte : verschil tussen het grootste en kleinste getal kwartielafstand : verschil tussen het 1e en 3e kwartiel (Q3 – Q1) 4.4

opgave 42 a bij elke klas is de mediaan 3 km. b nee, de mediaan is bij elke klas hetzelfde c in klas 4A zit 50% tussen 1 en 5 km in klas 4B zit 50% tussen 2 en 4 km d in klas 4A is de spreiding het grootst in klas 4C is de spreiding het kleinst

De standaardafwijking de meest gebruikte spreidingsmaat is de standaardafwijking om de standaardafwijking te berekenen moet je eerst van elk waarnemingsgetal berekenen hoe ver het van het gemiddelde afligt zo krijg je bij elk waarnemingsgetal x de deviatie d d = x – x ( de afwijking van het gemiddelde ) standaardafwijking σ = √gemiddelde van (x – x)2 het berekenen van σ doe je met (TI) 1-Var Stats L1,L2  σx of (Casio) 1VAR  xσn 4.4

opgave 49 gewicht 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 freq. 2 4 10 18 12 3 1 a voer in lijst 1 = {4.8,4.9,5.0,5.1,5.2,5.3,5.4} en lijst 2 = {2,4,10,18,12,3,1} optie 1-Var Stats L1,L2 of 1VAR geeft minX = 4,8 ; Q1 = 5 ; Med = 5,1 ; Q3 = 5,2 ; maxX = 5,4 mediaan = 5,1 kwartielafstand = Q3 – Q1 = 5,2 – 5 = 0,2 spreidingsbreedte = maxX – minX = 5,4 – 4,8 = 0,6 b schatting σ = 0,3  2σ = 0,6 2σ = spreidingsbreedte = 0,6  dat kan niet c GR  x ≈ 5,09 en σ ≈ 0,12 gemiddelde ≈ 5,09 kg en de standaardafwijking ≈ 0,12 kg

Notaties op de GR x : het gemiddelde σ : de standaardafwijking σx : de standaardafwijking (TI) xσn : de standaardafwijking (Casio) n : het totale aantal waarnemingen minX : het kleinste waarnemingsgetal maxX : het grootste waarnemingsgetal Q1 : het eerste kwartiel Q3 : het derde kwartiel Med : de mediaan (het tweede kwartiel) 4.4

De populatie is de totale groep waarop het onderzoek betrekking heeft. Een steekproef is representatief als zij een juiste afspiegeling is van de gehele populatie - de steekproef moet voldoende groot zijn - de steekproef is aselect In een gelote steekproef heeft elk element van de populatie dezelfde kans om in de steekproef te komen. In een gelaagde steekproef komen duidelijk te onderscheiden groepen in dezelfde verhouding voor als in de gehele populatie. Bij een systematische steekproef genereer je één toevalsgetal. de andere steekproefelementen volgen hieruit door met vaste stappen door de gehele populatie te lopen. voor de stapgrootte deel je de populatieomvang door de steekproefomvang. 4.5

opgave 60 totaal = 50 + 70 + 25 + 40 + 75 + 45 = 305 patiënten leeftijd man vrouw 0-< 18 × 50 = 8,20 dus 8 18-< 48 48 en ouder 50 305 70 305 × 50 = 11,48 dus 11 25 305 40 305 × 50 = 4,10 dus 4 × 50 = 6,56 dus 7 75 305 45 305 × 50 = 12,30 dus 12 × 50 = 7,38 dus 7 het aantal is 8 + 11 + 4 + 7 + 12 + 7 = 49 om aan een steekproeflengte van 50 te komen kiezen we een extra man van 18-< 48

Oefen opgave1 Lengte van gereserveerde ski's 134 135 124 120 116 127 129 111 122 128 115 119 123 125 130 121 112 131 133 137 126 132 113 114 Maak een frequentieverdeling van deze gegevens. ( eerste klasse 110 -< 115) Bereken de drie centrummaten op twee manieren. Teken het bijbehorend histogram. Maak m.b.v. de relatieve gecumuleerde frequentie grafiek de boxplot. Wat is de spreidingsbreedte, de kwartielsafstand en de standaardafwijking?

Lengte maat   ( in cm f 110 -< 115 4 120 8 125 11 130 9 135 6 140 2 40 m 112,5 117,5 122,5 127,5 132,5 137,5 f*m 450 940 1348 1148 795 275 4955 gemiddelde 123,88 modus 122,5 nr v/d mediaan 20,5 mediaan 121,14

Lengte van gereserveerde ski’s f r e q u e n t i e 12 10 8 6 4 2 110 115 120 125 130 135 140 Skilengte in cm

Gecum. freq.verdeling klassegrens abs. rel. -< 110 0,0 115 4 10,0 120 12 30,0 125 23 57,5 130 32 80,0 135 38 95,0 140 40 100,0

Standaardafwijking=6,71 minX=110 Q1=117,5 Med=122,5 Q3=127,5 maxX=140 Kwartielsafstand = 10 110 119 124 128 140