Multiple Moving Objects Siu-Siu Ha Marlies Mooijekind

Indeling  Dynamic Motion Planning  Multiple Robots  Articulated Robots

Dynamic motion planning Positie obstakel en robot uitzetten tegen tijd. Configuratie-ruimte C is alle configuraties van de robot: Configuratie-tijd ruimte: C x tijd

Tot nu toe ARobot WWorkspace BiObstakel i CBiConfiguratie Ruimte van Bi CConfiguratie Ruimte qconfiguratie Nieuw ARobot WWorkspace Bi(t)Obstakel i op tijd t CBi(t)Configuratie Ruimte van Bi op tijdstip t CTConfiguratie Tijd Ruimte q(t)Configuratie op tijd t ; q(0) = qinit; q(T) = qgoal

Configuration Space and Configuration Time Space of Obstacle B

Path Planning in CT  Met exact cell decomposition  Over het algemeen compleet, maar niet practisch omdat complexiteit te hoog is.  Met approximate cell decomposition

Approximate Cell Decomposition  Decompositie in rechthoekige cellen  Full, Empty, Mixed  Nu extra dimensie: Tijd

Configuration Time Space and Connectivity Graph

Snelheids restrictie Vmax  In 2D een driehoek  In 3D een kegel t y A

Planning met snelheidsrestricties  Exact cell decomposition  Approximate cell decomposition  Velocity tuning

Exact cell decomposition t y A t y B t y A B  Voorbeeld in 2D

Approximate cell decomposition (1)

Approximate cell decomposition (2)  Vanwege het discretiseren van de channels in gridvorm, is er geen garantie dat een CT-pad dat aan de snelheidsrestricties voldoet, gevonden wordt.  Mogelijke oplossing: fijner discretiseren t y A t y A

Velocity tuning  2-fasen methode  Pad voor A van qinit naar qgoal langs stationaire obstakels in W.  Snelheid bijstellen van A langs het pad om botsing met verplaatsende obstakels te vermijden.

Path-Time space (PT) (1)  Pad  van qinit naar qgoal door basis motion planning (stationaire obstakels).   (l) = positie robot; l  [0, L].  PTB: tijd [0, T] uitgezet tegen de lengte van het pad, [0, L].  PT-obstakels: Op bepaalde tijd op een punt op het pad is een obstakel.  Vind vrije PT-pad tussen (0,0) en (L,T)

Path-Time space (PT) (2)  Variant Visibility Graph methode

Multiple Robots  Verschillende stationaire obstakels in W  Verschillende robots bewegen in dezelfde Workspace  Centralized planning  Decoupled planning

Composite Configuration Space (1)  Elke robot Ai, i  [1, p] heeft een configuratie ruimte Ci  C-obstakels die corresponderen met botsing van Ai met  een stationaire obstakel  een andere robot, deze kan niet gerepresenteerd worden een vaste regio in Ci

Composite Configuration Space (2)  Beschouw de objecten A1 tot Ap als één object: A = {A1,...,Ap}  Dan configuratie van A: q = (q1,...,qp); qi  Ci  A’s configuratie ruimte C = C1 x... X Cp  CBij : C-obstakel door interactie Ai met Bi  CAij : C-obstakel door interactie Ai met Aj  Vrij pad in C vinden tussen qinit en qgoal

Centralized Planning (1)  Pad in de composite configuration space vinden  Tijd complexiteit is exponentieel aan dimensies composite configuration space. Niet practisch.

Centralized Planning (2)

Decoupled planning  Plan pad voor elke robot apart en coordineer deze paden.  Voordeel: lagere dimensie  Nadeel: niet compleet  Methoden:  Prioritized planning  Path coordination

Prioritized planning  Robots A 1, …, A p  p iteraties  Bepaal in iteratie i pad van A i rekening houdend met obstakels Bj en robots A 1, …, A i-1.  Motion A i plannen alsof A i beweegt tussen stationaire objecten B j en i-1 bewegende objecten = Dynamic motion planning  Random prioriteiten toekennen

Path coordination  Twee stappen:  Genereer free path voor elke robot zonder rekening te houden met andere robots  Coordineer paden z.d.d. robots niet botsen m.b.v. een coordination diagram

Path coordination  Twee robots A 1 en A 2 :  1 : s 1 є [0,1]   1 (s 1 ) є C 1 free  2 : s 2 є [0,1]   2 (s 2 ) є C 2 free  S 1 xS 2 –space [0,1]x[0,1]  Schedule = pad dat (0,0) en (1,1) verbindt  Schedule = coordinatie van paden  Doel: vind een free schedule z.d.d. de robots niet botsen

Path coordination  Obstacle region in S1xS2– space = alle paren (s1,s2) z.d.d. A1 in configuratie  1(s1) en A2 in configuratie  2(s2) elkaar snijden  Vind schedule dat obstacle region niet snijdt  Nadeel: obstacle-regions kunnen erg complex worden

Path coordination  Deel pad  1 en  2 in w 1 en w 2 segmenten:  Elk segment is even lang  S 1 xS 2 –space verandert in array met w 1 x w 2 cells  Elke cell is EMPTY of FULL  Cell is EMPTY als A 1 en A 2 voor geen enkele van deze configuraties snijden  Dit is een coordination diagram

Path coordination  Free schedule is een pad van (0,0) naar (1,1) dat  over de randen van EMPTY cellen loopt  diagonaal door de EMPTY cellen  Boundary is dus collision free  M.b.v. SW-closure kan een nondecreasing schedule gevonden worden zonder zoeken!

Path coordination  Twee punten in S 1 xS 2 –space: (s 1 ’, s 2 ’) en (s 1 ’’, s 2 ’’)  (s 1 ’, s 2 ’) en (s 1 ’’, s 2 ’’) zijn incomparable  (s 1 ’- s 1 ’’)(s 2 ’- s 2 ’’) < 0  Als (s 1 ’, s 2 ’) en (s 1 ’’, s 2 ’’) incomparable en s 1 ’ s 2 ’’ ), dan is de SW-conjugate punt (s 1 ’, s 2 ’’)  Een connected region R is SW-closed  elke SW- conjugate van twee punten in R zit ook in R  SW-closure van S = kleinste SW-closed region R dat S bevat

Path coordination  Bepaal SW-closure van elke obstacle region in S 1 xS 2 –space

Path coordination  Bepaal een schedule dat de SW-closure niet snijdt:  Begin in (0,0)  while (1,1) niet bereikt if cell EMPTY then doorkruis cell diagonaal else if cell eronder EMPTY then ga naar rechts else ga omhoog  Free schedule bestaat alleen als (0,0) en (1,1) niet in SW-closure liggen

Articulated Robots  A = (A 1, …, A p )  Elk object A 1 t/m A p verbonden door joints:  Revolute joint  Prismatic joint  Mechanische stops  Geen kinematische loop

Articulated Robots  Workspace W = A 0  A representeren als een tree:  Node = A 0 t/m A p  Arc = joints  Root = A 0

Articulated Robots  Configuratie van A: q = (q 1, …, q p )  Als A j een kind van A i : C j (i) = configuration space van A j t.o.v. A i  q j є C j (i)  Als tussen A j en A i revolute joint, dan C j (i) = S 1  Als tussen A j en A i prismatic joint, dan C j (i) = R  C = R x … x R x S 1 …x S 1

Articulated Robots  2 soorten C-obstacles:  Tussen A j en obstakel B j  Tussen A j en A j  Mechanische stop beperkt aantal waarden van q i : I i = (q i -, q i + ), vb. I 1 = [0, π]  Doel: vind een free path tussen q init en q goal  Methoden:  Silhouette methode  Freeway methode  Approximate cell decomposition  Potentiaal velden

Approximate cell decomposition  Maak conservatieve benadering van free space (= subset van “echte” free space)  door discretisatie van motion van joints  Maak connectivity graph van de conservatieve benadering  Zoek naar channel tussen q init en q goal

Approximate cell decomposition  Aannamen:  A = (A 1, …, A p ) en q = (q 1,…, q p )  A i en A i+1 verbonden door revolute of prismatic joint  Interval I i = (q i -, q i + )  A i en A j botsen nooit!  Wel obstakels B i  A i (q 1,…, q i ) = region die A i in workspace inneemt

Approximate cell decomposition  Benadering van C-obstacle region in I 1 x …x I p  Elke interval I i verdelen in kleinere intervals δ i,ki met ki = 1, 2, …  Vb. I 1 = [0, π] :  δ 1,1 = [0, ¼ π], δ 1,2 = [¼ π, ½ π], δ 1,3 = [½ π, ¾ π], δ 1,4 = [¾ π, π],

Approximate cell decomposition  Cell δ 1,k1 x … x δ p,kp behoort tot C-obstacle region:  Als region bestreken door A wanneer (q 1,…, q p ) varieert over δ 1,k1 x … x δ p,kp snijdt met een obstakel  Anders behoort δ 1,k1 x … x δ p,kp tot free space  Alle cells bekijken levert benadering van C- obstacle region

Approximate cell decomposition  Nadeel: alle cells bekijken is niet efficient  Verbetering (1):  Als voor gegeven waarden q 1,…, q i A i snijdt met obstakel, dan q i+1,…, q p niet bekijken

Approximate cell decomposition  Verdeel elk interval I i in intervallen die EMPTY of FULL zijn  Verdeel EMPTY intervallen in kleinere intervals δ i,ki met ki = 1, 2, …  Behoort q = (q 1,…, q p ) tot free space?

Approximate cell decomposition  Hoe bepaal je welke intervallen van I i EMPTY of FULL zijn?  Voor welke waarden q i snijdt A i (q 1,…, q i ) obstakels als q 1,…, q i-1 varieert over δ 1,k1 x … x δ i-1,ki-1  Oplossing:  Bepaal middelpunten q 1,m1,…, q i-1,mi-1 van δ 1,k1, …, δ i-1, ki-1. Voor welke waarden snijdt A i (q 1,m1,…, q i-1,mi- 1, q i ) obstakels.

Approximate cell decomposition  Verbetering (2): Verdeel interval I i in intervallen die FULL, C/EMPTY of P/EMPTY zijn.  S i (q 1,…, q i )= region bestreken door objecten A i+1, …, A p  Als q i+1,…, q p varieren over I i+1,…,I p  En A 1, …, A i in configuratie q 1,…, q i zijn

Approximate cell decomposition  Configuratie q i behoort tot interval:  FULL: A i (q 1,…, q i ) snijdt obstakels als q 1,…, q i-1 varieert over δ 1,k1 x … x δ i-1,ki-1  C/EMPTY: A i (q 1,…, q i ) U S i (q 1,…, q i ) snijdt geen obstakels als q 1,…, q i-1 varieert over δ 1,k1 x … x δ i- 1, ki-1  P/EMPTY: in de overgebleven gevallen  Alleen P/EMPTY intervallen verdelen in kleinere intervallen

Approximate cell decomposition  Tree = representatie van free space in vorm van cellen  Maak connectivity graph die adjacency relatie van cellen representeert  Zoek naar channel tussen q init en q goal