Operations Research Hoorcollege week 4 Deel 2 Inleiding wachtrijsystemen De klassificatie van Kendall Het M/M/1-model R.B.J. Pijlgroms Instituut Informatica en Elektrotechniek Hogeschool van Amsterdam

Wachtrijsystemen

Kenmerken van Wachtrijen verdeling van aankomsttijd ook: inter arrival time verdeling van bedieningstijd ook: service time aantal servers of loketten # servers aankomsten bedieningen

Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG) Verdeling van aankomst- resp. bedieningstijden Notatie: M : de tussenaankomsttijd is negatief exponentiëel verdeeld D : de tussenaankomsttijd is constant G : de tussenaankomsttijd is willekeurig verdeeld

Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG) maximaal aantal toegestane klanten in het systeem of ook: systeem-capaciteit omvang van de gehele populatie van mogelijke klanten protocol van bediening van de wachtrij

Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG) Systeem-capaciteit: oneindig: ‘iedereen’ kan zich als klant melden eindig: bijv. de wachtruimte is beperkt! (vergelijk de printbuffer of het geheugen, beperkte ruimte in kapsalon.)

Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG) De populatie (dit is iets anders dan de systeem-capaciteit) veelal oneindig (‘iedereen’ kan zich als klant melden) soms eindig (vergelijk bijv. kapotte machines die zich ‘melden’)

Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG) Protocol: volgorde waarin de wachtrij wordt bediend FIFO - First In First Out FCFS - First Come First Served LIFO - Last In First Out LCFS - Last Come First Served SJN - Shortest Job Next SIRO - Service In Random Order SPT - Shortest Processing Time first PR - according to PRriority

De Kendall-notatie de genoemde kenmerken worden afgekort volgens Kendall, bijv.: M/M/1/¥/¥/FIFO negatief exponentieel verdeelde aankomsttijd negatief exponentieel verdeelde bedieningstijd één server systeem-capaciteit (= oneindige wachtruimte + 1 = ¥) oneindige populatie First In First Out bedieningsvolgorde

De Kendall-notatie (vervolg) dit wordt afgekort tot M/M/1 voortaan meestal korte notatie dus capaciteit en populatie worden dan oneindig verondersteld en volgorde is FIFO. Zoniet, dan de lange notatie. Enkele voorbeelden M/M/4 M/D/3/8 M/G/1 M/M/4/4 D/M/2/4 M/M/2/5/5

Notatie van Kendall A/B/s/N/K met: A = verdeling aankomsttussentijd afkortingen verdelingen (d.w.z. A, B): M = exponentieel D = constant/deterministisch G = algemeen (Ek = Erlang) A/B/s/N/K met: A = verdeling aankomsttussentijd B = verdeling bedieningstijd s = aantal servers N = capaciteit van het systeem K = omvang van de ‘doelgroep’

Parameters wachtrijsysteem Resumerend gedrag wachtrij-systeem afhankelijk van aankomstproces (l en verdeling tussentijd) bedieningsproces (m en verdeling bedientijd) aantal loketten capaciteit van het systeem omvang van de doelgroep bedienings-protocol .

Kendall notatie oefeningen kapsalon met 3 knipstoelen en 5 wachtstoelen 6 machines die onderhouden worden en 1 monteur met Poisson-verdeelde bedieningsintensiteit vliegtuigen die landen op 1 landingsbaan Wachtrij in kantine met exponentieel verdeelde tussenaankomsttijden en constante bedieningstijden

Interessante afgeleide systeem-variabelen r = bezettingsgraad (server utilization, percentage van de tijd dat een server bezig is waarbij s = aantal parallelle servers) Pn = kans op n klanten in het systeem Nq = gemiddeld aantal klanten in het systeem (bediening en wachtrij) Nw = gemiddeld aantal klanten in de wachtrij Tq = gemiddelde tijd dat een klant in het systeem aanwezig is (bediening en wachtrij) Tw = gemiddelde tijd dat een klant in de wachtrij aanwezig is

Overgangs- en stationair gedrag overgangsgedrag (vanaf t = 0) prestatie indicatoren als gemiddelde wachttijd Tw en gem. aantal klanten in de wachtrij Nw afhankelijk van de tijd d.w.z. Tw(t), Nw(t) stationair gedrag ( t => ¥) prestatie-indicatoren als gemiddelde wachttijd niet meer afhankelijk van de tijd (d.w.z. de waarschijnlijkheid dat systeem zich in gegeven toestand bevindt is niet tijdsafhankelijk)

Overgangsgedrag geschiedenis aantal klanten in systeem = grafiek aantal klanten tegen tijd Kan ook in tabel Je moet het wachtrij-protocol kennen FIFO (first in first out) LIFO (last in first out) SIRO (service in random order) SPT (shortest processing time first) PR (according to priority)

Geschiedenis oefening Nq aantal bezoeken afgelegd door verpleger (N) ? voor alle N bezoeken de begintijd ? voor alle bezoeken de door patient in systeem doorgebrachte tijd ? voor alle bezoeken de door patient in rij doorgebrachte tijd ?

Het M/M/1// - model

Het M/M/1// - model Negatief-exponentieel verdeelde tussenaankomsttijden ( gemiddelde aankomstintensiteit = l [klanten/sec], gem. tussenaankomsttijd = l-1 [sec] ) (N.B.: l-1 =1/ l) Negatief-exponentieel verdeelde bedieningstijden (gemiddelde bedieningsintensiteit = m [klanten/sec], gem. bedieningstijd Ts=m-1 [sec]) aantal loketten s = 1 Systeemcapaciteit is oneindig Populatiegrootte is oneindig

De Markov-keten en de evenwichtsvergelijkingen: M/M/1 … - Markov-keten. - Cirkels geven toestanden aan waarin het systeem kan verkeren. - Overganskansen i.h.a. niet constant.

Het M/M/1-model In het M/M/1-model is: het aankomstproces een Poisson-proces met gemiddeld l aankomsten per tijdseenheid de tijd tussen het afronden van twee bedieningen negatief exp. verdeeld met gemiddeld m bedieningen per tijdseenheid het aantal servers = loketten gelijk aan 1 Dus parameters ln en mn hangen niet van n af!!

Het M/M/1-model (vervolg) Dus ln = l voor alle n = 0, 1, 2, ... En mn = m voor alle n = 1, 2, 3, ... Wel moet gelden : l < m anders loopt het systeem “vol” De grootheid wordt de bezettingsgraad van het systeem genoemd De evenwichtsvergelijkingen worden :

Het M/M/1-model (vervolg) 1 2 3 l l l m m m … n-1 n n+1 n+2 l l l m m m … …

Het M/M/1-model (vervolg) Bovendien is de som van alle kansen 1

Het M/M/1-model (vervolg) VOORBEELD Er komen op een netwerkserver gemiddeld 10 berichten per minuut binnen. De gemiddelde verwerkingstijd voor een bericht is 4 seconden. wat is de kans op een ‘idle server’? wat is de kans op 1, 2 resp. 3 berichten in het systeem? wat is de kans op minstens 4 berichten in het systeem?

Het M/M/1-model(vervolg) ANTWOORD Eerst: l is natuurlijk 10 (berichten per minuut) En: m is 15 !! (berichten per minuut) Dus de bezettingsgraad r = 10/15 = 2/3 De kans op een ‘idle server’ = de kans op 0 berichten in het systeem: P0 dus.

Het M/M/1-model (vervolg) We vonden: Pn = rn (1-r) De kans op 4 of meer :1-0.333-0.222-0.148-0.099=0.198

Nogmaals de notaties voor afgeleide systeemvariabelen We definieren een aantal stochasten: Ns = het aantal klanten dat bediend wordt Tq = de tijd die een klant in het systeem doorbrengt (ook wel de doorlooptijd genoemd) Tw = de tijd die een klant in de rij staat Ts = de tijd die nodig is voor de bediening van een klant Nq = het aantal klanten in het systeem Nw = het aantal klanten in de wachtrij

Little’s Result Bovendien geldt Little’s result: We nemen voortaan aan dat alle genoemde stochasten niet afhangen van de tijd Er geldt : Nq = Nw + Ns Tq = Tw + Ts Bovendien geldt Little’s result: E(Nq) = l E(Tq) E(Nw) = l E(Tw) en E(Ns) = l E(Ts)

Little’s Result (vervolg) Zoals aldoor is l het gemiddeld aantal aankomsten per tijdseenheid Little heeft bewezen dat dit resultaat geldig is onafhankelijk van de aankomstverdeling !! Het bewijs is abstract, het resultaat eenvoudig en aannemelijk.

De verwachting van Nq (M/M/1-model) help!

wiskunde trucs!!!

De verwachting van Nq en Tq Uit het voorgaande volgt dus: (bedenk dat r = l/m < 1 ) En dan volgt met het Result van Little:

De verwachting van Nw en Tw De verwachte wachttijd is : de verwachte totale tijd in het systeem minus de verwachte bedieningsduur

The End