Speciale Relativiteitstheorie Taco D. Visser http://www.nat.vu.nl/~tvisser

Einstein’s gedachtenexperiment lichtstraal lichtsnelheid Als je je met precies de lichtsnelheid van de klokkentoren af beweegt, dan zie je de klok stilstaan. Maar staat de tijd dan ook stil?

Relativiteitstheorie Deze theorie gaat over ruimte en tijd. Zijn tijd en ruimte absolute grootheden? Nee! Zijn tijdsduur en lengte voor alle waarnemers hetzelfde? Nee! Zijn tijd en ruimte oneindig uitgestrekt of zijn ze begrensd?

Wat is tijd? Als niemand het mij vraagt, dan weet ik het. Als ik het moet uitleggen, dan weet ik het niet… Augustinus

Tijd is ……. Verandering Beweging Relatief Onomkeerbaar… Want de drager van causaliteit, de verbinding tussen oorzaak en gevolg. Tijd heeft een richting (“de pijl van de tijd”), Want ‘wanorde’ neemt spontaan toe.

Soorten tijd en tijdsduur Psychologische tijd ~ 1 s tot 100 jaar; is subjectief Culturele tijd ~ 1 dag tot 5000 jaar; minder subjectief, documentatie Fysische tijd ~ 10-20 s tot 1010 jaar; is meetbaar met klokken en daarom objectief Operationele definitie van tijd: ‘de tijdsduur van een proces is het verschil van twee tijdstippen die een waarnemer met zijn eigen klok bepaalt.’ Omdat iedere waarnemer zijn eigen klok heeft, opent deze definitie de weg naar verschillende metingen van de tijdsduur van een proces door verschillende waarnemers.

Soorten ruimte en afstanden ‘Psychologische’ afstanden: 10-3 m tot 100 km Fysische afstanden: 10-16 m tot 1010 lichtjaar. Een lichtjaar is de afstand die licht in 1 jaar tijd aflegt. 1 lichtjaar ~ 9,4 1012 km Met onze zintuigen ‘zien’ we maar een heel klein stukje van de werkelijkheid. Onze huis-, tuin- en keukenlogica (`intuïtie’) hoeft dus helemaal niet juist te zijn voor de rest van de werkelijkheid. Relativiteitstheorie geeft daarvan verschillende voorbeelden. I.t.t. alle andere wetenschappen laat Natuurkunde ons het hele kleine en snelle, en het hele grote en langzame van de werkelijkheid zien.

Hoe bepaal je posities? Een fysische meting betreft altijd een visuele waarneming. Licht speelt dus altijd een rol. Maar hoe snel gaat het licht? Het experiment van Foucault

De lichtsnelheid is eindig… Alhoewel c = 300000 km/s heel snel is, is het wel eindig. Dat betekent dat je altijd naar iets uit het verleden kijkt. Dit speelt vooral op astronomische schaal: het licht van sterren dat ons nu bereikt is miljoenen jaren geleden uitgezonden – je kijkt in het verleden. Bijv: het licht van een ster op 1000 lichtjaren afstand doet er 1000 jaar over om ons te bereiken. De ster die je nu ziet, bestaat die nog wel? Supernova

Definities van tijd en ruimte Tijd is een coördinaat waarmee je verandering vastlegt. Tijd is 1 van de 4 coördinaten van een gebeurtenis. Zoals lengte, breedte en hoogte de ruimtelijke positie van een gebeurtenis vastleggen, geeft een tijdstip aan waar een gebeurtenis zich op de tijdsas bevindt. Vandaar dat men spreekt over de vier-dimensionale ruimte-tijd. Een gebeurtenis is dus een punt met coördinaten (t,x,y,z) in de ruimtetijd. tijd lengte gebeurtenis

Definitie seconde Het element Cesium heeft een overgang waarvoor f = 9 192 631 770 s-1 = 9.192….. GHz, een microgolf frequentie. 1 sec = 9 192 631 770 perioden van deze overgang. Dit aantal perioden kan je makkelijk tellen met behulp van electronica, en definieert tijdsduren.

Ruimtelijke afstanden Engeland ~1400: 1 yard is de omvang van de taille van de koning Académie Française (1791) : 1 meter = 1/10 000 000-ste deel van een vierde van de omtrek van de Aarde. 1889: 1 meter is de lengte van een metalen staaf die in Sèvres wordt bewaard. Het meten van de lichtsnelheid is nu zo precies [299792458 m/s]; dat c gewoon is vastgelegd (‘gedefinieerd’), omdat de seconde ook vastligt, is de meter secondair is geworden. c is dus niet meer te meten, de meter weer wel! Sinds 1983: 1 meter is gedefinieerd als het 1/ 299792458-ste deel van de afstand die licht (in vacuüm) in 1 seconde aflegt.

Vragen Stel dat twee waarnemers t.o.v. elkaar bewegen (bijv. een astronaut die naar Mars reist, en iemand die op Aarde acherblijft), en ze bepalen beiden met hun eigen klok de tijdsduur tussen twee lichtflitsen van een quasar. Meten ze dezelfde tijdsduur? Stel dat er een komeet langs vliegt. Meten beide waarnemers dan ook dezelfde lengte van de komeetstaart?

Reference frames Reference frame = waarnemer, iemand met een klok en een lengtemaat Intertial reference frame = waarnemer waarvoor de 1ste wet van Newton geldt De aarde is slechts bij benadering een ‘intertial frame’: de sterren die ver weg staan bewegen voor ons niet rechtlijnig…

De ether Een watergolf laat het water trillen Een geluidsgolf veroorzaakt een trilling in de lucht Ergo: er moet wel een oneindig verdund medium zijn waardoor het licht reist. Dit alomtegenwoordige, gewichtsloze, wrijvingsloze en transparante medium noemde men ‘de ether.’ Maar als er een ether bestaat, dan kan de lichtsnelheid niet absoluut zijn!

Roeien in de rivier (1) Twee roeiers bewegen met 5 m/s t.o.v. het water. Nummer 1 gaat van A naar B en terug; nummer 2 gaat van A naar C en terug. Beiden leggen in totaal 180 m af. Hoelang zijn ze onderweg? Roeier 1 moet z’n boot in de richting AP sturen om in B te komen. Pythagoras: (AQ)2+42= 52; dus (AQ )2 = 9; -> AQ = 3 meter. Roeier 1 gaat dus met 3 m/s van A naar B. De afstand AB is 90 meter, de heenreis duurt dus 90:3 = 30 s. De terugreis duurt ook 30 s; roeier 1 is dus in totaal 30+30 = 60 s onderweg. B 90 m 1 Stroomsnelheid 4 m/s 4 P Q 90 m 2 5 A C

Roeien in de rivier (2) Roeier 1 gaat van A naar B en terug. Zijn reis duurt 60 s. Roeier 2 gaat eerst met de stroom mee van A naar C. Z’n snelheid is 4+5 = 9 m/s; De heenreis van A naar C duurt dus 90:9 = 10 s. De terugreis van C naar A is tegen de stroom in en gaat met 5-4 = 1 m/s. De terugreis duurt dus 90:1 = 90 s. De totale reisduur voor roeier 2 is dus 10+90 = 100 s. B 90 m 1 4 m/s 4 P Q 90 m 2 5 A C

Is de lichtsnelheid absoluut? Licht reist door de ether met 300 000 km/s. Net als in het voorbeeld van de twee roeiers in de rivier maakt het voor de lichtsnelheid die je meet uit of het licht met de ether meebeweegt of juist niet. M.a.w. c moet wel relatief zijn en niet absoluut! Maar is dat ook zo?

Michelson-Morley ~1881 Michelson en Morley splitsten een lichtbundel in twee delen, en laten het ene deel loodrecht op het andere deel reizen. Als de ene helft met de ether mee zou bewegen, moest de andere helft wel dwars op de ether bewegen. Net als bij de roeiers in de rivier, verwacht je dat de ene lichtbundel sneller dan reist dan de andere. Maar dat bleek niet zo te zijn… Dit alleen betekent nog niet dat er geen ether bestaat: het kan zijn dat de Aarde stilstaat ten opzichte van de ether.

Michelson-Morley (2) Maar als het geval is, beweegt de Zon wel t.o.v. de ether, want de Zon beweegt immers t.o.v. de Aarde. Als je nu het Michelson en Morley experiment een paar maanden laat duren, beweeg je bijv. eerst van de zon af, en enkele maanden later naar de zon toe: Positie Aarde nu Zon Positie Aarde 4 maanden geleden Je kunt nu in plaats van een lichtbron op Aarde, het licht van de Zon zelf gebruiken om c te bepalen.

Michelson-Morley (3) De snelheid van zonlicht blijkt hetzelfde te zijn in verschillende jaargetijden. Het blijkt datc onafhankelijk is van de snelheid van de bron t.o.v. waarnemer! Beweging tegen zonlicht in Zon Beweging met zonlicht mee Blijkbaar is er niet zoiets als ‘beweging ten opzichte van de ether’. Daarmee is het hele bestaan van de ether niet meer nodig! Licht kan ‘gewoon’ door vacuüm reizen.

Einstein’s postulaten Absolute, rechtlijnige beweging kan niet worden vastgesteld. [Galilei’s boot!] De lichtsnelheid is onafhankelijk van de snelheid van de bron: alle waarnemers in verschillende inertiaalstelsels meten dezelfde waarde voor c.

Galileï Transformatie Hoe ‘vertaal’ je een ruimte-tijd meting van waarnemer S naar die van een tweede waarnemer S’ ? S meet (t, x, y, z) en S’ meet (t’, x’, y’, z’). Hun onderlinge snelheid is v m/s, langs de x-as, en op t = 0 vallen hun coördinaat-oorsprongen samen. (zie Fig. 39-2, p. 1270). We proberen dus als transformatie (als `vertaling’ van de meting van S naar die van S’): t = t’, x = x’ + v t , y = y’, z = z’, Snelheid van een voorwerp volgens S’ is dx’/dt’ = ux’ , Snelheid volgens S is ux = dx/dt = dx’/dt + v = ux’+ v.

Galileï Transformatie (2) Snelheid volgens S’: dx’/dt’ = ux’, Snelheid volgens S: ux = ux’+ v Versnelling volgens S’ is ax’ = dux’/dt’ = dux’/dt Versnelling volgens S is ax = dux’/dt Conclusie: S en S’ meten verschillende snelheden van een voorwerp; maar wel dezelfde versnelling!

Lorentz Transformatie Snelheid volgens S’: dx’/dt’ = ux’, Snelheid volgens S: ux = ux’+ v. Alhoewel dit in overeenstemming is met onze alledaagse metingen, is het strijdig met Einstein’s postulaten: S meet c voor de lichtsnelheid, net als S’; en niet c + v ! Blijkbaar is de Galileï-transformatie niet algemeen geldig…

Lorentz Transformatie (2) We proberen een andere ‘vertaling’, nl. x = g (x’ + vt’ ) met als inverse x’ = g (x - vt) De factor g moet nu bepaald worden. Beschouw een lichtpuls langs de x-as vanuit de oorsprong van S op t = 0. [Op t = t’ = 0 vallen de beide coördinaat- oorsprongen samen.] Dus: S’ ziet een lichtpuls in zijn oorsprong op t’ = 0. Beiden meten iets later de positie van het licht: S meet: x = ct dus: ct = g (ct’ + vt’) = g (c + v) t’ S’ meet: x’ = ct’ en ct’ = g (ct - vt) = g (c - v) t

Lorentz Transformatie voor x ct = g (c + v) t’ ct’ = g (c - v) t Elimineer ct/ t’ om g te bepalen: [Ga na] Nu weten we het transformatiegedrag van x:

Lorentz Transformatie voor t Los de laatste uitdrukking op voor t in termen van x’ en t’. [Ga na!]

Transformatie van Ruimte en Tijd De coördinaat x hangt af van x’ en t’. Hetzelfde geldt voor het tijdstip t. Ruimte en tijd zijn nu gekoppeld (ruimtetijd ). Tijdstippen en posities zijn niet meer absoluut, maar relatief.

De Inverse Transformatie ‘Voorwaartse’ Lorentz transformatie, van S’ naar S. De inverse transformatie (die van S naar S’) volgt door het teken van v om te draaien: Alternatief: druk x’ en t’ ieder uit in x en t mbv. de voorwaartse transformatie. [Ga na.]

Tijdsduren en Lengtes De operationele definitie van de tijdsduur van een proces zegt dat je dat bij aanvang van het proces een tijdsmeting doet (t1 voor S, t1’ voor S’), en een tweede meting bij afloop van het proces (t2 voor S, t2’ voor S’). Ook doen beiden een positiemeting van de twee ‘events’ [event 1 = aanvang proces, event 2 = afloop proces]. De tijdsduur Dt = t2- t1. Hoe transformeert deze tijdsduur? Conclusie: het transformatiegedrag van een tijdsduur is hetzelfde als dat van een tijdstip. Hetzelfde geldt ook voor afstanden [Ga na].