SaLVO! Samenhangend en actief leren in het voortgezet onderwijs Kees Hooyman St. Bonifatiuscollege, Utrecht FISME GSR, Rotterdam

Salvo! - Samenhangend en actief leren Indeling presentatie Samenhang Wiskunde en Natuurkunde SaLVO in de onderbouw Samenhang en didactiek SaLVO in de bovenbouw Invoeren of kennismaken? Ondersteuningsaanbod Salvo! - Samenhangend en actief leren 2/38

Salvo! - Samenhangend en actief leren Wat bedoelen we met samenhang? Als er twee vakken zijn waarbij samenhang haalbaar is dan zijn dat wiskunde en natuurkunde! Waarom is het er nog niet? Waarom willen we dat? Hype of toekomstvisie? Salvo! - Samenhangend en actief leren 3/38

Wiskundige vaardigheden in andere vakken Rekenen met formules Vergelijkingen omschrijven Rekenen met procenten Rekenen met verhoudingen (tabel) Vergroten en verkleinen (2D/3D) Grafieken herkennen Machtsfuncties en verbanden Exponentiële verbanden Modellen en differentiaalvergelijkingen Veranderingen en de afgeleide Salvo! - Samenhangend en actief leren 4/38

Samenhang of afstemming? Werkgroep afstemming wi-na Algebraïsche vaardigheden Evenredigheid Vectoren Grafieken en diagrammen De afgeleide Modelleren SaLVO werkt aan samenhang in meerdere leerjaren op een groot deel van deze onderwerpen Salvo! - Samenhangend en actief leren 5/38

Samenhang of afstemming? Afstemming tussen vakken gebeurt meestal op het nivo van examenprogramma’s. Het krijgt pas echt vorm als er sprake is van: Concreet lesmateriaal Samenwerkende docenten/secties Gezamenlijke (na)scholing Afspraken met uitgeverijen (?) Salvo! - Samenhangend en actief leren 6/38

SaLVO! - in vogelvlucht Opbouw vanuit de onderbouw Verhoudingen en factoren Procenten als vermenigvuldiging Verhoudingstabel Evenredigheid - grafiek en formule Experiment en formule Omgekeerd evenredig Exponeniële groei Salvo! - Samenhangend en actief leren 7/38

SaLVO! - in vogelvlucht Vervolg bovenbouw Evenredigheden en machtsfuncties Verbanden herkennen Experiment en formule Grafische rekenmachine Exponeniële en goniometrische functies Modellen, verandering en differentiaalvergelijkingen (i.o.) Salvo! - Samenhangend en actief leren 8/38

2. SaLVO in de onderbouw Instapvraag verhoudingen (B1 - wi) Paella Catalana voor 4 personen Voor 10 personen 300 g risottorijst 200 g cherrytomaatjes 150 g doperwten 150 g gekookte mosselen 100 g surimi 6 eetlepels olijfolie 1 kippenbouillontablet 2 teentjes knoflook 1 gedroogd pepertje 1 grote ui zout, peper 1 envelopje saffraan Kooktijd: ca 40 minuten Paella In een kookboek staat een recept voor Paella voor 4 personen, maar je wilt voor 10 personen koken. Hoe moet je de lijst aanpassen? Salvo! - Samenhangend en actief leren 9/38

Salvo! - Samenhangend en actief leren Verhoudingen (B1 - wi) Alle getallen met hetzelfde getal vermenigvuldigen = getallen veranderen in dezelfde verhouding. Hoe vind je de vermenigvuldigingsfactor k? Geldt het ook bij verkleinen? Geldt het ook bij procenten? Salvo! - Samenhangend en actief leren 10/38

Verhoudingstabellen (B1 - wi) Je krijgt 20% korting op een jas die normaal € 149,- kost. Hoe bereken je het nieuwe bedrag? Leerlingen hebben verschillende aanpak, maar wel herkenbaar oud nieuw bedrag in euro 149,- in procenten 100% 80% Salvo! - Samenhangend en actief leren 11/38

Evenredigheid herkennen (B1 - wi) Evenredigheid als een vermenigvuldiging Evenredigheid als een constante verhouding Heeft de verhouding een betekenis? omtrek 12,0 21,2 24,0 42,4 diagonaal 4,2 7,5 8,5 15,0 Salvo! - Samenhangend en actief leren 12/38

Salvo! - Samenhangend en actief leren Massa en volume (B2 - na) Een groepsexperiment met rijst, zand of iets anders. Elk groepje meet de massa en het volume. Is de massa nu evenredig met het volume? Hoe onderzoek je dat? Is de verhouding constant? Wat is de betekenis van dit getal? Massa (gram) 41 74 103 153 205 Volume (cm³) 23 40 58 85 110 Salvo! - Samenhangend en actief leren 13/38

Salvo! - Samenhangend en actief leren Massa en volume (B2 - na) De grafiek blijkt een rechte lijn door de oorsprong. Welke formule hoort bij de grafiek? Welke betekenis heeft het getal in de formule? Wat heeft dat te maken met de verhouding? massa massa=2volume massa=0,5volume volume Salvo! - Samenhangend en actief leren 14/38

Formules bij natuurkunde? Vrijwel alle natuurkunde-formules zijn evenredigheden, maar worden vaak als verhouding geschreven: Herkennen leerlingen het verband in de formule? Salvo! - Samenhangend en actief leren 15/38

Formules als evenredig verband Herkennen leerlingen evenredigheid in een formule? Is een constante verhouding een herkenbaar concept? Beide gebruiken? Betekenis en eenheid van de evenredigheidsconstante spanning U (in volt) stroomsterkte I (in mA) 10 20 30 40 50 5 15 25 Salvo! - Samenhangend en actief leren 16/38

Modules onderbouw (2e klas) B1 - Wi: Verhoudingen, procenten, verhoudinkgstabel, recht evenredig verband B2 - Na: Dichtheid als evenredigheid en als verhouding, grafiek en formule, dichtheid als evenredigheidsconstante B3 - Wi/Na: Vergroten en verkleinen figuren, licht- en schaduwbeelden, opp. en inhoud Salvo! - Samenhangend en actief leren 17/38

Vergroten & verkleinen (B3 - na) Vergroten en verkleinen met overheadprojector en lenzen, Vergroten met schaduwbeelden, snavelfiguur Oppervlakte vergroten met fotokopieerapparaat Volume vergroten: onderzoek aan kleikogels. Matrjoschka’s Formules voor vergroten en verkleinen Salvo! - Samenhangend en actief leren 18/38

Modules onderbouw (3e klas) B4 - Wi: Omgekeerd evenredig verband, grafiek, formule, constant product B5 - Economie: rekenen met procenten en BTW. B6 - Scheikunde: massaverhoudingen bij reacties B7 - Na: Overzicht formules, betekenis bij evenredigheid zoals U=IR, gebruik formules, eenheden B8 – Wi/na/inf: Exponentiële groei Salvo! - Samenhangend en actief leren 19/38

Formules en evenredigheden (B7 - na) Formules hebben meestal drie variabelen, welk verband is er? Verhouding constant of product constant? Snelheid constant → afstand evenredig met tijd Afstand constant → tijd omgekeerd evenredig met snelheid Salvo! - Samenhangend en actief leren 20/38

Formules en evenredigheden (B7 - na) Herhaling van eerdere formules Eenheden: J/s, N/m, MJ/m³ Nog beter is verspreid toepassen Salvo! - Samenhangend en actief leren 21/38

3. Samenhang en didactiek Organisatie Rooster (tijd en ruimte) Overleg en ondersteuning Inhoud Verwante begrippen Opbouw leerstof Didactiek Kennis Vaardigheden Aanpak Salvo! - Samenhangend en actief leren 22/38

Samenhang en didactiek Kennis Begrijpen van formele eigenschappen Nieuwe kennis koppelen aan bestaande Vaardigheden Te vaak nog gekoppeld aan notatie Teken y = 3x ² + 1 of 3x ² + 1 =y Koppelen aan formele eigenschappen Aanpak Probleemgericht Situatie → concept → formalisme Salvo! - Samenhangend en actief leren 23/38

Samenhang en didactiek Samenhang kan alleen slagen bij samenwerking van docenten én secties Praten over aanpak in de klas Welke begrippen en vaardigheden staan centraal? Welk ‘beeld’ moeten leerlingen van de kernbegrippen hebben? Ondersteuning van de school in tijd en een plek in het rooster of jaarprogramma Salvo! - Samenhangend en actief leren 24/38

Salvo! - Samenhangend en actief leren 4. SaLVO in de bovenbouw Evenredigheden en machtsfuncties Verbanden herkennen Experiment en formule Grafische rekenmachine Exponeniële en goniometrische functies Modellen, verandering en differentiaalvergelijkingen (i.o.) Salvo! - Samenhangend en actief leren 25/38

Salvo! - Samenhangend en actief leren Modules bovenbouw B9 – Wi 4v: Evenredigheden en machtsfuncties B10 – Na 4v: Verbanden onderzoeken B11 – Wi 5v: Periodieke en exponentiële functies B12 – Na/wi 5v: Modellen, verbanden en wiskunde Salvo! - Samenhangend en actief leren 26/38

Verbanden onderzoeken Voorbeeld remweg (B10 - Na) Welke vaardigheden en begrippen hebben leerlingen nodig bij het onderzoeken van een verband? Remweg van een fiets Johan en Irene onderzoeken hoe de remweg afhangt van de snelheid. Van tevoren hadden ze verwacht dat de remweg evenredig zou zijn met de snelheid. Is hun verwachting uitgekomen? Wat voor een verband zou het zijn? Welke formule hoort bij dit verband? snelheid vb (km/h) remweg srem (m) 10 1,3 15 3,0 20 5,1 25 8,1 Salvo! - Samenhangend en actief leren 27/38

Voorbeeld remweg (B10 - Na) snelheid vb (km/h) remweg srem (m) srem/vb² 10 1,3 0,013 15 3,0 0,0133 20 5,1 0,0128 25 8,1 0,0130 Remweg van een fiets Teken eerst een grafiek. Bij een kwadratisch verband hoort de formule: srem = cvb² Er zijn drie oplosmethoden: - Tabelmethode: c = srem/vb² constante = 0,013 Functiefit (computer of GR) y = ax² + bx + c of y = axn - Coördinatentransformatie: srem uitzetten tegen vb² een rechte lijn, waarvan r.c. = c remweg srem (m) snelheid vb (km/h) 4 2 6 10 8 5 15 20 25 30 Salvo! - Samenhangend en actief leren 28/38

Soorten verbanden (B10 - Na) Recht evenredig verband m = cV Omgekeerd evenredig verband t = c1/v of t = cv-1 Kwadratisch evenredig verband srem = cvb2 Omgekeerd kwadratisch verband I = c1/r2 of I = cr-2 Wortelverband v = c√Fs of v = cFs1/2 Salvo! - Samenhangend en actief leren 29/38

Salvo! - Samenhangend en actief leren Machtsfuncties Wat leren leerlingen bij wiskunde van machtsfuncties? Traditioneel veel rekenregels over vermenigvuldigen van machten en eigenschappen van machtsfuncties Notatie bijna altijd in y en x Weinig aandacht voor evenredigheden Weinig transfer naar natuurkunde Salvo! - Samenhangend en actief leren 30/38

Machtsfuncties als evenredigheid (B9 – wi) Instap voor begripsopbouw: als x met een bepaald getal wordt vermenigvuldigd dan wordt y….. Herhaling evenredig en omgekeerd Gebruik van tabel, grafiek en formule Evenredigheidsconstante c = y/xn Uitbreiden naar andere verbanden: kwadratisch, wortel en omgekeerd kwadratisch Salvo! - Samenhangend en actief leren 31/38

Machtsfuncties als evenredigheid (B9 – wi) Alle machtsfuncties worden gezien als een evenredigheid Twee notaties: y = c·xn evenredigheid y/xn = c constante verhouding Naast x en y ook andere letters Ook aandacht voor rekenregels Salvo! - Samenhangend en actief leren 32/38

Van wiskunde naar natuurkunde Transfer is duidelijk verbeterd Algebraïsche vaardigheden nemen toe, angst voor formules verdwijnt Gebruik GR is een extra stimulans TI-programma MACHTFIT tekent de metingen en vraagt daarna: y = axn geef schatting n Salvo! - Samenhangend en actief leren 33/38

Exponentiële functies (B11 – wi/na) Modellen en wiskunde (B12 – wi) Discrete en continue groei Tijdstap en groeifactor  getal e Verandering evenredig met hoeveelheid De afgeleide en het getal e Logaritme en ln Modellen en differentiaalvergelijking Hoe ontstaan bepaalde verbanden? Verschillende processen en DV Salvo! - Samenhangend en actief leren 34/38

5. Invoeren of kennismaken? Eerste bevindingen Praktijk toch nog lastig Planning Voorkennis soms overschat Aanpak en didactiek zijn verschillend Rol docenten essentieel Bekendheid met aansluitende blokken Klassengesprekken om denkbeelden te onderzoeken Uitlichten essentie Begrip Begripsontwikkeling komt verder in bovenbouw Leerlingen zelfstandiger in verbanden onderzoeken en redeneren Leerlingen onthouden dit beter en langer Salvo! - Samenhangend en actief leren 35/38

Salvo! - Samenhangend en actief leren Belemmeringen Onbekendheid inhoud andere vakken Opbrengst niet altijd zichtbaar bij andere vakken (m.n. wiskunde) Programma’s vakken niet samenhangend Overladenheid vakken Organisatorisch Salvo! - Samenhangend en actief leren 36/38

Salvo! - Samenhangend en actief leren Kansen Nu is hèt moment! Faciliteren en stimuleren Draagvlak, teamvorming, externe samenwerking Overzicht over leerlijn Doelstellingen, planning Praten, praten, praten, overleggen…!!!! Salvo! - Samenhangend en actief leren 37/38

6. Ondersteuningsaanbod Materiaal en informatie beschikbaar, docentenhandleiding na aanmelden. www.salvoproject.nl Contact: science.salvo@uu.nl Ondersteuning op uw eigen school, of samen met scholen in de buurt Twee bijeenkomsten per school Informatiebijeenkomst Startbijeenkomst Salvo! - Samenhangend en actief leren 38/38