dia's bij lessenserie Pythagoras ±600-500 v Chr. man met tulband, misschien Pythagoras. Sculptuur uit de 4e of 5e eeuw v. Chr. deze dia's zijn te vinden op: www.andrealubberdink/pythagoras/pythagoras.html

De volmaakte driehoek • • • • • • • • • • 1+2+3+4 = 10 (driehoekig getal)

Vierkante getallen (square numbers) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 4 9 16

De mooie getallen 16 en 18 4 3 3 3 4 Omtrek: 4+4+4+4 = 16 Omtrek: 3+3+3+3+3+3 = 18 Oppervlakte: 4.4= 16 Oppervlakte = 3.3.2 = 18

Enkele stellingen van de leer van even en oneven

Manier van de Pythagoreeërs om de grootste gemeenschappelijke deler te vinden Neem beide getallen. (20 24) Trek het kleinste getal af van het grootste getal (24-20=4) Ga verder met het antwoord en het kleinste getal (4 20) Trek weer het kleinste getal af van het grootste getal (20-4=16) ga net zo lang door tot je twee dezelfde getallen hebt. ( 16-4=12 12-4=8 8-4=4) Dat is de GGD (4)

We weten nog een vereenvoudigde breuk bestaat nooit uit twee even getallen oneven getal . oneven getal = oneven getal De grootste gemeenschappelijke deler van a en b vind je door steeds het kleinste van het grootste getal af te trekken tot je twee dezelfde getallen hebt. Je gaat steeds door met de twee kleinste getallen. Als de GGD = 1 dan is de breuk b/a vereenvoudigd.

b/a b a 1 ≅ a 1

a a b

b-a a a a-(b-a) b-a b-a b

C Q B A P C Q B A P

C Q B A P

π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 6939937510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 0812848111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 3819644288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 1609433057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 2179860943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 1787214684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 21960 86403 44181 59813 62977 47713 09960 51870 72113 49999 99837 29780 49951 05973 17328 16096 31859 50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 85035 26193 1188171010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717 76691 4730359825 34904 28755 46873 11595 62863 88235 37875 93751 9577818577 80532 17122 68066 13001 92787 66111 95909 21642 01989

1/3 = 0,3333333333333333333333333333….. 15/7 = 2,142857 142857 142857 142857 …..

de woorden aap, noot en mies Een verzameling bestaat uit elementen. Het aantal elementen heet de kardinaliteit van de verzameling. verzameling elementen kardinaliteit { 1, 2, 5 } de getallen 1, 2 en 5 3 { aap, noot, mies } de woorden aap, noot en mies { q, e, s, t } de letters q, e, s en t 4

Verzamelingen met dezelfde kardinaliteit heten gelijkmachtig. { 1, 2, 3, 4, 5 } is gelijkmachtig met { 2, 4, 6, 8, 10 } { 5, 6, 8 } en { cola, fanta, cassis } zijn gelijkmachtig. De volgorde van de elementen doet er niet toe. { 7, 5, 2 } = { 2, 7, 5} { a, b, c, d, e } = { b, d, c, e, a } Elk element telt maar één keer mee, ook al schrijf je het vaker op. De kardinaliteit van { 7, 5, 5, 5, 2 } is niet 5 maar 3. { 7, 5, 5, 5, 2 } = { 7, 5, 2 }

Elke verzameling is dus ook een deelverzameling van zichzelf. Verzameling B is een deelverzameling van verzameling A als elk element in B ook in A zit. Voorbeelden van deelverzamelingen van { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }: { 4, 5, 6 } { 2, 4, 6 } { 3 } { 1, 6 } Elke verzameling is dus ook een deelverzameling van zichzelf. { 8, 12, 15 } is een deelverzameling van { 8, 12, 15 }

Een verzameling met een eindig aantal elementen heet een eindige verzameling. Voorbeelden: De verzameling van alle leerlingen op een school. De verzameling van alle gehele getallen van 1 tot 10000000. Een verzameling kan ook oneindig veel elementen hebben. Zo'n verzameling heet een oneindige verzameling. ℕ = de verzameling van alle natuurlijke getallen = { 0, 1, 2, ... } ℤ = de verzameling van alle gehele getallen = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } ℚ = de verzameling van alle rationale getallen ℝ = de verzameling van alle reële getallen

Gelijkmachtigheid bepalen door te tellen: { 5, 6, 3 } heeft 3 elementen. { auto, boot, fiets } heeft ook 3 elementen. dus { 5, 6, 3 } en { auto, boot, fiets } zijn gelijkmachtig.

Opdracht Bedenk een manier om zonder te tellen te controleren of twee eindige verzamelingen gelijkmachtig zijn. Eerst 2 minuten zelf nadenken, dan 2 minuten overleggen met de leerling naast je. Hint: Neem als voorbeeld een schoolplein waarop 200 leerlingen staan en bedenk hoe je kan controleren of er evenveel jongens als meisjes zijn.

Zijn { 5, 6, 3 } en { auto, boot, fiets } gelijkmachtig? Er is een één-op-één afbeelding: 5 ↔ auto 6 ↔ boot 3 ↔ fiets Er blijft niets over dus ze zijn gelijkmachtig. Zijn { aap, noot, mies } en { 8, 5, 12, 3 } gelijkmachtig? Er is geen één-op-één afbeelding: aap ↔ 12 noot ↔ 8 mies ↔ 3 ??? ↔ 5 De 5 blijft alleen over dus ze zijn niet gelijkmachtig.

ℤ = { ..., -2, -1, 0, 1 , 2, ... } = alle gehele getallen E = { ..., -4, -2, 0, 2 , 4, ... } = alle even gehele getallen E is een deelverzameling van ℤ. Betekent dat dat ℤ meer elementen heeft dan E? Er is een één-op-één afbeelding: ... -2 ↔ -4 -1 ↔ -2 0 ↔ 0 1 ↔ 2 2 ↔ 4 .... Er blijven geen getallen alleen over!

ℤ is oneindig aftelbaar Een verzameling die gelijkmachtig is met ℕ heet een aftelbaar oneindige verzameling. Je kunt de elementen, net als de natuurlijke getallen, in een oneindig lange rij zetten en ze dan zover aftellen als je maar wilt. Voorbeelden: ℤ is oneindig aftelbaar De verzameling van alle kwadraten is aftelbaar oneindig ℕ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... ℤ -1 -2 -3 -4 -5 ℕ 1 2 3 4 5 6 7 ... kwadraten 9 16 25 36 49

Hilbert's Grand Hotel kamer 1 2 3 4 5 6 ... voor A B C D E na VRIJ!!!

Alle reële getallen tussen 0 en 1 Bekijk de verzameling van alle reële getallen tussen 0 en 1. Schrijf de getallen als (oneindig lange) kommagetallen Neem aan dat de verzameling aftelbaar oneindig is. Je kunt de elementen dan allemaal in een oneindig lange rij zetten (tabel). Er is een getal tussen 0 en 1 dat er niet bij zit. Tegenspraak! Natuurlijke getallen Alle reële getallen tussen 0 en 1 0 , 9 8 2 4 7 3 5 9 8 4 3 5 8 0 0... 1 0 , 2 0 4 2 5 8 9 4 8 5 2 7 4 5 8... 2 0 , 3 8 7 2 4 6 4 2 8 7 3 8 2 7 4... 3 0 , 3 2 7 4 8 6 2 3 8 7 0 9 8 8 9... 4 0 , 0 0 9 0 8 0 9 8 0 0 8 9 3 2 2... 5 0 , 9 1 3 4 6 0 2 0 9 3 8 7 4 3 5... 6 0 , 4 3 6 5 8 8 3 6 5 4 3 8 7 5 6... 7 0 , 4 3 7 8 6 4 8 1 9 8 7 9 8 9 9... 8 0 , 1 2 3 9 8 7 3 4 6 5 9 2 3 9 2... 9 0 , 0 9 8 3 2 4 0 3 9 0 4 0 2 3 4... 10 0 , 9 8 6 4 3 8 7 8 3 2 4 8 9 2 3... 11 0 , 7 4 9 3 5 3 9 8 4 3 9 5 8 9 3 ... ... Maar deze zit er niet bij! 0 , 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

Maak er 0 van Je mag alleen gehele getallen gebruiken. Je mag alleen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen. Je mag niet vermenigvuldigen met 0. Voorbeelden:

Maak er 0 van Opdracht 1 Maak 0 van de volgende 2 getallen: Opdracht 2 Bedenk zelf een getal waar je op deze manier 0 van kunt maken. Laat de leerling naast je het uitproberen. Opdracht 3 Denk je dat er ook getallen zijn waar je op deze manier geen 0 van kunt maken? Zo ja, kun je een voorbeeld geven?

Maak er 0 van

Algebraïsche getallen zijn oplossingen van vergelijkingen als a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = 0 waarin a0, a1, a2, ..., an gehele getallen zijn

Getallenverzamelingen Irrationale getallen: niet rationale reële getallen (groen + rood). Transcendente getallen: niet algebraïsche reële getallen (rood).