Voorkennistest wiskunde en statistiek voor Stralingshygiëne niveau 3 If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is.  ~John Louis von Neumann

Uitleg Deze test bevat 24 opgaven die de verwachte voorkennis op het gebied van wiskunde en statistiek voor de cursus stralingshygiëne niveau 3 aangeven. U hoeft niet alle opgaven te kunnen beantwoorden: als u uiteindelijk minimaal 16 vragen juist hebt kunnen beantwoorden, dan is uw voorkennisniveau op voldoende peil om de cursus niveau 3 te kunnen volgen. Is dit niet het geval, dan raden wij u aan eerst de VoorCursus te volgen om uw voorkennis op te frissen. In deze cursus komen alle onderdelen van deze test uitgebreid aan bod, alsmede de benodigde basis in de onderdelen natuurkunde, scheikunde en biologie.

Uitleg De test zou, bij voldoende voorkennis, binnen circa 45 minuten maakbaar moeten zijn. U mag bij de test indien nodig een rekenmachine gebruiken, op enkele vragen na (dit staat aangegeven). Wij raden u aan de vraag te lezen op de slide, maar verder de uitwerkingen op papier te maken. Als u eenmaal klikt krijgt u de slide met de volgende vraag, klikt u dan nogmaals, dan komt er een korte hint te staan om u op weg te helpen. Mocht u hiermee niet verder komen, ga dan gewoon door met de volgende vraag. Aan het einde staan nogmaals alle vragen, nu steeds gevolgd door een uitwerking. Controleer hiermee uw antwoorden.

Vraag 1 De eerste vragen zijn niet direct stralingshygiëne gerelateerd, maar toetsen wel enkele basisvaardigheden in het oplossen van vergelijkingen en het rekenen met machten. Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking: Hint: Begin met aan beide zijden 7 op te tellen.

Vraag 2 Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking: Hint: Ontbindt de vergelijking in factoren in de vorm (x + a)(x + b) = 0.

Vraag 3 Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking: Hint: Herschrijf de vergelijking in de vorm ax 2 + bx + c = 0 en los op m.b.v. de abc-formule (vierkantswortelvergelijking) of door ontbinden in factoren (mogelijk, maar lastig).

Vraag 4 Reken uit zonder rekenmachine: Hint: 5-2 = 50 / 52

Vraag 5 Reken uit zonder rekenmachine: Hint: Wanneer een macht tot de macht wordt verheven, worden de exponenten vermenigvuldigd.

Vraag 6 Bereken het volgende logaritme: Hint: Het logaritme wordt gebruikt om de exponent van een macht te berekenen. Bovenstaande opgave vraagt eigenlijk: “Tot welke macht het grondtal 3 verheven worden om 81 te krijgen?”.

Vraag 7 Los d op uit de volgende wiskundige vergelijking die je zou kunnen tegenkomen in de berekening van een afschermingsdikte. Hint: De exponent van het getal e (= 2,71828…) kan worden berekend door het natuurlijk logaritme (ln) te nemen.

Vraag 8 Los t op uit de volgende wiskundige vergelijking die je zou kunnen tegenkomen in de berekening van verval van radioactief afval: Hint: Deze vergelijking kan opgelost worden door te bepalen hoe vaak het getal 4480 gehalveerd moet worden om 35 te krijgen.

Vraag 9 Herschrijf de onderstaande exponentiële vergelijking die verzwakking van een stralingsbundel beschrijft in decimeringen (afnamen in factoren van 10) naar een vergelijking met grondtal e. Hint: ax = (e ln a)x

Vraag 10 Differentiëren is het bepalen van de hellingfunctie oftewel de afgeleide functie. Differentieer de volgende functie: Hint: De afgeleide van a∙x n + b is a∙n∙x n-1.

Vraag 11 Differentieer de volgende functie: Hint 1: De afgeleide van e x is e x. Hint 2: Quotiëntregel: Hint 3: Kettingregel:

Vraag 12 Met een integraal wordt het oppervlak onder een curve berekend. Dit kan bijvoorbeeld nodig zijn om uit te rekenen wat de dosis is als gevolg van het inademen van radioactief materiaal. Reken de onderstaande opgeloste integraal van een negatieve exponentiële vergelijking uit: Hint: Vul in voor de bovenste grenswaarde, vul in voor de onderste grenswaarde, en trek tenslotte de twee antwoorden van elkaar af.

Vraag 13 Bereken de volgende integraal: Hint: Integreren is het omgekeerde van differentiëren. Bereken eerst de zgn. primitieve functie en vul deze in met de grenswaarden.

Vraag 14 Gebruik de hiernaast afgebeelde grafiek om te bepalen hoeveel procent van een stralingsbundel door een loden wand van 4 cm dik kan dringen. Transmissie is de fractie straling die door een afscherming heen komt. Hint: Let goed op de onderverdeling binnen de logaritmische schaal.

Vraag 15 Stralingsbundels kunnen onder hoeken verstrooien op muren. Hierdoor is enige kennis van goniometrie ook noodzakelijk. In de hiernaast afgebeelde rechthoekige driehoek (niet op schaal) is de lengte van zijde a 5,0 meter en van schuine zijde c 9,0 meter. Hoe lang is zijde b ? Hint: Pythagoras. c a b

Vraag 16 In de hiernaast afgebeelde rechthoekige driehoek (niet op schaal) is de lengte van zijde a 30 cm. Hoek  is 30°. Hoe lang is zijde c ? Hint: Gebruik de sinus van hoek . c a  b

Vraag 17 Geef in het juiste aantal significante cijfers antwoord op de volgende vraag: Een wand is 275,5 bij 1102,0 cm groot. Met 1,0 liter muurverf kun je 12,5 m2 verven. Hoeveel liter verf heb je nodig? Hint: Let goed op de eenheden en op de nauwkeurigheid van de verschillende gegevens.

Vraag 18 Kennis van statistische basisbegrippen is nodig om de nauwkeurigheid van stralingsmetingen te kunnen beoordelen. Bereken het gemiddelde, de modus en de mediaan van de volgende serie gemeten massa’s in grammen: 420 415 424 406 432 422 427 433 420 Hint: Zet voor bepaling van modus en mediaan als eerste de getallen op volgorde van laag naar hoog.

Vraag 19 Bereken de absolute en de relatieve standaarddeviatie van het gemiddelde in dezelfde serie gemeten massa’s als de vorige vraag: 420 415 424 406 432 422 427 433 420 Hint: De standaarddeviatie is de wortel uit de variantie, die berekend wordt door van elk van de waarde het verschil met het gemiddelde te berekenen, kwadratisch op te tellen en te delen door het aantal metingen.

Vraag 20 Een serie activiteitsmetingen geeft als gemiddelde waarde 250 Bq en als standaarddeviatie 15 Bq. De meetwaarden hebben een normale verdeling. Tussen welke waarden ligt het 95% betrouwbaarheidsinterval (onzekerheidsinterval)? Hint: De (on)zekerheid van een meting in normaalverdeling wordt bepaald door het aantal standaarddeviaties marge dat wordt genomen.

Vraag 21 Trek de volgende gemeten teltempo’s met foutenmarges van elkaar af om het netto teltempo te verkrijgen: Hint: Bij optellen of aftrekken van meetwaarden kan men de standaarddeviaties “kwadratisch optellen”.

Vraag 22 Metingen van radioactieve bronnen voldoen aan een binomiaalverdeling die bij grote aantallen overgaat in een Poissonverdeling. Hiervan kan uit één meting de relatieve meet-onzekerheid (1 standaarddeviatie) worden berekend met √N / N. N staat hierin voor het aantal gemeten telpulsen. Hoeveel telpulsen moeten worden gemeten als de relatieve meetonzekerheid 0,5% mag zijn? Hint: Stel op als vergelijking en probeer eerst te vereenvoudigen.

Vraag 23 Geef bij onderstaande vier schematische weergaven van de benaderingen van een meetwaarde aan welke precies en welke juist zijn.

Vraag 24 Men verwacht tussen twee grootheden een lineair verband. Hieronder is een serie metingen weergegeven. Welke kleur regressielijn geeft het best het verband weer?

Uitwerking vraag 1 Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking:

Uitwerking vraag 2 Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking: Ontbinden in factoren: (x + a)(x + b) = 0 a en b opgeteld -6, a en b vermenigvuldigd 9. Alle mogelijkheden op gehele getallen die bij vermenigvuldiging 9 opleveren: a b + * 1 9 10 3 6 -1 -9 -10 -3 -6

Uitwerking vraag 3 Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking: Herschrijven: abc-formule:

Uitwerking vraag 4 Reken uit zonder rekenmachine: Uitwerking: Een negatieve macht leidt volgens de rekenregels voor machten tot een breuk:

Uitwerking vraag 5 Reken uit zonder rekenmachine: Uitwerking: Een complexe exponent kan worden opgesplitst m.b.v. de rekenregels: Een gebroken macht is gelijk aan een wortel: Dit kan worden bewezen met dezelfde rekenregel:

Uitwerking vraag 6 Bereken het volgende logaritme: Uitwerking:

Uitwerking vraag 7 Los d op uit de volgende wiskundige vergelijking die je zou kunnen tegenkomen in de berekening van een afschermingsdikte. Uitwerking: Gebruik het natuurlijk logaritme:

Uitwerking vraag 8 Los t op uit de volgende wiskundige vergelijking die je zou kunnen tegenkomen in de berekening van verval van radioactief afval: Uitwerking: Alternatief voor log-berekening: Tel eenvoudigweg na hoe vaak het getal 4480 gehalveerd moet worden om op 35 te komen. Het antwoord is 7.

Uitwerking vraag 9 Herschrijf de onderstaande exponentiële vergelijking die verzwakking van een stralingsbundel beschrijft in decimeringen (afnamen in factoren van 10) naar een vergelijking met grondtal e. Uitwerking: Herschrijf het grondtal in een e –macht en vereenvoudig daarna zover mogelijk m.b.v. rekenregels voor machten: Vul in:

Uitwerking vraag 10 Differentiëren is het bepalen van de hellingfunctie oftewel de afgeleide functie. Differentieer de volgende functie: Uitwerking: f is een machtsfunctie, hiervoor bestaan eenvoudige rekenregels voor het snel bepalen van de afgeleide functie. Het getal -6 wordt niet meegenomen: dit bepaalt alleen de verticale verschuiving van de curve, niet de helling.

Uitwerking vraag 11 Differentieer de volgende functie: Uitwerking: Bereken eerst apart de afgeleiden van de functie g (x) in de teller en de functie h (x) in de noemer. Gebruik voor de teller de kettingregel. Voor de afgeleide van het totaal: vul de quotiëntregel in en vereenvoudig zo ver mogelijk.

Uitwerking vraag 12 Reken de onderstaande opgeloste integraal van een negatieve exponentiële vergelijking uit: Uitwerking: Vul de grenswaarden in en werk het antwoord uit:

Uitwerking vraag 13 Bereken de volgende integraal: Uitwerking: Bereken de primitieve via de omgekeerde rekenregels voor differentiëren: Vul de grenswaarden in en werk uit. De onbekende constante c komt te vervallen bij het invullen van grenswaarden, dus kan al direct weggelaten worden.

Uitwerking vraag 14 Gebruik de hiernaast afgebeelde grafiek om te bepalen hoeveel procent van een stralingsbundel door een loden wand van 4 cm dik kan dringen. Uitwerking: Wanneer nauwkeurig afgelezen ziet men dat de zwarte lijn voor lood bij 4 cm dikte op hoogte is van het eerste ongemarkeerde streepje boven de aanduiding 10-3. Er bevinden zich acht ongemarkeerde streepjes tussen 10-3 en 10-2, dus eerste streepje staat voor een fractie van 2∙10-3. Dit is gelijk aan 2/1000e deel, dus 0,2%.

Uitwerking vraag 15 c a In de hiernaast afgebeelde rechthoekige driehoek is de lengte van zijde a 5,0 meter en van schuine zijde c 9,0 meter. Hoe lang is zijde b ? Uitwerking: Vul stelling van Pythagoras in: Zijde b is ca. 7,5 m lang (niet nauwkeuriger weergeven dan oorspronkelijk gegeven lengten). b

Uitwerking vraag 16 In de hiernaast afgebeelde rechthoekige driehoek is de lengte van zijde a 30 cm. Hoek  is 30°. Hoe lang is zijde c ? Uitwerking: De sinus van een hoek in een rechthoekige driehoek is gelijk aan de overstaande zijde gedeeld door de schuine zijde. c a  b

Uitwerking vraag 17 Geef in het juiste aantal significante cijfers antwoord op de volgende vraag: Een wand is 275,5 bij 1102,0 cm groot. Met 1,0 liter muurverf kun je 12,5 m2 verven. Hoeveel liter verf heb je nodig? Uitwerking: Het wandoppervlak is 275,5 ∙ 1102,0 = 3,036∙105 cm2 = 30,36 m2. Met 1,0 liter verf je 12,5 m2, dus voor 30,36 m2 heb je nodig: 30,36/12,5 ∙ 1,0 = 2,4 liter verf. Aangezien de minst nauwkeurige waarde (volume verf) in twee significante cijfers gegeven is, wordt het eindantwoord ook in twee significante cijfers gegeven.

Uitwerking vraag 18 Bereken het gemiddelde, de modus en de mediaan van de volgende serie gemeten massa’s in grammen: 420 415 424 406 432 422 427 433 420 Uitwerking: Herschikking getallenreeks: 406 415 420 420 422 424 427 432 433 Berekening gemiddelde: Modus = de meetwaarde die het meest voorkomt = 420 gram. Mediaan = de middelste meetwaarde in de reeks op volgorde van laag naar hoog = 422 gram.

Uitwerking vraag 19 Bereken de absolute en de relatieve standaarddeviatie van het gemiddelde in dezelfde serie gemeten massa’s als de vorige vraag. Uitwerking: Bereken eerst de variantie, dit is de standaarddeviatie in het kwadraat: De absolute standaarddeviatie: De relatieve standaarddeviatie, ook wel variatiecoëfficiënt genoemd:

Uitwerking vraag 20 Een serie activiteitsmetingen geeft als gemiddelde waarde 250 Bq en als standaarddeviatie 15 Bq. De meetwaarden hebben een normale verdeling. Tussen welke waarden ligt het 95% betrouwbaarheidsinterval (onzekerheidsinterval)? Uitwerking: Een marge van één standaarddeviatie in een normaalverdeling leidt tot een 68% betrouwbaarheidsinterval, wanneer twee standaarddeviaties wordt genomen is dit 95% en bij drie 99%. De grenswaarden voor 95% betrouwbaarheid zijn dus 220 Bq en 280 Bq.

Uitwerking vraag 21 Trek de volgende gemeten teltempo’s met foutenmarges van elkaar af: Uitwerking: Het netto teltempo (=gemeten minus achtergrond): 244 – 34 = 210 cps. Als een waarde z wordt berekend uit meetwaarden x en y door optellen of aftrekken, geldt voor de standaarddeviaties: Rapportage berekende waarde: 210 ± 6,1 cps.

Uitwerking vraag 22 …Hiervan kan uit één meting de relatieve meet-onzekerheid (1 standaarddeviatie) worden berekend met √N / N. N staat hierin voor het aantal gemeten telpulsen. Hoeveel telpulsen moeten worden gemeten als de relatieve meetonzekerheid 0,5% mag zijn? Uitwerking:

Uitwerking vraag 23 Geef bij onderstaande vier schematische weergaven van de benaderingen van een meetwaarde aan welke precies en welke juist zijn. Uitwerking: Precies betekent dat de spreiding door toevallig fouten klein is. Juist betekent dat de geschatte of gemeten waarde de werkelijke waarde goed benadert, dus dat de systematische fout klein is.

Uitwerking vraag 24 Men verwacht tussen twee grootheden een lineair verband. Hieronder is een serie metingen weergegeven. Welke kleur regressielijn geeft het best het verband weer? Uitwerking: Bij lineaire regressie gebruikt men de kleinste kwadratenmethode. Zichtbaar resultaat: afstand punten boven en onder lijn zo klein mogelijk en verdeling gelijkmatig. Evidente uitbijters worden weggelaten. De zwarte lijn is de beste regressielijn als punt x=8 als uitbijter wordt gezien.