Differentiëren Toepassing.
Verfblik We gaan afmetingen van een verfblik van 5 liter berekenen (binnenmaten). Wat is het kleinst mogelijke oppervlakte? Optimale situatie om zo weinig mogelijk materiaal te gebruiken. Het blik is een cilinder met diameter d en hoogte h. De cilinder is boven en onder afgesloten.
Benodigde formules De formules die nodig zijn? Het volume van een cilinder: 𝑉=𝜋∙ 𝑟 2 ∙ℎ Oppervlakte uitslag! Die bestaat uit drie (vlakke) deelfiguren. Cirkel (2 keer): 𝜋∙ 𝑟 2 ∙2 Rechthoek: 2∙𝜋∙𝑟∙ℎ Samen: 2𝜋 𝑟 2 +2𝜋𝑟ℎ
Formules met diameter? Volume: 𝑉=𝜋∙ 𝑟 2 ∙ℎ 𝑉= 1 4 ∙𝜋∙ 𝑑 2 ∙ℎ Oppervlakte: 𝑂=2𝜋 𝑟 2 +2𝜋𝑟ℎ 𝑂= 1 2 𝜋 𝑑 2 +𝜋𝑑ℎ
5 literblik? Wat kun je nu met het gegeven dat het een vijf liter blik moet worden? 1 4 ∙𝜋∙ 𝑑 2 ∙ℎ=5 𝜋 𝑑 2 ℎ=20 en nog verder ℎ= 20 𝜋 𝑑 2 Dit kun je invullen in de andere formule. Oppervlakte: 𝑂= 1 2 𝜋 𝑑 2 +𝜋𝑑ℎ Dan krijg je 𝑂= 1 2 𝜋 𝑑 2 + 20 𝑑 Nu is er maar 1 onbekende over: namelijk d!
Bepaal de minimale waarde. Formule: 𝑂= 1 2 𝜋 𝑑 2 + 20 𝑑 𝑦= 1 2 𝜋 𝑥 2 + 20 𝑥 kies 𝑑=𝑥 Bereken 𝑦 ′ =0 In een top (minimum) is de afgeleide nul. 𝑦 ′ =𝜋𝑥− 20 𝑥 2 die is nul, dus 𝜋𝑥= 20 𝑥 2 𝜋 𝑥 3 =20 dus de diameter = 3 20 𝜋 ≈1,85 En de hoogte is?
12.7 Tekenverloop Met behulp van de afgeleide kun je de vorm van de grafiek al grof aangeven. Zoek de nulpunten. Zet die op een getallenlijn en bepaal wat het teken tussen de nulpunten is. + = stijgen - = dalen + + + 0 - - - 0 + + +
12.8 Toepassingen De afgeleide komt goed van pas bij optimalisering probleem. De maximale of minimale waarden is te vinden als de afgeleide nul is (en tekenomslag).