Algebra

Voorrangsregels Haakjes Machtsverheffen / Worteltrekken sinus / logaritme Machtsverheffen / Worteltrekken Vermenigvuldigen / Delen Optellen / Aftrekken Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord Hoe Moeten Wij Van De Onvoldoendes Afkomen

Notaties Bij twee bewerkingen op hetzelfde niveau van links naar rechts werken. -52 = -25 en (-5)2 = 25 9+16 =√(9+16) 10+6 −2⋅3 =− (10+6) (2⋅3) 12 6 3 =12/(6/3)

Machten 𝑎 𝑝 ⋅ 𝑎 𝑞 =𝑎 𝑝+𝑞 𝑎 𝑝 𝑞 = 𝑎 𝑝⋅𝑞 𝑝 𝑎 = 𝑎 1 𝑝 1 𝑎 𝑝 = 𝑎 −𝑝 𝑎 𝑝 𝑞 = 𝑎 𝑝⋅𝑞 𝑝 𝑎 = 𝑎 1 𝑝 1 𝑎 𝑝 = 𝑎 −𝑝 𝑎⋅𝑏 𝑝 = 𝑎 𝑝 ⋅ 𝑏 𝑝

Speciale aandacht 𝑎>0 3 8 ⋅ 3 𝑎 9 ⋅ 𝑎 0,33 =2 𝑎 3,33 𝑎 0 =1 𝑎 1 =𝑎 𝑎 = 2 𝑎 =𝑎 1 2 𝑎 𝑏 = 𝑎 𝑏 3 8𝑎⋅𝑎 8 𝑎 −0,33 = 3 8 ⋅ 3 𝑎 9 ⋅ 𝑎 0,33 =2 𝑎 3,33

Breuken Vereenvoudigen Gelijknamig maken Delen door breuken 4𝑏+6𝑎𝑏 2𝑏 →2+3𝑎 Gelijknamig maken 3𝑏 𝑎 + 𝑎 𝑏 2 +1 → 3𝑏( 𝑏 2 +1) 𝑎( 𝑏 2 +1) + 𝑎 2 𝑎( 𝑏 2 +1) = 3𝑏 𝑏 2 +1 + 𝑎 2 𝑎( 𝑏 2 +1) Delen door breuken Vergelijkingen

Haakjes uitwerken 𝑎 𝑏+𝑐 ⟶𝑎𝑏+𝑎𝑐 𝑎+𝑏 𝑐+𝑑 ⟶𝑎 𝑐+𝑑 +𝑏 𝑐+𝑑 𝑎+𝑏 𝑐+𝑑 ⟶𝑎 𝑐+𝑑 +𝑏 𝑐+𝑑 (𝑎−𝑏) 2 ⟶ 𝑎 2 −2𝑎𝑏+ 𝑏 2 (𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)⟶ 𝑎 2 − 𝑏 2 𝑥+3 2−𝑥 4𝑥−2+ 𝑥 2 =0

Redeneren Geen specifieke getallenvoorbeelden Wel (delen van) de formule gebruiken. Formule terugvinden (na aanpassing) Formule nalopen (zoals bij berekening) Begin bij een variabele en bouw stap voor stap uit

Redeneren Kwalitatief Uitzoomen Inzoomen Bepaal het bereik van 𝑔 𝑥 =3 𝑥+1 −2 Uitzoomen Bepaal de asymptoten van 𝑓 𝑥 =3+ 7 2+5𝑥 Toon aan dat 𝑓 𝑥 daalt als 𝑥 toeneemt Inzoomen Bepaal het toppunt van 𝑘 𝑥 =7−3 2−𝑥 6

Redeneren: Structuur van de formule Hoogte van een boom: ℎ 𝑡 =𝑎 (1− 𝑏 𝑡 ) 𝑐 Toon aan dat op tijdstip nul de hoogte nul is Decibel afhankelijk van energie van een geluid. 𝐷=10⋅ log (𝐸) Toon aan dat tweemaal zoveel energie een vaste toename van het aantal decibel inhoudt.

Logaritmen Wat is het: 5 𝑥 =75→𝑥= 5 log 75 ≈2,68 log 𝑥 = 10 log⁡(𝑥) log 𝑎𝑏 = log 𝑎 +log⁡(𝑏) log 𝑎 𝑛 = 𝑛⋅log 𝑎 log 𝑎 𝑏 = log 𝑎 −log⁡(𝑏) 𝑔 log⁡(𝑎) = 𝑝 log⁡(𝑎) 𝑝 log⁡(𝑔)

Exponentiële groei Per tijdseenheid af/toename met hetzelfde percentage Per tijdseenheid vermenigvuldigen met 𝑔 𝑔>1 toename 0<𝑔<1 afname Formule: 𝑁=𝑏 𝑔 𝑡 Groeifactor – Percentages

Exponentiële groei 19% afname per jaar Hoeveel % per week? (1 decimaal) Halveringstijd? (in maanden)

𝑁=4500⋅ e 0,0463𝑡

𝐷=3,65⋅ e 0,533𝑡

𝐶=21−21⋅ 0,5 0,25𝑡

Differentiëren Werk van buiten naar binnen 𝑓 𝑥 =3𝑥+𝑥 1− 𝑥 2 Basisregel Combinatieregels 𝑥 𝑛 𝑛 𝑥 𝑛−1 𝑐⋅𝑓(𝑥) 𝑐⋅𝑓′(𝑥) e 𝑥 𝑓 𝑥 +𝑔(𝑥) 𝑓 ′ 𝑥 +𝑔′(𝑥) 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 ⋅ ln (𝑔) 𝑓 𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑔 𝑥 )⋅𝑔′(𝑥) ln 𝑥 1 𝑥 𝑓 𝑥 ⋅𝑔(𝑥) 𝑓 ′ 𝑥 ⋅𝑔(𝑥)+𝑓(𝑥)⋅𝑔′(𝑥) 𝑎 log 𝑥 1 𝑥 ln 𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑓 ′ 𝑥 ⋅𝑔 𝑥 −𝑓(𝑥)⋅𝑔′(𝑥) 𝑔 2 (𝑥) Werk van buiten naar binnen 𝑓 𝑥 =3𝑥+𝑥 1− 𝑥 2 somregel/productregel/kettingregel

Afgeleide Extreme waarden Stijgen / dalen afgeleide is nul minimum of maximum nog niet duidelijk Stijgen / dalen f’(x) > 0 : f(x) stijgt f’(x) < 0 : f(x) daalt Plot f’(x) of beredeneer Afhankelijk van vraagstelling

𝐷=3,65⋅ e 0,533𝑡

Afgeleide Toenemen afnemend stijgen / dalen Eerst stijgen of dalen aantonen Dan toenemend/afnemend

Optimaliseren Maak een formule met de gegevens Zoek maximum of minimum Kies handige variabelen Gebruik alle informatie Maak een formule met 1 variabele Zoek maximum of minimum afgeleide = 0 Schets de formule: max of min. niet duidelijk Beantwoord de vraag

Optimaliseren Langs een sloot wordt een rechthoekig stuk land afgezet met een hek van 100 m lang. Hoe groot is het stuk land maximaal? Noem de breedte B en de lengte L 2B+L=100 en Opp = L·B L = 100 – 2B geeft Opp. = (100 – 2B)B = 100B – 2B2 [Opp.]’ = 100 – 4B = 0 B =25 geeft max. opp. 50·25 = 1250 m2 Bergparabool, dus maximum