Workshop “Lineair programmeren met de TI-84 CE-T” Harmen Westerveld Symposium T3 10 oktober 2018 Workshop “Lineair programmeren met de TI-84 CE-T” Harmen Westerveld

Agenda Waarom deze workshop Voorbeeld wiskundig uitwerken Gebruik app Inequalz van TI 84 CE-T Gebruik app Transfrm van TI 84 CE-T Grafisch weergeven van het voorbeeld Evt. Extra voorbeeld zelfstandig uitwerken (afhankelijk van tijd) Vragen

Waarom deze workshop Computerlokaal 2 dagen van te voren reserveren Gevolg: iedereen reserveert maximaal En dan is de reservering eindelijk gelukt….. Krijg je dit:

Waarom deze workshop Computerlokaal 2 dagen van te voren reserveren Gevolg: iedereen reserveert maximaal En dan is de reservering eindelijk gelukt….. Krijg je dit: Het alternatief Geogebra: omslachtig en passieve leerlingen

Voorbeeld wiskundig uitwerken (Bron: Getal en Ruimte VWO A/C-2, 11e ed.) Introduceer de variabelen x voor het aantal liters M en y voor het aantal liters R en stel W is de totale winst die gemaximaliseerd dient te worden en probeer het wiskundig model bij bovenstaand probleem in formulevorm weer te geven. Zuivelfabrikant Uniemelk heeft twee nieuwe soorten desserts ontwikkeld. Een liter van de soort Melko (M) bestaat voor 20% uit melk en voor 15% uit room. Bij de soort Romich (R) zijn deze percentages 20 en 30. Per dag heeft de zuivelfabrikant 620 liter melk en 600 liter room beschikbaar voor de nieuwe desserts. De afdeling verkoop constateert een grote vraag naar de nieuwe desserts, maar geeft wel twee voorwaarden waaraan de hoeveelheden moeten voldoen. Maak nooit meer R dan M. Maak in totaal minstens 2000 liter per dag van de nieuwe desserts samen. Verder is de winst € 0,45 per liter M en € 0,60 per liter R. De fabrikant streeft naar winstmaximalisatie. Hoeveel liter M en hoeveel liter R moet Uniemelk produceren om zijn winst maximaal te laten zijn binnen de beperkingen.  

Voorbeeld wiskundig uitwerken (2) Doelstellingsfunctie: max 𝑊=0,45𝑥+0,60𝑦 Beperkende voorwaarden: 0,20𝑥+0,20𝑦≤620 (melkrestrictie) (Samen toelaatbare gebied) 0,15𝑥+0,30𝑦≤600 (roomrestrictie) 𝑦≤𝑥 (1e voorwaarde verkoop) 𝑥+𝑦≥2000 (2e voorwaarde verkoop) 𝑥≥0 ; 𝑦≥0 (hoeveelheden)

Gebruik app Inequalz van TI-84 CE-T (1) De app ‘Inequalz’ is te vinden onder Œ Daarna in het invoerscherm voor grafieken op Y1= gaan staan en Enter geven: Daarna de formule invoeren. Resulterend in de bijbehorende plot: Voer nu de verdere formules van ons maximaliseringsprobleem in. (N.B.: Om de ongelijkheid 𝑥≥0 in te voeren ga je naar het menu ‘X=’ boven in beeld)

Gebruik app Inequalz van TI-84 CE-T (2) Resultaat: (…niet erg bevredigend...) Het tekenen van het toelaatbare gebied (doorsnede van alle halfvlakken): Ga in het /-menu naar de tab ‘INEQUALITY’. Kies de optie ‘2: Inequal Intersection’ Eindresultaat:

Gebruik app Inequalz van TI-84 CE-T (3) Nu mist nog de doelstellingsfunctie (hier: winstmaximalisatie) Hoekpunten van het toelaatbare gebied V vastleggen: Met optie ‘1: Point of Interest’ kun je via de pijltjestoetsen het snijpunt bepalen van 𝑌 𝑖 ∩ 𝑌 𝑗 . Met  verander je de eerste functie 𝑌 𝑖 en metde tweede functie 𝑌 𝑗 . Sla deze snijpunten op door bij elk hoekpunt van V op ¿ te drukken. Deze hoekpunten opgeslagen in daarvoor gereserveerde lijsten INEQX en INEQY: Verwijder alle vergelijkingen en verlaat de app Inequalz.

Gebruik app Transfrm van TI-84 CE-T (1) Hoeveelheden 𝑥 en 𝑦, die een zelfde hoeveelheid winst 𝑊 opbrengen liggen op de rechte 0,45𝑥+0,60𝑦=𝑐. De zgn. iso(winst)lijn. Tekenen we bv. de rechte door het punt (2000 , 0), dan komt dat overeen met een winst van 𝑊=0,45∙2000+0,60∙0=900.  Alle punten 𝑥 , 𝑦 op de lijn 0,45𝑥+0,60𝑦=900 zijn combinaties van 𝑥- en 𝑦­­- waarden die een winst 𝑊 van 900 euro opleveren. 0,45𝑥+0,60𝑦=900 𝑦= 900−0,45𝑥 0,60 , ofwel: 𝑦=1500− 3 4 𝑥. Een ander punt (1500 , 500) levert 𝑊=0,45∙1500+0,60∙500=975. Alle combinaties van 𝑥- en 𝑦­­-waarden op de iso(winst)lijn leveren nu een hogere winst 𝑊 op: 0,45𝑥+0,60𝑦=975 𝑦= 975−0,45𝑥 0,60 , ofwel: 𝑦=1625− 3 4 𝑥.

Gebruik app Transfrm van TI-84 CE-T (2) De lijn loopt evenwijdig aan de eerdere, maar ligt ook boven de eerdere in het assenstelsel. Een gunstiger strategie voor de producent dus; het levert een hogere winst op. De app Transfrm geeft de mogelijkheid een parameter (hier c) in te voeren. Deze is te vinden onder Œ. Activeer de app Transfrm Om het toelaatbaar gebied V opnieuw te plotten definiëren we de XY-lijn (∟𝐼𝑁𝐸𝑄𝑋, ∟𝐼𝑁𝐸𝑄𝑌) en ga naar y,. De lijsten INEQX en INEQY zijn te vinden onder y9.

Gebruik app Transfrm van TI-84 CE-T (2) De lijn loopt evenwijdig aan de eerdere, maar ligt ook boven de eerdere in het assenstelsel. Een gunstiger strategie voor de producent dus; het levert een hogere winst op. De app Transfrm geeft de mogelijkheid een parameter (hier c) in te voeren. Deze is te vinden onder Œ. Activeer de app Transfrm Om het toelaatbaar gebied V opnieuw te plotten definiëren we de lijn XY-lijn (∟𝐼𝑁𝐸𝑄𝑋, ∟𝐼𝑁𝐸𝑄𝑌) en ga naar y,. De lijsten INEQX en INEQY zijn te vinden onder y9. Kies de juiste settings.

Gebruik app Transfrm van TI-84 CE-T (3) Resultaat: De vergelijking voor isowinstfunctie(s) met parameter c invoeren: 0,45𝑥+0,60𝑦=𝑐 𝑦= 𝑐−0,45𝑥 0,60 (of indien gewenst: 𝑦=1 2 3 𝑐− 3 4 𝑥 ) met als resultaat:

Grafisch weergeven van het voorbeeld (1) Isowinstfunctie W verschuiven m.b.v. de pijltjestoetsen . Kies evt. de SETUP om te versnellen/aan te passen.

Grafisch weergeven van het voorbeeld (2) Is gevonden waarde wel het maximum? Hoekpuntmethode

Tweede voorbeeld (zelfstandig uitwerken) In de stal van Jan Pol worden de pony’s gevoerd zoals het hoort. ’s Winters wordt er hoofdzakelijk biks en hooi aan de dieren gegeven. De belangrijkste bestanddelen van dit voer zijn: Koolhydraten (zetmeel en suiker), ruwvezel en vetten, die zorgen voor de energievoorziening, Eiwitten, die van groot belang zijn voor de vorming van spieren, hoeven, bloed enz. Jasper is een pony die bij Jan op stal staat. Volgens het boekje heeft Jasper per dag 2100 gram zetmeel en 360 gram eiwit nodig. In één kg biks zit 600 gram zetmeel en 80 gram eiwit. In één kg hooi zit 300 gram zetmeel en 60 gram eiwit. Jasper krijgt elke dag 𝑥 kg biks en 𝑦 kg hooi te eten. Een zak biks van 15 kg kost €15,- en een baal hooi van 20 kg kost €8,-. Welk voerplan moet boer Jan aanhouden om de kosten zo laag mogelijk te houden?   (Bron: Wageningse Methode)

Tweede voorbeeld (model) de kosten 𝐾 hangen af van het aantal kg hooi en het aantal kg biks. De prijs voor biks is dan €15,− /15 = €1,− per kg en de prijs voor hooi is dan €8,− /20 = €0,40 per kg. De doelstellingfunctie 𝐾 wordt dan: min 𝐾 =𝑥+0,40𝑦 Hiermee is het probleem terug te brengen tot het volgende model: Min 𝐾=𝑥+0.4𝑦 S.T. 600𝑥+300𝑦≥2100 80𝑥+ 60𝑦≥360 𝑥≥0 ;𝑦≥0

Vragen?