Differentiëren van producten (en quotiënten)
Algemene regel f(x) = p(x)·q(x)·r(x) f’(x) =g’(x)·h(x) + g(x) · h’(x) Om de beurt differentiëren (en optellen) f(x) = g(x)·h(x) f’(x) =g’(x)·h(x) + g(x) · h’(x) f(x) = p(x)·q(x)·r(x) f’ =p’ ·q·r +p·q’ ·r+p·q·r’
Voorbeeld 1 f(x) = x·cos(x) g(x) = x g’(x) = 1 h(x)= cos(x) h’(x) = - sin(x) f’(x)= 1·cos(x) + x·- sin(x) = cos(x) – x sin(x)
Voorbeeld 2 f(x) = ( 𝑥 2 −1)∙ 4𝑥−6 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 −1 𝑔′ 𝑥 =2𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 −1 𝑔′ 𝑥 =2𝑥 ℎ 𝑥 = 4𝑥−6 = (4𝑥−6) 1 2 h′ 𝑥 = 1 2 (4𝑥−6) − 1 2 ∙4= 2 4𝑥−6 𝑓 ′ 𝑥 =2𝑥∙ 4𝑥−6 + ( 𝑥 2 −1)∙ 2 4𝑥−6 = = 2𝑥 4𝑥−6 4𝑥−6 + 2( 𝑥 2 −1) 4𝑥−6 = 10 𝑥 2 −12𝑥−2 4𝑥−6
Tegenvoorbeelden 𝑓 𝑥 =2𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 = 4∙ 𝑥−3 = 4 (𝑥−3) 1 2 𝑓 𝑥 =2𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 =2 𝑥 1 ∙ 𝑥 1 2 =2∙ 𝑥 1 1 2 𝑓 ′ 𝑥 = 3∙𝑥 1 2 = 3 𝑥 𝑓 𝑥 = 4∙ 𝑥−3 = 4 (𝑥−3) 1 2 𝑓 ′ 𝑥 =2∙ (𝑥−3) − 1 2 = 2 𝑥−3 Product regel is hier niet handig
quotiëntregel 𝑓 𝑥 = 𝑡(𝑥) 𝑛(𝑥) 𝑓′ 𝑥 = 𝑡 ′ 𝑥 ∙𝑛 𝑥 −𝑡 𝑥 ∙ 𝑛 ′ 𝑥 𝑛 2 (𝑥)
Voorbeeld quotïentregel 𝑓 𝑥 = 4𝑥 𝑥 2 +1 𝑡 ′ 𝑥 =4 𝑛 ′ 𝑥 =2𝑥 𝑓′ 𝑥 = 4 (𝑥 2 +1)−2𝑥∙4𝑥 (𝑥 2 +1) 2 𝑓 ′ 𝑥 = 4−4 𝑥 2 (𝑥 2 +1) 2
Tegenvoorbeeld quotiëntregel 𝑓 𝑥 = 6 𝑥 2 −𝑥+8 2𝑥 𝑓 𝑥 =3𝑥− 1 2 + 4 𝑥 Enz.