Prof.dr. A. Achterberg, IMAPP www.astro.ru.nl/~achterb/ Newtoniaanse Kosmologie College 2: Hubble’s wet, schaalfactor & roodverschuiving & Friedmann’s vergelijking

Wat is de vorige keer behandeld? Waarnemingen die de basis vormen van het Oerknalmodel Vluchtsnelheid verre sterrenstelsels Kosmische Achtergrondstraling Voorwereldlijke Nucleosynthese Hubble’s wet en de leeftijd van het heelal Roodverschuiving

Belang van H0 : leeftijd en horizon afstand

Belang van H0 : leeftijd en horizon afstand Horizon: de lichtsnelheid is eindig: c~300,000 km/s!  Je kunt niet verder kijken dan

Evoluerend (uitdijend) heelal Albert Einstein: Algemene Relativiteitstheorie (1916) Alexander Friedmann: Evoluerende Heelalmodellen (1922/24)

Kan Newtoniaanse Kosmologie eigenlijk wel? Verschillen Newton/Einstein (Algemene Relativiteit) Newton Einstein (ART) Ruimte is: Vast, vlak, absoluut en onveranderlijk Dynamisch, kan worden vervormd: ruimte-kromming! Tijd is: Universeel: voor iedere waarnemer gelijk Hangt af van status waarnemer: zijn/haar snelheid; sterkte zwaartekracht Lichtsnelheid (c) is: Oneindig Universeel, gelijk aan c Universele expansie is: Beweging door vaste ruimte: expansie heeft altijd een middelpunt Uitzetten van de ruimte zelf: er is géén middelpunt!

Hoe ver kom je “op zijn Newtons”: Hubble’s wet: Ja, met subtiel andere interpretatie; Friedmann’s vergelijkingen: idem; Kromming heelal: Strikt genomen: nee! Horizon begrip: Vereist slechts acceptatie eindige lichtsnelheid+ eindige leeftijd heelal Beschrijving materie in Ja, met behulp van een klein beetje een uitdijend heelal : quantummechanica; Donkere energie: Ja, door introductie vacuümdichtheid;

Deel 2a: Hubble’s wet als het gevolg van een schaaltransformatie De vergelijking die ons vertelt hoe het heelal uitdijt!

Waarnemingen: Hubble constante

The ‘rubber ruler’ analogie voor Hubble’s wet:

Theorie: Rubberen meetlat analogie suggereert: Iedere (voldoend grote) afstand in een uitdijend heelal is te schrijven als: Pas op: R(t) is niet “ de straal van het heelal”: R(t) is dimensieloos!

Consequenties simpele aanname: Afstandsverhoudingen veranderen niet; Expansie is in alle richtingen even snel (isotropie); Expansie is overal even snel (uniformiteit);  Hubble’s wet!

Sterrenstelsel B Sterrenstelsel A Schaalfactorverhouding! Waarnemer waarneemtijdstip t2 > t1 waarneemtijdstip t1 Sterrenstelsel A Waarnemer Schaalfactorverhouding!

De ballon- analogie (in twee dimensies!)

Hubble’s wet als een gevolg van uniforme expansie:

Hubble’s wet als een gevolg van uniforme expansie:

Hubble’s wet als een gevolg van uniforme expansie:

Hubble’s wet als een gevolg van uniforme expansie: Conclusie:

Conclusie: Aanname D(t)=aR(t) leidt automatisch tot Hubble’s wet V(t) = H(t)D(t) !

Conclusie: Aanname D(t)=aR(t) leidt automatisch tot Hubble’s wet V(t) = H(t)D(t) ! Consequenties: De Hubble constante is i.h.a. helemaal niet constant! De keuze van de schaalfactor R(t) is nogal arbitrair: een schaaltransformatie R(t)  λR(t) , a  a/λ verandert niets!

Deel 2b: Friedmann’s vergelijking De vergelijking die ons vertelt waarom en hoe snel het heelal uitdijt!

Friedmann’s wet via Newtons wetten (!) Deze afleiding gebruikt Newtonse Zwaartekracht; Friedmann gebruikt Algemene Relativiteitstheorie; Vergelijking ziet er hetzelfde uit, maar.... ... de interpretatie is anders!

Test-sterrenstelsel met massa m, op de rand van een uniform gevulde en expanderende bol met massa M en straal r(t)=aR(t).

Een test-sterrenstelsel met massa m, op de rand van een uniform gevulde, expanderende bol met massa M en straal r(t)=aR(t). Belangrijke grootheid: massa-dichtheid in de bol

Twee mogelijke methodes van aanpak: Wet van energiebehoud 2. Bewegingsvergelijking

Newtoniaanse afleiding m.b.v. energiebehoud: Test-sterrenstelsel met massa m :

Energie-behoud: Hubble’s wet: Massa in bol:

Energie-behoud: Hubble’s wet: Massa in bol:

Energiebehoud + Hubble’s wet geeft dus: Alexander Friedmann

Type oplossingen (globale indeling)

Standaardheelal (Friedmann, 1922/24) ijl (open) heelal vlak heelal (dit vereist de speciale kritische dichtheid) (afstand tussen sterrenstelsels) Schaalfactor dicht (gesloten) heelal “Leeftijd” t-t0 (in miljarden jaren)

Betekenis van de parameter k: Relativiteitstheorie: het teken van k bepaalt de geometrie van het heelal k > 0 (E < 0) k < 0 (E > 0) k = 0 (E = 0)

Speciale klasse modellen: vlakke modellen met k=0. Friedmann’s vergelijking wordt:

Speciale klasse modellen: vlakke modellen met k=0. Friedmann’s vergelijking wordt: Voor de oplossing heb je een dichtheidswet nodig, b.v.:

Expliciete oplossing voor ρ ~ R-3:

Kritische Dichtheid: de speciale dichtheid van het vlakke model

De Omega-parameter(s) 1. Meet Ω en je kent de toekomst van het heelal! 2. Een vlak heelal heeft altijd Ω=1

Kosmologische classificatie van Friedmann modellen: Lage dichtheid Ω < 1 Ω = 1 Kritische dichtheid Schaalfactor R(t) Ω >1 Hoge dichtheid tijd: H0 t

Nogmaals de roodverschuiving tijd Afstand bij ontvangst van het foton

Uit de definitie van roodverschuiving: Berekening voor kleine afstand!

Uit de Doppler formule + Hubble wet:

Definitie van de Hubble ‘constante’: Twee uitdrukkingen voor roodverschuiving: van tijdsafgeleide: Doppler formule + Hubble:

Eerste subtiele verschil Newton/Einstein Newton/Doppler: snelheid bron is snelheid door vaste ruimte: λ=(1+z)λem geldt meteen vanaf het emissie-tijdstip! Einstein/Doppler: ruimte zelf expandeert, bron “staat stil”, roodverschuiving bouwt geleidelijk op!

stilstaand sterrenstelsel Golflengte wordt geleidelijk langer “bewegend” sterrenstelsel t.g.v. expansie heelal

Samenvatting: In een uitdijend heelal met schaalfactor R(t):