Wiskunde en verkeer Johan Deprez Nationale Wiskunde Dagen – Noordwijkerhout, 05/02/10 slides: www.ua.ac.be/johan.deprez > Documenten

Kennismaking lerarenopleiding wiskunde redactielid tijdschrift Uitwiskeling (www.uitwiskeling.be) lid stuurgroep T3 (www.t3vlaanderen.be) economisch hoger onderwijs van 2 cycli, wiskunde in de Bachelor Handelswetenschappen

Deze sessie gebaseerd op materiaal uitgewerkt met Hilde Eggermont voor tijdschrift Uitwiskeling vorm twee werkmomenten + oplossingen oversteken / de fietser niet gezien verkeerslichten eventueel, kort: verkeersdrempels slides op www.ua.ac.be/johan.deprez > Documenten werkbladen: www.uitwiskeling.be > Werkbladen volledige tekst: Uitwiskeling 25/3 (zomer 2009) tekst over het verkeerslichtenprobleem verschijnt in Nieuwe Wiskrant

Oversteken Arne en kleine zusje Emma steken de straat over… … tussen geparkeerde auto’s. Zien ze rijdende auto’s tijdig aankomen? Zie werkblad (opgaven + tekening)

De fietser niet gezien fietser verborgen achter stijl fietspad fietser verborgen achter stijl Hoe snel reed de fietser? Welke verdere gegevens heb je nodig? Verzin passende gegevens en bereken daarmee de snelheid van de fietser!

Oversteken: oplossing 7.75 m 8.51 m 2.14 m

Oversteken: commentaar Is het Nederlandse verkeersreglement anders op dit punt? Een meer open versie kan ook: niet met deelvraagjes werken leerlingen informatie laten opzoeken: regels uit het verkeersreglement, afmetingen van auto’s, … Je kan ook de 3de dimensie toevoegen.

De fietser niet gezien: oplossing fietspad snelheid auto = 10 km/h Fietser rijdt 20 km/h (werk met afstand i.p.v. snelheid; gebruik gelijkvormige driehoeken) B S C stijl 55 cm bestuurder 110 cm

Het verkeerslichtenprobleem Op een lange rechte weg nader je een verkeerslicht. Het springt op oranje. Wat doe je? Zet de eerste stappen in het ontwerp van een chip die de snelheid van de auto regelt 25 seconden tot groen beginsnelheid: 20 m/s 200 m tot het verkeerslicht auto is alleen op de weg tips gebruik aanvankelijk alleen bewegingen met constante snelheid of constante versnelling grafische voorstellingen kunnen helpen wat is de ‘beste’ manier om de snelheid te regelen?

We rijden het licht eerst voorbij en keren daarna terug… Eerste model Rem met een gepaste constante negatieve versnelling a zo dat je het verkeerslicht op het juiste moment passeert. x(t): positie i.f.v. tijd ? a zo dat x(25)=200 geeft a = –0.96 m/s2 geeft eindsnelheid v(25) = –4 m/s ??? We rijden het licht eerst voorbij en keren daarna terug… x(t)

Tweede model: eerst afremmen, dan met constante snelheid verder versnelling a tot tijdstip t1 a=helling van de schuine rechte x(25)=oppervlakte onder de grafiek snelheid v1 v-t-grafiek is beter dan x-t-grafiek!

Tweede model 2 onbekenden: a en t1 1 voorwaarde: x(25)=200 versnelling a tot tijdstip t1 1 vrijheidsgraad over snelheid v1 schrijf a en v1 i.f.v. t1 bijkomende voorwaarde: maximaliseer v1

versnelling a tot tijdstip t1 Tweede model ? a en t1 zo dat x(25)=200 versnelling a tot tijdstip t1 schrijf a en v1 i.f.v. t1 snelheid v1 v1 i.f.v. t1 a i.f.v. t1 1) 0  t1  25 2) v1<0 uitsluiten

Tweede model bijkomende voorwaarde: maximaliseer v1 versnelling a tot tijdstip t1 a i.f.v. t1 v1 i.f.v. t1 snelheid v1 bijkomende voorwaarde: maximaliseer v1 ??? v1 lijkt maximaal (v1=8) als t1=0 ‘ogenblikkelijk afremmen’ (a=–) tot v1=8 a begrensd: a=–8 (noodstop), a=–4 (beschaafd) Besluit: v1 is maximaal als a=–4 (t1=3.21, v1=7.16)

Nog beter (hogere min. snelheid)? helling nergens lager dan –4 in eerste deel ligt volle lijn niet onder stippellijn a = –4 (helling) nergens lager dan v1 in tweede deel ligt volle lijn niet onder stippellijn oppervlakte onder beide grafieken moet 200 zijn Besluit: grafieken vallen samen

Beter? (min. tijdverlies ipv. zuinigste) andere criterium voor ‘het beste’! bij groen rijd je het verkeerslicht voorbij aan 20 m/s: minder tijdverlies Andere interpretatie van ‘beter’ geeft andere oplossingen 5 s stilstaan op 100 m van het verkeerslicht nu wordt geaccelereerd van 0 tot 20 m/s: minder zuinig

De verkeersdrempel

Aan 10 m/s over de drempel verticale versnelling massacentrum van de wagen hoogte drempel absolute waarde versnelling tijd achterliggende wiskunde: differentiaalvergelijking gedwongen harmonische trilling (zonder demping, al dan niet door de leerlingen op te stellen/op te lossen) maximale absolute waarde versnelling

Verschillende snelheden horizontale snelheid = 10 m/s Verschillende snelheden toename van de maximale versnelling is maximaal

Bedankt voor uw aandacht!