Algemene relativiteitstheorie … en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 7 en 8: Zwarte gaten en Veldvergelijkingen Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist

Veldvergelijkingen niet lege ruimte Opheffen singulariteit Programma 1 Zwarte gaten Massa impuls tensor Veldvergelijkingen niet lege ruimte Opheffen singulariteit

Geen echte singulariteit, coördinaat singulariteit Vallen in een zwart gat r t of τ We hadden: centrum (r=0) horizon r=Rs= 2𝐺𝑀 𝑐 2 Baan gezien in coördinaat tijd t Conclusie: In eindige eigentijd door horizon vallen Geen echte singulariteit, maar een coördinaat singulariteit Wiskundig hetzelfde als klassiek Lemaître Coördinaten (gaan we nog doen) B5 rode lijn

Zwarte gaten; historie 1 1783 John Michell Ontsnappingssnelheid = lichtsnelheid Lichtdeeltjes kunnen dus niet ontsnappen van binnen de kritische omtrek, zon 3 km. “Dark stars” Een artistieke impressie van een zwart gat met een begeleiderster (geel) die zijn Rochelob gevuld heeft. Gas uit de begeleider valt naar het zwarte gat en vormt een accretieschijf (blauw). Een deel wordt haaks met veel energie uitgespuwd in de vorm van fonteinen ("jets") aan beide polen. 1799 Simon Laplace: Le Systeme du Monde. In de derde editie weggelaten wegens golfkarakter van licht (interferentie, Young) 1920s en 1930s: Niemand wilde de Schwarzschilds extreme voorspellingen voor zeer compacte sterren accepteren. Einstein en Eddington ontkenden openlijk dat zulke eigenschappen van zwaartekracht konden bestaan. De berekeningen waren correct, de interpretaties niet. 1930 S. Chandrasekhar berekende met de nieuwe quantummechanica dat voor sterren met M > 1,4 Msun de electronendegeneratiedruk onvoldoende was om de gravitationele instorting van een ster tegen te houden. Later bleken neutronen ook zo’n tegendruk te leveren, maar die was voor M > 2 Msun onvoldoende sterk. Teksten met toestemming overgenomen uit: Presentatie Alfred van Herk; Ghc club

Zwarte gaten; historie 2 Witte dwerg → neutronenster → maar wat daarna ? Dit ging door tot in de veertiger en vijftiger jaren, zwarte gaten waren theoretisch mogelijk maar zouden fysisch niet kunnen ontstaan o.a. omdat zuivere bolsymmetrie in de natuur niet bestaat. Een krimpende ster zou uiteindelijk exploderen, niet imploderen. 1940s 1950s Wheeler, Zel’dovich De mogelijkheden voor realistische simulaties namen toe, de conclusie werd bereikt dat sterren > 2 Msun ook in de realiteit konden instorten tot een zwart gat. Tenslotte werden aanwijzingen gevonden voor zwarte gaten in dubbelsterren (1972) en later superzware gaten in het centrum van sterrenstelsels. Recent is gravitatiestraling van samensmeltende zwarte gaten gedetecteerd Het bestaan van zwarte gaten is nu onomstreden, dat geldt nog niet voor wat er in het inwendige van een zwart gat gebeurt in de buurt van de singulariteit Teksten met toestemming overgenomen uit: Presentatie Alfred van Herk; Ghc club

Veldvergelijkingen niet lege ruimte Opheffen singulariteit Programma 2 Zwarte gaten Massa impuls tensor Veldvergelijkingen niet lege ruimte Opheffen singulariteit

Veldvergelijking; first (wrong) try Lege ruimte Niet lege ruimte Lorentz contractie Newton ?? Einstein B1 B2 Geen tensor vergelijking; ρ geen scalar veld. Conclusie: Materie Tensor van rang 2 00 component van Tensor vergelijking? Nog een “minor problem” Nog een “major problem”! (behoud van energie/massa)

Massa-Energie-Impuls Tensor: Stof Terug naar 1905 (de SRT), waar we massa voor het eerst relativistisch zagen: 4-snelheid: 4-impuls: B3 (precies als in covariante geval)

Massa-Energie behoud Divergentie = 0 Stel: alle deeltjes gelijk (voor het gemak) Instroom als negatief netto uitstroom massa per tijdseenheid per oppervlakte eenheid door groene zijvlakken Behoud van massa!! Netto uitstroom kubus: B7 Divergentie = 0

Druk! Er zij druk; Pressure Wat is dit? Ballon In dit voorbeeld was de druk alleen in de x-richting. Als de druk in alle richtingen gelijk is zal de tensor er als volgt uitzien: Dit is de tensor voor een ideaal gas/vloeistof (“ideal fluid”) voor een meebewegend stelsel (“comoving frame”).

Ideaal gas/vloeistof Lorentz trafo weer toepassen: We hebben gezien zoiets als: (We hebben)-(we willen) (We hebben)-(we willen)

Samenvatting Massa-Energy tensor 1. De massa, energie en impuls aanwezig in de ruimte kan worden beschreven met een rang 2 tensor: 2. Deze tensor is symmetrisch: B7 3. Divergentie deze tensor is 0: (behoud van energie/massa) EM-veld: 4. Stof wordt gekaraktiseerd als: 5. Vloeistof/gas wordt gekaraktiseerd als: Fysische interpretatie Massa dichtheid Energie dichtheid Impuls dichtheid Druk Spanning (Stress; niet behandeld, komt voor binnen vast stof en echte vloeistof)

Veldvergelijkingen niet lege ruimte Opheffen singulariteit Programma 3 Zwarte gaten Massa impuls tensor Veldvergelijkingen niet lege ruimte Opheffen singulariteit

Veldvergelijkingen niet lege ruimte ??? Nee niet goed dus! B4 We ‘v got ‘m! Voor lege ruimte ook goed? QED

Veldvergelijkingen verschillende vormen Newton limiet (o.a voor het bepalen van ) Contractie beide kanten: De Einstein tensor Dus ook: Deze vorm is vaak geschikt voor toepassingen Bijvoorbeeld kosmologie.

Veldvergelijkingen niet lege ruimte Opheffen singulariteit Programma 4 Zwarte gaten Massa impuls tensor Veldvergelijkingen niet lege ruimte Opheffen singulariteit

Vallende waarnemers; regen Schwarzschild: Nieuwe coördinaten: B6 Geodeet: Begint zonder snelheid en vallen

De t-coördinaat In bijlage 5 al gezien: De (nieuwe) plaatscoördinaat!! ♥ … wisten we al (eigenlijk) … Wat is de integratie constante? De (nieuwe) plaatscoördinaat!! In bijlage 5 al gezien: transformatie!! Een spannend!!.. Een beetje een teleurstelling Maar er is hoop! Er bestaat zoiets als kwadraad afsplitsen!

Naar Lemaître Dus: Lemaître coördinaten Dus: niets kan Terug keren!! Georges Lemaître (1894 - 1966) Dit smeekt om de volgende substitutie: Licht(-kegels): Dus: Maar wat is r? Synchroon zoals verwacht Geniet hier even van! Geodeet Lemaître coördinaten Dus: niets kan Terug keren!!

Veldvergelijkingen niet lege ruimte Opheffen singulariteit Programma Klaar Zwarte gaten Massa impuls tensor Veldvergelijkingen niet lege ruimte Opheffen singulariteit

Bijlage 1: Newton-achtige metriek Christoffel symbolen: Geodeten: Riemann krommingstensor (al gezien: geodetische afwijking)

Bijlage 2: Lorentz transformatie Formules: Matrix vorm: Ook nodig: Straks handig: is contravariante vector Algemene transformatie van een tensor:

Bijlage 3: Transformatie van diagonaal tensors Uitrekenen d.m.v Matrix vermenigvuldiging: (structuur indices ) Controle:

Bijlage 4: Bianchi identiteit Wat kunnen we zeggen over de afgeleide van Riemann tensor ? We roepen “professor flat” weer te hulp: In één punt P kan men er altijd voor zorgen dat de eerst afgeleiden (gab,c en dus Γabc ook) 0 zijn, doormiddel van een geschikt gekozen coördinaten transformatie. Dan: Luigi Bianchi (1856 - 1928) Italiaanse wiskundige Had Einstein dit maar (op tijd) geweten! 3 1 2

Bijlage 5: Vallen in zwart gat van ver bekeken We hadden: En hiermee verband tussen r en eigentijd τ bepaald. Kunnen we zoiets ook doen voor r en t de tijd van de waarnemer op afstand? Voor het integreren zie: Les 3 Wiskunde deel, slide 10 of http://www.voorbijeinstein.nl/html/wiskunde_integreren_736.htm Hiermee is grafiek in slide 4 gemaakt

Bijlage 6: Synchrone coördinaten We hopen dat onze nieuwe coördinaten de volgende eigenschap hebben: is een geodeet. Meer in het algemeen beschouwen we een coördinatensysteem Stel eens dat geldt: Er is één coördinaat (we mogen wel aannemen dat dat x0 is) zodanig dat de coördinaatassen daarvan geodeten zijn; Deze geodeten staan steeds loodrecht op de andere coördinaatassen. Geodeet: Simpel voorbeeld: poolcoördinaten

Bijlage 7: Behoud van massa/energie Stilstaande Stof; Verschillende dichtheden Bewegende Stof; Verschillende dichtheden