REGELAARS P-regelaar PD-regelaar PI-regelaar I-regelaar PID-regelaar

P-Regelaar P-regelaar = versterker met versterkingsfactor K + K G(s) PROCES + K G(s) SENSOR H(s) P-regelaar = versterker met versterkingsfactor K Idee: voeg een extra nulpunt en pool toe in de regelaar Vraag: kan het totale systeem worden verbeterd?

Regelaar met extra nulpunt en pool PROCES + GC(s) G(s) SENSOR H(s) Transferfunctie regelaar: 2 soorten regelaars: 1) regelaar met fazevoorijling (z < p) 2) regelaar met fazenaijling (z > p)

Regelaar met fazevoorijling C + + v1 R1 v2 R2 - -

Bode plot C R1 R2 A 0 dB z p w j 70° jM a w 5 10 15 20 wM

Werkingsprincipe we gaan de fazevoorijling van de regelaar gebruiken om de fazenaijling in het proces te compenseren, om zodoende de fazemarge op te krikken.

Ontwerpstrategie bepaal de pool p en het nulpunt z zodanig, dat wM samenvalt met de 0dB-frekwentie wc van de lusversterking L(s). Immers, de fazemarge wordt gemeten bij wc.

Voorbeeld 1: w j w Matlab: >> G=tf(10,[1 0 0]) 20dB wC 10 w 1 3,16 -20dB j w Matlab: >> G=tf(10,[1 0 0]) >> margin(G)

Ontwerp regelaar: K, z, p ? + Gegeven a = 5,8 (komt overeen met jM = 45°) Gewenst wC = 14,5 rad/s Gevraagd bereken K, z en p p = a z Ontwerpformules:

In Matlab >> a=5.8; z=?; Gc=tf([1 z],[1 a*z]) >> bode(Gc) >> K=?; L=K*Gc*G;margin(L) >> T=feedback(L,1); step(T) >> zero(T) >> pole(T)

Berekening K, z en p z = wc / = 14,5 / 2,4 = 6 rad/s p = a z = 5,8 x 6 = 34,8 rad/s

Bode plot met regelaar A z p wC w j w wM

Root locus

Stapresponsie: doorschot 34%

Probleem van het doorschot Oorzaak: nulpunt van T(s) = nulpunt van regelaar jw Procent Doorschot 300 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 X 0,2 0,5 -a 1 -zwn O s 2 5 X a = 6 geen nulpunt z zwn = 10,2 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Oplossingen plaats de regelaar in het terugkoppelpad gebruik een prefilter + K G H + K G H

Regelaar in terugkoppelpad + K Nulpunt van T(s) = pool van regelaar

In Matlab >> a=5.8; z=6; Gc=tf([1 z],[1 a*z]) >> K=50.5; + K G Gc >> a=5.8; z=6; Gc=tf([1 z],[1 a*z]) >> K=50.5; >> T1=feedback(K*G/a,Gc*a); step(T1)

Stapresponsie Plaats, indien mogelijk, de regelaar met fazevoorijling in het terugkoppelpad !

Prefilter + K De pool van de prefilter neutraliseert het nulpunt van T(s)

Prefilter in Matlab >> Gp=tf(z,[1 z]) >> K=50.5; L=K*Gc*G; + Gp Gc K G >> Gp=tf(z,[1 z]) >> K=50.5; L=K*Gc*G; >> T=feedback(L,1); >> T2=Gp*T; step(T2)

Voorbeeld 2 G = tf(1,[1 12 20 0]) Bepaal (door simulatie) de minimale steltijd: 1) met proportionele regelaar 2) met regelaar met fazevoorijling Besluit : door het gebruik van een regelaar met fazevoorijling kan het systeem sneller worden gemaakt.

proportionele regelaar >> K=5; G=tf(K,[1 12 20 0]);margin(G) >> T=feedback(G,1);step(T) K jpm wc TS doorschot 5 81° 0,2 rad/s 13,6 s 0 % 10 73° 0,5 rad/s 5,3 s 30 50° 1,3 rad/s 4,9 s 17 % 40 43° 1,6 rad/s 4,4 s 25 % 50 37° 1,8 rad/s 5,2 s 32 % 100 20° 2,8 rad/s 7,7 s 57 % 200 4° 4,1 rad/s 30 s 85 %

regelaar met fazevoorijling >> G=tf(1,[1 12 20 0]);a=5.8; z=1.86; Gc=tf([1 z],[1 a*z]); >> K=576;L=K*Gc*G;margin(L) >> T=feedback(L,1);step(T) K jpm wc TS doorschot 100 82° 0,9 rad/s 4,0 s 0 % 200 73° 1,7 rad/s 1,6 s 300 64° 2,6 rad/s 1,3 s 4 % 400 56° 3,3 rad/s 11 % 576 45° 4,5 rad/s 24 % 1000 26° 6,5 rad/s 2,3 s 47 %

PD regelaar som van versterker en differentiator t s + + t s A 20logK w z in theorie : p = ∞ (a = ∞) j in praktijk : p = eindig (door eindige GBW van de opamp) 90° w

Praktische realisatie Z2 = R Z1 = R/(1+RCs) R2 R1

Gebruik PD regelaar A p3 w p1 p2 j w -90° -180° -270°

Nulpunt op eerste pool A z = p1 p3 w p1 p2 j w -90° -180° -270°

Nulpunt op tweede pool A z = p2 p3 w p1 p2 j w -90° -180° -270°

Nulpunt op derde pool A z = p3 p3 w p1 p2 j w -90° -180° -270°

Besluit De optimale ligging van het nulpunt van de PD-regelaar ligt in de buurt van de tweede pool van de transferfunktie G(s) .

Regelaar met fazenaijling C R2 A p z w Werkingsprincipe : 1) verhogen van de lusversterking voor de lage frekwenties 2) verlagen van wC zodat de fazemarge toeneemt (ten koste van de snelheid) j w

Verhogen lusversterking A w j w -90° -180°

Voorbeeld 1 >> G=tf(14000,[1 120 2000]);margin(G) >> T=feedback(G,1);step(T) >> z=1;a=10;Gc=(1/a)*tf([1 z],[1 z/a]) >> K=a;L=K*Gc*G;margin(L) >> T=feedback(L,1);step(T)

Verlagen crossover-frekwentie j w -90° -180°

Voorbeeld 2 >> G=tf(40,[1 2 0]);margin(G) De fazemarge bedraagt 18°: dit is niet genoeg

Ontwerpprocedure we berekenen de frekwentie wc’ waar de fazemarge van het systeem 50° zou zijn (we voorzien dat de regelaar extra 5° fazenaijling introduceert). Dit volgt uit de formule Dit wordt de nieuwe 0dB-frekwentie. we evalueren |G(jwc’)| = 9,13 we hebben dus een verzwakking van minstens 1/ 9,13 nodig. We kiezen a = 10. we plaatsen het nulpunt ongeveer een dekade lager dan wc’ : bijgevolg z = 0,15 rad/s de ligging van de pool is dan p = 0,015 rad/s

>> z=0.15;a=10;Gc=(1/a)*tf([1 z],[1 z/a]);L=Gc*G;margin(L)

PI regelaar 1/ts j K som van versterker en integrator A + som van versterker en integrator + 1/ts A in theorie : p = 0 (a = ∞) in praktijk : p = eindig (door de eindige DC versterking van de opamp) w z j w -90°

Praktische realisatie Z2 = R+1/Cs R1 Z1 = R

Gebruik PI regelaar A z = p1 w j w -90° -180°

Vuistregel De optimale ligging van het nulpunt van de PI-regelaar ligt in de buurt van de eerste pool van de transferfunktie G(s) .

Systeem met vertraging z = p1 w j w -45° -90° -135° fpm -180°

Dominante vertraging j geen PI-regelaar, maar een zuivere I-regelaar A w j w -45° -90° -135° fpm -180°

PID regelaar + tDs 1/tIs KP som van een versterker, een differentiator en een integrator + tDs 1/tIs kaskade van PI- en PD-regelaar KP

Bode plot PID regelaar A KP w z1 z2 j 90° w -90°

Gebruik PID regelaar T < t3 : PID met tI = t1 en tD = t2

Gebruik PID regelaar t3 < T < t2 : PID met tI = t1 en tD = t2

Gebruik PID regelaar t2 < T < t1 : PI met tI = t1 geen PID !! (tD = 0)

Gebruik PID regelaar t1 < T : zuivere I-regelaar geen PID !!

Besluit Met een PID-regelaar beschikken we over 3 “knoppen” om de lusversterking te vergroten (P-aktie), het systeem sneller te maken (D-aktie) en de steady state error kleiner te maken (I-aktie)