Analytische Meetkunde Wiskundedialoog Nijmegen, 12 juni 2018 Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl)
Programma Inleiding over thematiek (15’’) Aan de slag (20’’) Afronding (10’’)
Samenhangende Wiskunde Synthetische Meetkunde Vectoren Gonio Analyse Algebra Complexe Getallen Symmetrie
Thema’s Combinatie van analytische & synthetische methoden Differentiaalrekening: Differentiëren Integreren
Inleiding op de problemen Inhoud van een piramide Eudoxos, Euclides en Archimedes Hilbert en Dehn Ongelijkheid van Euler Minimale omcirkels Maximale incirkels
V(piramide) = V(G, h) 𝑉= 1 3 Gh
Bewijs dat V(piramide) = V(G, h) Uitputtingsmethode van Eudoxos (Euclides boek 12)
Bewijs dat V(piramide) = V(G, h) 2 gelijkvormige piramidetjes En 2 prisma’s met gelijke Gh
Uitputtingsstap Gegeven 2 piramides I en II met dezelfde G en h. Deel beide op in 2 prisma’s en 2 piramidetjes Itereer vorige stap: veel prisma’s, 2 piepkleine restpiramidetjes Corresponderende prisma’s zijn gelijk (= gelijke inhoud). Restpiramidetjes willekeurig klein. Dus niet V(I) V(II). Q.E.D.
Eudoxos, Euclides, Archimedes, Newton, Leibniz, Hilbert en Dehn Eudoxos ( 350 BC!), Euclides & Archimedes: uitputtingsmethode voor inhoud, oppervlak,… Newton, Leibniz ( 1700): integraalrekening Weierstrass et al: --definities van limieten Hilbert (1900): Bestaat decompositiebewijs van 𝑉= 1 3 𝐺ℎ zonder integreren (zoals in 2D)? Dehn (1900): Nee!
Inleiding op de problemen Inhoud van een piramide Eudoxos, Euclides en Archimedes Hilbert en Dehn Ongelijkheid van Euler Minimale omcirkels Maximale incirkels
Aan de slag! Probleem 1: Inhoud van kegels en piramides door middel van integreren, met dank aan Newton en Leibniz. Probleem 2: Maximale r Probleem 3: Minimale R Probleem 4: 𝑅≥2𝑟
Nabespreking & Samenvatting Inhoud kegel & piramide Max incirkels, min omcirkels Veel ruimer, overkoepelend begrip ‘kegel’ Integraalbewijs van 𝑉= 1 3 𝐺ℎ werkt voor al die kegels Wiskundigen zijn op zoek naar zulke ‘goede generalisaties’ Wiskunde: precies, maar niet dogmatisch Aardige context om analyse (differentiëren) te doen. Begint met wat synthetische meetkunde, zoals Δ=𝑟𝑠. Functies in twee variabelen: Partiële afgeleiden, Hessiaan Of y vastnemen, functie van x, maximum bepalen als functie van y, maximum daarvan Extremum = maximum: Hessiaan, tweede afgeleide of schets grafiek
Bonusopgaven Zijden van driehoek in 3 gelijke delen verdeeld. Bepaal de verhouding opp(totaal) : opp(wit) Kwadratuur van de parabool (Archimedes) Bepaal opp(ingesloten door parabool en BC) : opp(ΔABC)
Analytische Meetkunde Wiskundedialoog Nijmegen, 12 juni 2018 Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl)