Speciale relativiteitstheorie … en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 5 en 6: Tensor Formulering Elektromagnetisme Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist

Programma 1 Contravariant versus covariante vectoren Tensorvelden Transformatie Elektromagnetische tensor Maxwell vergelijkingen in tensorvorm Vooruitblik algemene relativiteitstheorie

Lorentz kracht Blijkt te zijn: Beide kanten met vermenigvuldigen (gaan we nog doen) Beide kanten met vermenigvuldigen een rij toevoegen: We krijgen dan: 3.1 Wat zullen we hier invullen? Scheef symmetrisch maken? Maar dan zou: Een minteken teveel en een factor c2 te weinig We zouden liever In de eerste rij hebben gehad.

Contravariant versus covariant (1) Een kromme (bijvoorbeeld: wandeling) Snelheidsvector op een bepaald punt P Hoogte functie: Hoogtegradientvector Hoe hard stijg (of daal) ik als ik in P loop? 2 4 6 8 9 Check met “stijgingsfunctie” s: P Deze -4 is onafhankelijk van het coördinaten systeem. B3

Contravariant versus covariant (2) We hadden: In matrix vorm: We gaan over op andere coördinaten: Dan ook: “heel klein”: Dus zo transformeert een vector Andere benamingen: - Duale vector - 1-vorm 2 4 6 8 9 is een z.g. covariante vector Dus in de nieuwe coordinaten: Wat is er fout? Dit is er fout! Die transformeert anders: Klopt niet?? P B3

Contravariant versus covariant (3) Iets algemener: u en v zijn functies van x en y (“nieuwe coördinaten”): Dit is ook omkeerbaar (in een zeker gebied): is een kromme Is een contravariante (“gewone”) vector. “Raak vector” aan kromme B5 Is een covariante vector. Ook wel 1-vorm genoemd. “Gradient” van een scalarveld

Programma 2 Contravariant versus covariante vectoren Tensorvelden Transformatie Elektromagnetische tensor Maxwell vergelijkingen in tensorvorm Vooruitblik algemene relativiteitstheorie

Nieuwe notatie vectoren, tensoren (1) 4-impuls. Notatie was: wordt nu: Kan 2 dingen betekenen: a. Een (contravariante) vector; b. De μ-de component van deze vector. Conventie: Griekse indexen: 4-dim tijdruimte Waarom? Omdat dit transformeert als: Waarbij er een coördinaten trafo is: B4 Hoe te onthouden? Kijk naar vector: Deze transformeert zo: Een covariante vector: Een -tensor transformeert als volgt: zijn elkaars inverse, immers: Als een natuurwet is uitgedrukt als een tensorvergelijking dan is die juist in alle coördinaat systemen als ie dat in één is!! Dus onafhankelijk van het gekozen coördinaat systeem. B1 B2

Nieuwe notatie vectoren, tensoren (2) B4 B1 B6

Moeten nog wel even de transformatie checken Elektronische tensor We hadden voor de Lorentz kracht: Kun je nu schrijven als: Lorentzkracht in tensorvorm (oude notatie: ) Gaan we nu μ naar beneden halen: Conclusie: Het elekromagnetische veld is een scheefsymmetrisch tensorveld van rang 2 Moeten nog wel even de transformatie checken

Programma 3 Contravariant versus covariante vectoren Tensorvelden Transformatie Elektromagnetische tensor Maxwell vergelijkingen in tensorvorm Vooruitblik algemene relativiteitstheorie

De transformatie van de Elektronische tensor (1) 3.2 We hadden al gevonden: Als tensor zou hij moeten transformeren als: Transformatie van de Elektromagnetische velden: Kortweg: We gaan een handige manier vinden om al deze matrices Te vermenigvuldigen. Met deelmatrices. Lorentz Transformatie (inverse)

De transformatie van de Elektronische tensor (2) We hadden al gevonden: Als tensor transformeert hij als: Transformatie van de Elektromagnetische velden: Kortweg:

De transformatie van de Elektronische tensor (3) We hadden al gevonden: Als tensor transformeert hij als: Transformatie van de Elektromagnetische velden: Kortweg: Gewoon voluit de matrices vermenigvuldigen. Ook op deze manier zien we dat het klopt.

Programma 4 Contravariant versus covariante vectoren Tensorvelden Transformatie Elektromagnetische tensor Maxwell vergelijkingen in tensorvorm Vooruitblik algemene relativiteitstheorie

Maxwell vergelijkingen in tensor vorm We hadden al afgeleid, de Maxwell vergelijkingen, voluit geschreven: 3.3 (1) (6) (7) (8) Waarbij dus de stroom vector completeert tot 4-vector. Dus: Dit waren de vergelijkingen 1, 6, 7 en 8. De z.g. inhomogene. De homogene (2,3,4 en 5) bekijken we op de volgende slide.

De homogene vergelijkingen (x ontbreekt) (y ontbreekt) (z ontbreekt) (t ontbreekt) Blijft geldig als 2 indexen gelijk zijn, immers klopt.

Programma 5 Contravariant versus covariante vectoren Tensorvelden Transformatie Elektromagnetische tensor Maxwell vergelijkingen in tensorvorm Vooruitblik algemene relativiteitstheorie

Noodzaak nieuwe gravitatie theorie Probleem met “onmiddelijke actie op afstand”: Gebeurtenis 1: Zon ontploft Gebeurtenis 2: Aarde vliegt uit baan 2 is duidelijk het gevolg van 1. In Newtons theorie gebeurt dit “instantaan” op het zelfde moment. Maar in een stelsel dat van links naar rechts raast, gebeurt 2 eerder dan 1 volgens de SRT! Bovendien: in het elekromagnetisme was dit al OK. Het EM veld plant zich voort met de lichtsnelheid. Dus tijd voor een nieuwe theorie. Newton moet hieruit wel kunnen worden afgeleid (als eerste benadering).

Basisgedachte: het equivalentie principe Aarde Aarde A. C. B. D. Equivalent Equivalent “De gelukkigste gedachte van mijn leven” De “zwevers” De “staanders”

Toch te voelen: getijdekrachten Zwaartekracht bestaat niet!! Kan immers “weggetransformeerd” worden. Vergelijkbaar met het “lokaal” wegtransformeren van de kromming van het aardoppervlak, bijvoorbeeld bij de rijksdriehoekmeting. Maar als er een “echt” zwaartekrachtsveld is zijn er toch (minieme) effecten: getijdekrachten.

Coördinaten en (lokale) afstand: lijnelement x-as y-as Zouden er andere coördinaten u en v mogelijk zijn zodat ??? Antwoord nee! Maar dat is nog niet zo eenvoudig te bewijzen! Nee, niet “plat” Nee, ook niet “plat” Ja, wel “plat”!!

Het programma kwadrant Vlakke meetkunde 2-dimensionaal Speciale relativiteitstheorie 4-dimensionaal 4-Plaats vector 4-Raak vector Plaats vector Raak vector Driehoek Hoek Tensoren (eerste kennismaking met -) Rechte lijn 2-dimensionaal (en n-dimensionaal) 4-dimensionaal Meetkunde gekromde vlakken Algemene relativiteitstheorie Plaats vector Raak vector Driehoek Hoek potentiaal Geodeet

Het programma 4-dimensionaal Meetkunde gekromde vlakken 2-dimensionaal (en n-dimensionaal) Algemene relativiteitstheorie Geodeten (Christoffel symbolen) g00 ≈ potentiaal Zwarte gaten Klokvertraging: roodverschuiving Covariant differentiëren Krommingstensor Veldvergelijkingen lege ruimte Schwarzschild oplossing Afbuiging licht door zon Perhelium Mercurius Nogmaals: Zwarte gaten Bianchi identiteiten De Veldvergelijkingen Kosmologie

Programma Klaar Contravariant versus covariante vectoren Tensorvelden Transformatie Elektromagnetische tensor Maxwell vergelijkingen in tensorvorm Vooruitblik algemene relativiteitstheorie

Bijlage 1: Overzicht tensorrekening Operatie Type wijziging R Voorbeeld(-en) O Optellen V Vermenigvuldigen C Contractie D Differentiëren* V komt vrijwel altijd gecombineerd met C voor In aanwezigheid van metrische tensor Verhogen en verlagen index Opmerkingen: *D levert alleen een tensor in vlakke ruimtes *D werkt alleen op een tensorveld.

Bijlage 2: Definitie Tensor (-veld) Onderstaande definitie is een werk-definitie. Tamelijk complex. Wiskundig is er een fraaiere (coördinaatvrije) definitie mogelijk, maar die is vrij abstract. We hebben n-dimensionale ruimte. Stel p en q zijn getallen en r=p+q. Stel P is een punt in die ruimte. Een tensor van het type (en dus van rang r) in punt P is een object dat in elk coördinaat-systeem nr componenten (getallen) heeft. Bij een andere keuze van het coördinaat systeem transformeren deze getallen volgens de volgende regel: Een tensorveld van het type (en dus van rang r) op een verzameling V is een object dat in elk punt P in de verzameling V een tensor geeft. De verzameling V kan de hele ruimte zijn, maar ook bijvoorbeeld alleen een kromme. Voorbeeld van het laatste: het raakvectorveld langs een kromme.

Bijlage 3: Coördinaten stelsels We gaan over op andere coördinaten: We gaan over op nog andere coördinaten: In matrix vorm: Orthonormale Coördinaten x, y In matrix vorm:

Bijlage 4: Transformatie metriek

Bijlage 5: Contravariant versus covariant (3) Rijvorm Iets algemener: u en v zijn functies van x en y (“nieuwe coördinaten”): Dit is ook omkeerbaar (in een zeker gebied): is een kromme Is een contravariante (“gewone”) vector. “Raak vector” aan kromme (dit is onveranderd) “Gradient” van een scalarveld Is een covariante vector. Ook wel 1-vorm genoemd.

Bijlage 6: Overzicht voorbeelden; formules Trafo Vector 1-Vorm Metriek Nieuwe coördinaten: Standaard voorbeeld: Gradient van scalar veld h: is scalar Standaard voorbeeld: Standaard voorbeeld: Raakvector aan kromme: Heen en weer switchen tussen vector en 1-vorm: Korter:

Bijlage 6: Overzicht voorbeelden (x, y) Trafo Vector 1-Vorm Metriek N.v.t.

Bijlage 6: Overzicht voorbeelden (u=2x , v=y) Trafo Vector 1-Vorm Metriek

Bijlage 6: Overzicht voorbeelden (u=x+y , v=y) Trafo Vector 1-Vorm Metriek