De Frequentieresponsie

Slides:



Advertisements
Verwante presentaties
FAQ over wiskunde Heb ik wel voldoende uren wiskunde gehad in het middelbaar? Welke wiskundevaardigheden moet ik beheersen? Wat is de inhoud van de cursussen.
Advertisements

havo A Samenvatting Hoofdstuk 7
Overzicht tweede college SVR
havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 8
Hogere Wiskunde Complexe getallen college week 6
vwo A/C Samenvatting Hoofdstuk 2
vwo D Samenvatting Hoofdstuk 11
vwo D Samenvatting Hoofdstuk 9
vwo C Samenvatting Hoofdstuk 13
vwo B Samenvatting Hoofdstuk 9
Motivatie lineaire systemen komt zeer veel voor: speciale technieken
Meet- en Regeltechniek Les 2: De regelkring
Meet- en Regeltechniek Les 3: Het wortellijnendiagram
Inleiding tot een nieuw soort wiskunde…
Laplace transformatie
vwo B Samenvatting Hoofdstuk 1
vwo A Samenvatting Hoofdstuk10
vwo B Samenvatting Hoofdstuk 7
vwo B Samenvatting Hoofdstuk 5
vwo A Samenvatting Hoofdstuk 14
Machten en logaritmen Een stukje geschiedenis
De grafiek van een lineair verband is ALTIJD een rechte lijn.
Asymptoot is een lijn waar de grafiek op den duur mee samenvalt.
1 het type x² = getal 2 ontbinden in factoren 3 de abc-formule
Assenstelsels en het plotten van Functies in LOGO
Deze week: Syllabus deel 2: Hoofdstuk 1 bestuderen
Laplace Transformatie, Polen/Nulpuntenanalyse:
Harmonische trillingen
Hoofdstuk 10 Diffractieverschijnselen
Trillingen (oscillaties)
Welk beeld bij.
De FFT spectrumanalyzer
ribwis1 Toegepaste wiskunde – Exponentiele functies Lesweek 5
WIS21.
havo A Samenvatting Hoofdstuk 3
vwo D Samenvatting Hoofdstuk 12
Vwo C Samenvatting Hoofdstuk 15. Formules en de GR Met de GR kun je bijzonderheden van formules te weten komen. Eerst plot je de grafiek. Gebruik eventueel.
havo B Machten en logaritmen
havo B Samenvatting Hoofdstuk 1
B vwo vwo B - 11e editie tweede fase Jan Dijkhuis, Roeland Hiele
havo B Samenvatting Hoofdstuk 3
havo B Samenvatting Hoofdstuk 7
Samenvatting.
Wim Doekes - hoofdauteur
Hoofdstuk 4: Een 2e orde systeem
Vwo6 WiskA Toepassing van differentiaalrekenen Extra opgaven.
Hoofdstuk 3 Lineaire formules en vergelijkingen
Toegepast rekenen HEO Lijnen.
Wiskunde A of wiskunde B?.
Keuzevoorlichting havo wiskunde AB.
De discrete fouriertransformatie en Fast Fourier Transform
Systeemanalyse in 8 domeinen Dr. ir. Mark Van Paemel.
Het discrete frequentiedomein
Tijdcontinue systemen Tijddiscrete systemen
Bemonstering en reconstructie
Transformaties van grafieken
3 vmbo-KGT Samenvatting Hoofdstuk 6
De grafiek van een lineair verband is ALTIJD een rechte lijn.
Het z-domein De z-transformatie.
Onderzoek van stabiliteit via het frequentiedomein
Responsies via het s-domein
havo B Samenvatting Hoofdstuk 1
REGELAARS P-regelaar PD-regelaar PI-regelaar I-regelaar PID-regelaar.
Het complexe frequentiedomein
Regeltechniek Modellen Specifikaties Voordelen van terugkoppeling
Berekenen van de responsie
Digitale regelsystemen
De complexe Fourierreeks
havo B Samenvatting Hoofdstuk 3
Exponentiële en logaritmische functies
Transcript van de presentatie:

De Frequentieresponsie Hoe te berekenen? Hoe voor te stellen? 1

Opmeten v.d. frequentieresponsie x(t) = A sin w1t y(t) = B sin (w1t + j) h(t) Als een sinus wordt aangelegd, dan is de uitgang ook een sinus met een gewijzigde amplitude en fase. Er geldt: B = |H(w1)| en j = j(w1) A 2

ℱ -1 ℱ Y(w) = 2p d(w-w1) H(w1) X(w) = 2p d(w-w1) x(t) = e jw1t y(t) = |H(w1)| e j [w1t + j(w1)] h(t) ℱ -1 ℱ Y(w) = 2p d(w-w1) |H(w1)| e j j(w1) X(w) = 2p d(w-w1) Y(w) = 2p d(w-w1) H(w1) H(w) |H(w1)| w w w1 w1 w1 w j (w1) 3

Probleem: berekening van H(w) Eerst berekenen van de impulsresponsie h(t) → oplossen differentiaalvergelijking Dan fouriertransformatie van h(t) → uitrekenen van de fourier-integraal Gelukkig bestaat er een binnenweg! 4

Snelle berekening van H(w) i(t) + ℱ C v(t) I(w) = C jw V(w) _ Complexe impedantie Z V(w) = I(w) Z I(w) + (vgl. met de wet van Ohm !) V(w) 1 Z met Z = jw C _ 5

H(w) = R1 + vIN(t) R2 vUIT(t) _ R + VUIT(w) VIN(w) Z VUIT(w) VIN(w) _ 6

Het amplitude- en faseverloop in functie van de frequentie vUIT(t) = Vuit sin (wt + j) vIN(t) = Vin sin wt LINEAIR SYSTEEM w = 2p f Sinus in → sinus uit, maar … De amplitude Vuit is functie van de frequentie De fase j is eveneens functie van de frequentie

Voorbeeld: RC-netwerk

4 Hz

10 Hz

20 Hz

Wat merken we op? De amplitude van de uitgangsspanning wordt kleiner als de frequentie toeneemt De fase ijlt meer en meer na als de frequentie toeneemt Hoe kunnen we amplitude en fase berekenen?

Complexe impedantie: C → ZC=1/sC + + R R vIN 1 Vin vUIT C ZC sC Vuit _ _ Alle netwerkstellingen bijven van toepassing Hier: potentiometrische deling We noemen H(s) de transferfunctie

t n w q s z kw1 kq1 tijdcontinu tijddiscreet tijddomein bemonstering t n tijddomein F.R. reconstruktie FFT discreet frequentie-domein kw1 kq1 T→ ∞ N→∞ F.T. continu frequentie-domein w q s = jw x et z = ejq L.T. Z.T. complex frequentie-domein s esTs = z z 14

We stellen nu s = jw De transferfunctie wordt dan een complex getal fase modulus

Opfrissing complexe getallen Im a + jb = M e jj b M a2 + b2 = M2 j b Re j = bg tg a a Im 1 1 1 Re = = e -jj -j a + jb M M e jj 1/M

Toegepast op de transferfunctie b = RCw j(w) = - bg tg (RCw)

Amplitudekarakteristiek Vuit Vin 1 0,707 0,447 0,194 0,1 w 1 5 10 RC RC RC

Fasekarakteristiek j(w) = - bg tg (RCw) j(1/RC) = - bg tg (1) = -45° j 10 RC RC RC w 0° j(w) = - bg tg (RCw) -45° -78,7° -84,3° j(1/RC) = - bg tg (1) = -45°

Voorbeeld: RC = 15,9ms

De frekwentie-as is LINEAIR

Besluit: we vertrekken vanuit s-domein, en dan s = jw Met de complexe impedantie 1/Cs bekomen we meteen: + vIN(t) C vUIT(t) _ Als we s vervangen door jw dan bekomen we: H( jw) = | H( jw)| e jj(w) | H( jw)| = A(w) is het amplitudespectrum j(w) is het fasespectrum

Twee methodes om de frequentieresponsie voor te stellen Meetkundige voorstelling Asymptotische voorstelling (de Bode plots) 23

1. Meetkundige voorstelling s = jw z1 = s1 + jw1 = Ae jj jw z1 jw1 A j s s1

jw - z1 jw jw jw z1 jw1 s s s1 jw jw Lz1 -s1 j z1 s jw1 jw -z1 j(w-w1) Az1 j z1 s - jw1 -z1 s1 -s1

Algemeen

Voorstelling in het s-vlak jw jw Lp1 Lz2 j p1 Lz1 p1 Lp2 j z1 j z2 s z1 z2 j p2 p2

w = 0 jw p1 j p1 Lp1 j z1 = 180° j z2 = 0 Lz2 s Lz1 z1 z2 Lp2 j p2 p2

w → doorlopen imaginaire as jw j p1 = 0 Lp1 p1 Lz2 Lz1 j z1 Lp2 j z2 s z2 z1 j p2 p2

jw jw Lp1 Lz2 j p1 Lz1 p1 Lp2 j z1 j z2 s z1 z2 j p2 p2

jw Lp1 Lz2 j p1 Lz1 p1 Lp2 j z1 j z2 s z1 z2 j p2 p2

Eerste orde A(w) = L0/Li j(w) jw jw jw jw j3 = 56,3° jw3 j2 = 45° p = -1/RC p = -1/RC p = -1/RC p = -1/RC w1 = 0,5/RC A(w) = L0/Li j(w) w2 = 1/RC 1 5 1 w3 = 1,5/RC w1 w3 0,894 RC RC w 0° 0,707 0,555 -26,5° -45° -56,3° 0,196 w -78,7° w1 1 w3 5 RC RC

Tweede orde s = jw resonantiefrequentie

Modulus bij resonantie

Amplitudeverloop grafisch jw jw jw jw L1 L1 p1 jwd p1 jwd p1 jwd p1 jwd L1 L1 L2 L2 s s s s -zwn -zwn -zwn -zwn L2 L2 p2 -jwd p2 -jwd p2 -jwd p2 -jwd maximum als L1L2 minimaal

Herinner jw s De wortels van de vergelijking zijn p1 en wn -zwn p2 cos q = z q s -zwn p2

Resonantiefrequentie grafisch We construeren een cirkel met straal wd die door de 2 polen gaat jw jwn p1 jwd jwr Pythagoras wd2 = (zwn)2 + wr2 s -zwn -jwd wr2 = wn2(1-z2) – z2wn2 p2 wr2 = wn2(1-2z2)

z < 0,707 jw L1L2 minimaal jwn p1 jwd L1 jwr L2 s -zwn -jwd p2

z = 0,707 cos q = 0,707 → q = 45° Als z = 0,707 is er geen resonantie jw Als z = 0,707 is er geen resonantie p1 jwd q s -zwn -jwd p2

z > 0,707 Als z > 0,707 is er geen resonantie p1 s -zwn -jwd q s -zwn -jwd (negatief getal onder het wortelteken) p2

Amplitudeverloop

Faseverloop

Mechanisch voorbeeld w j = wt m a veer k y f (t) = mg sin j(t) massa demper b v j = wt y(t) y y(t) = mg sin wt / k

Natuurlijke frequentie en demping of

Gebruik applet M = 1 kg R (= b) = 2 N/ m/s k = 100 N/m f(t) = a sin wt met a = 50 N Varieer w http://mathinsite.bmth.ac.uk/applet/msd/msd.html

Aldoorlaat systeem jw jw Lp1 Lz1 p1 jwd z1 p1 z1 Lp1 Lz1 Lp2 Lz2 s s nulpunten in RHV symmetrisch t.o.v. polen in LHV jw jw Lp1 Lz1 p1 jwd z1 p1 z1 Lp1 Lz1 Lp2 Lz2 s s -zwn zwn -zwn zwn Lp2 Lz2 p2 -jwd p2 z2 -jwd z2

Minimum fase ↔ niet-minimum fase

Minimum fase ↔ niet-minimum fase jw jw minimum fase niet-minimum fase Lz Lz Lp Lp jz jz jp jp s s z = -4 p = -1 p = -1 z = 4 A(w) = Lz / Lp → zelfde amplitudeverloop j(w) = jz - jp → verschillend faseverloop

Faseverloop niet-minimum fase minimum fase

2. Asymptotische voorstelling z = 0,25 wn = 1 rad/s wn = 10 rad/s Amplitudeverloop op LINEAIRE schaal Bij w = 10 rad/s is er NIETS te zien!

Amplitudeverloop in dB Zowel grote als kleine amplitudes zijn zichtbaar Bij w = 10 rad/s is er IETS te zien!

Logaritmische frequentie-as → Bode plot Zowel grote als kleine frequenties zijn zichtbaar Een factor 10 noemt men een decade hier: 3 decades

Asymptotische Bode plot Vb. eerste orde: We vereenvoudigen als volgt: i.f.v. log w is dit de vergelijking van een rechte

we bekomen 2 rechten A(w) 20log(1/RC) -20 dB/dec 1 10 RC RC 1 w 0 dB

Maximale afwijking als w = 1/RC A(w) 1 RC w 0 dB -3 dB we noemen w = 1/RC de breekfrequentie of de -3dB frequentie

Faseverloop j(w) = - bg tg (RCw) 0,1 1 10 RC RC RC w -5,7° -45° -84,3° Merk op: een zekere symmetrie rond w = 1/RC (2 keer spiegelen)

Bode plot van Nulpunt in LHV (linker halfvlak) Pool in LHV Nulpunt in RHV Pool in RHV (onstabiel) Nulpunt in de oorsprong (differentiator) Pool in de oorsprong (integrator) Samenvallende en complex toegevoegde nulpunten en polen

Nulpunt in LHV A(w) j(w) 20 dB/dec 90° 45° w 20 log K w 1/tz 1/tz

Invloed van K K > 1 K = 1 K < 1 A(w) 20 dB/dec 20 log K w 1/tz

Werkelijke Bode plot A(w) 3 dB w 0 dB 1 RC

Pool in LHV A(w) j(w) -20 dB/dec 1/tp w 20 log K w -45° 1/tp -90°

Nulpunt + pool in LHV Voordeel van de logaritme: een produkt wordt een som log (a.b) = log a + log b

+ = A(w) 20 dB/dec j(w) 90° 45° w 20 log K w 1/tz 1/tz A(w) j(w) 1/tp -45° -90° -20 dB/dec = A(w) j(w) 20 dB/dec 90° w 20 log K 0° w 1/tz 1/tp 1/tz 1/tp -90°

Nulpunt + pool in LHV tz > tp A(w) j(w) 20 dB/dec 90° w 20 log K 0° -90° tz > tp

Pool + nulpunt in LHV tz < tp A(w) j(w) 90° -20 dB/dec 20 log K -90° tz < tp

Nulpunt in RHV A(w) j(w) 20 dB/dec 1/tz w 20 log K -45° w -90° 1/tz

Pool in RHV A(w) j(w) 90° -20 dB/dec 20 log K 45° w w 1/tp 1/tp Merk op: ONSTABIEL !

Nulpunt in de oorsprong (differentiator) A(w) j(w) 20 dB/dec 90° w 0 dB w 0° 1/K De dimensie van K is [sec]

Nulpunt in de oorsprong + pool A(w) j(w) 20 dB/dec 90° 45° w w 0 dB 0° 1/K 1/tp 1/tp K > tp

Nulpunt in de oorsprong + pool A(w) j(w) 90° 45° 1/tp 1/K w w 0 dB 0° 20 dB/dec 1/tp K < tp

Pool in de oorsprong (integrator) A(w) j(w) -20 dB/dec w 0° w 0 dB K -90° De dimensie van K is [rad/sec]

Pool in de oorsprong + pool A(w) j(w) -20 dB/dec 1/tp w 0° 1/tp w 0 dB K -40 dB/dec -90° -135° -180° K < 1/ tp

Pool in de oorsprong + pool A(w) j(w) 1/tp w -20 dB/dec 0° -40 dB/dec -90° -135° w 0 dB -180° 1/tp K K > 1/ tp

Complexe polen of A(w) = 40 log wn – 40 log w s = jw i.f.v. log w is dit de vergelijking van een rechte met een helling van -40 dB/dec

Asymptotische Bode plot A(w) j(w) wn w 20 log K -40 dB/dec w -90° wn -180° onafhankelijk van z

Werkelijke Bode plot

Faseverloop

Amplitudeverloop nulpunten

Faseverloop nulpunten

Praktische regels voor het tekenen van de asymptotische Bode plot Stel de transferfunctie H(s) op Bereken de polen en nulpunten Afstand tot de oorsprong = breekfrequentie Bij elk nulpunt vermeerdert de helling met 20 dB/decade Bij elke pool vermindert de helling met 20 dB/decade

Hoe beginnen? Geen pool of nulpunt in de oorsprong: horizontale rechte bij 20 log K Nulpunt in de oorsprong: rechte met helling van 20 dB/dec die de w-as snijdt bij w0 = 1/K Pool in de oorsprong: rechte met helling van -20 dB/dec die de w-as snijdt bij w0 = K

Voorbeeld 1 → 4 breekfrequenties: 3, 50, 200 en 600 jw p1 j1,66 3 s z2 = -200 z1 = -50 -2,5 p2 → 4 breekfrequenties: 3, 50, 200 en 600

Eerste asymptoot Stel s = 0. Men bekomt dan 20 log K = 20 log 24 = 27,63 dB

Eerste asymptoot 20 log |H(jw)| w [dB] 40 30 27,63 dB 20 10 [rad/s] [rad/s] -10 -20 -30 -40 1 3 10 100 1000

Tweede asymptoot 20 log |H(jw)| 14,72 rad/s w -40 dB/dec [dB] 40 30 10 14,72 rad/s w [rad/s] -10 -40 dB/dec -20 -21,24 dB -30 -40 1 3 10 50 100 1000

Snijpunt met 0 dB-lijn

Derde asymptoot 20 log |H(jw)| 27,63 dB 14,72 rad/s w -21,24 dB 40 30 27,63 dB 20 10 14,72 rad/s w -20 dB/dec [rad/s] -10 -20 -21,24 dB -33,28 dB -30 -40 1 3 10 50 100 200 600 1000

Snijpunt met 0 dB-lijn

Snijpunt w0 = 4,33 rad/s 20 log |H(jw)| 27,63 dB 14,72 rad/s w 40 30 27,63 dB 20 10 14,72 rad/s w [rad/s] -10 -20 -21,24 dB -30 -33,28 dB -40 1 3 10 50 100 200 600 1000

Vierde asymptoot 20 log |H(jw)| 27,63 dB 14,72 rad/s w -21,24 dB 40 30 27,63 dB 20 10 14,72 rad/s w [rad/s] -10 -20 -21,24 dB -33,28 dB -30 -40 1 3 10 50 100 200 600 1000

Vierde asymptoot 20 log 0,022 = -33,28 dB

Vijfde asymptoot 20 log |H(jw)| 27,63 dB 14,72 rad/s w -21,24 dB 40 30 27,63 dB 20 10 14,72 rad/s w [rad/s] -10 -20 -21,24 dB -30 -33,28 dB -40 1 3 10 50 100 200 600 1000

Werkelijke Bode plot

Faseverloop

Voorbeeld 2 → integrator + 2 breekfrequenties: 8 en 200 jw z1 j6,2 8 s -5 p1 p2 = -200 z2 → integrator + 2 breekfrequenties: 8 en 200

Eerste asymptoot Stel s = 0. Men bekomt dan Rechte met helling van -20 dB/dec die de w-as snijdt bij w = 1,6 rad/s

Eerste asymptoot 20 log |H(jw)| w [dB] 20 10 [rad/s] -10 -13,98 dB -20 [rad/s] -10 -13,98 dB -20 1 2 8 100 1000

Tweede asymptoot w0 = 40 rad/s 20 log |H(jw)| w [dB] 20 13,98 dB 10 [rad/s] -10 -13,98 dB -20 1 2 8 40 200 1000 w0 = 40 rad/s

Derde asymptoot 20 log 5 = 13,98 dB 20 log |H(jw)| w [dB] 20 13,98 dB 10 1,6 rad/s w [rad/s] -10 -13,98 dB -20 1 2 8 40 200 1000 20 log 5 = 13,98 dB

Besluit Als de nulpunten en polen van H(s) gekend zijn, is het zeer eenvoudig om de asymptotische Bode plot te tekenen Voor elke pool -20 dB/dec Voor elk nulpunt +20 dB/dec