Speciale relativiteitstheorie … en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 3 en 4: Lorentz Transformatie en Mechanica Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist

Programma 1 Lorentz transformatie Elektromagnetische velden Rotatie in ruimte en tijd Minkowski ruimte Bewegingsleer Mechanica

Oplossing klokken paradox Situatie die we (dachten te) begrijpen: Kijken op het perron (K) naar klok in trein Hoe kijkt men vanuit K’ (de trein) naar onze klok? Conclusie: Als één klok beweegt ten opzichte van een rij onderling gelijklopende klokken, dan loopt hij trager. Lijn van zelfde tijd in K’ A B l m Tijdsduur: In K: t In K’: t’ P A C We hadden: t’ tijdsverschil A en C in K’ B5 tweeling Klokje op wagen loopt langzamer Maar … vergeleken met klokken op verschillende plekken op het perron!

Transformatie van tijdsintervallen Samenvatting van vorige slide: Het tijdsinterval ∆t’ in K’ van een gegeven interval ∆t in K: Ons klokje staat op een vaste plaats in K. Voor K’ beweegt het en loopt dus trager. Bewegend klokje loopt trager.

Lorentz transformatie Einstein 1905: Lorentz transformatie x-as t-as A We hebben een gebeurtenis P In een coördinaten stelsel K heeft dit coordinaten x en t P We hebben een stelsel K’ met coördinaten x’ en t’ K’ beweegt met een snelheid v tov K (zeg naar rechts) zodat het punt met x’=0 in K de vergelijking x=vt heeft. B Wat zijn nu de coördinaten (x’,t’) in K’ van P? In volle glorie: In K is afstand tussen A en P: . K’ heeft kortere meetlat dus: In K is het tijdsinterval tussen B en P: . In K’ dan:

Optellen snelheden Stelsel K’ (de trein) Stelsel K (het perron) Op wagon (K’) een snelheid van w’: T.o.v. perron (K) een snelheid w (klassiek: w=v+w’) Alternatief: In feite hebben we hier De inverse transformatie Gebruikt: 2.1 Einstein 1905: In volgende slide gaan we hier nog even op in.

Inverse van de Lorentz transformatie We verwachten dat we de inverse transformatie krijgen door v te vervangen door –v: Directe check: Leerzaam om dit ook via matrix rekening te doen: 2.2 Deze check maakt een einde aan alle (vermoedens van) inconsistenties. (Bedenk dat ook γ afhangt van v, maar γ(-v)= γ(v) )

Alternatieve afleiding Lorentz transformatie Alternatief, tikkie abstracter, in wezen eenvoudiger en … meer inzicht biedend! d.w.z. van de vorm: Eis 1: Lineair (Galilei en Lorentz voldoen beide hieraan) 2.3 In wezen een goede technische vertaling van “éénparige beweging t.o.v. elkaar” Immers: Eis 2: Lichtsnelheid c is gelijk … Eis 3: Omkeerbaar! Via v → -v ???

Programma 2 Lorentz transformatie Elektromagnetische velden Rotatie in ruimte en tijd Minkowski ruimte Bewegingsleer Mechanica

Transformatie van Maxwell vergelijkingen 2.4 Niet met (1) beginnen

Transformatie van Elektromagnetische velden We moeten nog checken of 1, 2, 5 en 6 ook kloppen. Dit is rechttoe rechtaan Staat in bijlage 1 Einstein 1905: Transformatie van de Elektromagnetische velden: B1 Voor een interpretatie in simpel geval zie Zie ook: B6 B7

De cirkel is rond! Maxwell wetten zijn invariant Deel 1 Slide 15 en 16 Lichtsnelheid is constant Deel 1 Slide 15 en 16 Slide 10 en 11 Lorentz coördinaten transformatie Slide 5 of 8

Programma 3 Lorentz transformatie Elektromagnetische velden Rotatie in ruimte en tijd Minkowski ruimte Bewegingsleer Mechanica

Rotatie in platte vlak Rechtlijnige coördinaten We hebben (x,y) coördinaten voor het platte vlak We creëeren nieuwe coördinaten (x’,y’) door de assen over een hoek te draaien (met de klok mee) x-as y-as x’-as y’-as Transformatie is lineair. Matrix : Q P

Vergelijken met Lorentztransformatie Rotatie platte vlak 2.5 Lorentz transformatie Conclusie: De Lorentz transformatie is “een soort van” rotatie in ruimte tijd.

Invariantie onder rotatie in platte vlak In een orthonormaal coördinaten stelsel kan hun afstand worden berekend: x-as y-as P Q Stel we hebben twee punten P en Q in het platte vlak. Als het goed is moet er in een ander orthonormaal stelsel hetzelfde uitkomen:

Invariantie onder Lorentz transformatie? x-as t-as P Q Stel we hebben twee gebeurtenissen P en Q in de “ruimte-tijd”. Neem eerst eens het geval dat Q vanuit P door een lichtstraal wordt bereikt: Lichtsnelheid altijd c als I ergens 0 is dan overal. Misschien is I wel een invariant: (ook als I niet 0 is) Dus onafhankelijk van de coördinaat keuze hebben we 3 gevallen: I > 0 I = 0 I < 0 2.6 Voor interpretatie zie volgende paragraaf. Einstein 1916(!): B3

Programma 4 Lorentz transformatie Elektromagnetische velden Rotatie in ruimte en tijd Minkowski ruimte Bewegingsleer Mechanica

Bilineaire en kwadratische vormen Voorbeeld: inproduct Upper indexen Einstein sommatie conventie Dus zelfs 16 functies van 4 variabelen

Diagonaliseren Dus “mooiere” coördinaten: Klopt, want … Dit diagonaliseren kan altijd!

Minkowski ruimte Minkowski (1864-1909) gaf een mooie interpretatie aan het voorafgaande: De verzameling van alle gebeurtenissen vormt een 4-dimensionale reëele ruimte met daarop een zogenaamde bilineaire vorm van karakteristiek (1, -1,-1,-1) (ongeveer hetzelfde als (-1,1,1,1). Vanuit één gebeurtenis P (bijvoorbeeld het hier en nu) zijn er voor een gebeurtenis Q 5 mogelijkheden afhankelijk van de invariant I en teken van Δt: Hermann Minkowski 1864 – 1909 Bereikbare toekomst 1. Beseinbare toekomst 2. Ruimte achtig; P en Q tegelijkertijd In een zeker stelsel 3. Te zien in het verleden 4. Bereikbaar vanuit verleden 5. NB. Als I ≥ 0, dan is het teken van Δt een invariant. Zie B2

4-vectoren: plaats vector gebeurtenis Bijvoorbeeld: Plaatsvector van een (punt-) gebeurtenis in 4-dimensionale tijd-ruimte Voor twee 4-vectoren kunnen we ook het Minkowski inproduct definiëren: Dan ook: Dit (|x|) noemen we de Minkowski lengte van de 4-vector x. Gebruik: meestal in het kwadraat: (|x|2) Even vooruitblikken op toekomstige notatie:

Programma 5 Lorentz transformatie Elektromagnetische velden Rotatie in ruimte en tijd Minkowski ruimte Bewegingsleer Mechanica

Platte vlak Ruimte tijd Punt verzamelingen Elementen: punten (punt-)gebeurtenissen Losse verzameling: rijdende (lange) trein Willekeurige verzameling: “Wereldlijn” Één dimensionale kromme: Baan voorwerp door ruimte tijd

Geparametriseerde kromme “Mooie” Niet zo boeiend Parameter = booglenge

4-vectoren: kinematica Kromme in tijd-ruimte. Zou baan van een object (deeltje) kunnen zijn. “Wereldlijn” v hoeft dus nu niet meer constant te zijn! “Normale” klassieke snelheid B8 4-snelheid: zouden kunnen doen: NEEN! Beter idee: niet t nemen maar τ, waarbij τ de eigentijd van het deeltje is: x z y 2.7

Optellen snelheden (revisited) ZZZZZzzzzzz… Ten opzichte het perron heeft karretje een snelheid van: (klassiek). Stelsel K (het perron) 2.8 Relativistisch (al eerder gezien): Nog een keer afleiden (onhandig maar leerzaam): ? ? Effe checken: 4-snelheid: invullen … ? Maar … omkeren en kwadraat … Lorentz trafo: ? maal ? Inverse: uitwerken Ook !

Programma 6 Lorentz transformatie Elektromagnetische velden Rotatie in ruimte en tijd Minkowski ruimte Bewegingsleer Mechanica

Relativistische mechanica We hadden al gezien: (trage) massa wordt groter bij beweging Klassiek Newton: The Feynman Lectures on Physics II Immers m is constant Dus: Maar nu met m variabel.

Relativistische mechanica via 4-vectoren Hoe groter de impuls hoe groter de massa Variabel (1) 2.9 Constante Variabel !! (+constante Maar die nemen we =0) Centrale Formule SRT Invullen in (1): Gevolg 1: Kinetische Energie? Gevolg 2: Photon!!

4-Kracht; het overleven van Newton In feite overleeft het klassieke van Newton: De laatste 3 componenten vormen samen dus: We gebruiken een kleine letter f, omdat we F voor de elektromagnetische tensor willen gebruiken. waarbij de semi-klassieke kracht en semi-klassiek want is de relativistische impuls De 0-de component is dus: Gaan volgende keer kijken hoe zich dit verhoudt tot de Lorentz kracht:

Programma Klaar Lorentz transformatie Elektromagnetische velden Rotatie in ruimte en tijd Minkowski ruimte Bewegingsleer Mechanica

Opgave toelichting; Doppler effect Z Z O Toon is hoger Licht is blauwer Klassieke formule Zender staat stil t.o.v. medium Relativistische formule Voor licht (soort compromis) Klassieke formule Ontvanger staat stil t.o.v. medium Einstein 1905

Bijlage 1: Check van de overige vergelijkingen

Bijlage 2: Teken van Δt invariant als I≥0 Lorentz transformatie Bewering: Als I≥0 (dus interval is tijdachtig), dan is het teken van Δt invariant onder de Lorentztransformatie. Bewijs: Dus: de begrippen toekomst en verleden zijn invariant! (gelukkig) QED

Bijlage 3: Invariantie onder rotaties Vanuit alle orthonormale coördinaatstelsels is men het erover eens dat dit cirkels zijn. Ook is men het over de straal daarvan eens. Het middelpunt heeft wel in elk stelsel andere coördinaten (maar is wel “hetzelfde” punt).

Bijlage 4: Invariantie onder Lorentz “rotatie” Vanuit alle orthonormale coördinaatstelsels “Lorentz frames” is men het eens over lichtkegels (I=0). Ook is men het eens over de “eigentijd” van iets dat van A naar B reist.

Bijlage 5: Tweeling paradox Lichtstraal Paul Jan Aarde Alpha Centauri

Bijlage 6: Interpretatie Transformatie EM velden Legenda: Apparaat dat vanuit de wagon boven het perron de magnetische en elektrische velden kan meten. Elektrisch geladen plaat op het perron. Perron referentiekader: Boven het perron heerst een elektrisch veld, waarvan alleen . Verder: De wagon rijdt (zoals altijd) met een snelheid v in de x-richting. Wagon referentiekader: Transformatie van de Elektromagnetische velden: Dus hier wordt ook een magnetisch veld gemeten! “Logisch”, want hier wordt een stroom ervaren!

Bijlage 7: Componenten vector “Componenten” of “coördinaten” Vraag is steeds: Hoeveel componenten gelijk 0? Antwoord: 1 Antwoord: Antwoord: 0!! Of toch (??): 1!? Conclusie: Het aantal componenten ongelijk 0, of beter zelfs: de waarden van de componenten, is/zijn afhankelijk van: - Het gekozen coördinaten stelsel, of ook, - De “coördinaten beheerder”, of ook, Wel is “iedereen” het eens over de lengte van een vector. - De waarnemer, of ook, Dat noemen we daarom een invariant. - Het referentie stelsel

Bijlage 8: Waarom niet sneller dan het licht? Stelling: Wereldlijn die ergens een keer harder gaat dan het licht. Als een object niet op twee plaatsen tegelijkertijd kan zijn En Als de Lorentz tranformatie correct is Dan kan een object niet sneller dan het licht gaan Bewijs: Dus in dit nieuwe stelsel is het object op twee plekken tegelijk! Tegenstraak! QED.