Het discrete frequentiedomein De Fourierreeks

t n w q s z kw1 kq1 tijdcontinu tijddiscreet tijddomein bemonstering t n tijddomein F.R. reconstructie FFT discreet frequentie-domein kw1 kq1 T→∞ N→∞ F.T. continu frequentie-domein w q x et z = ejq L.T. Z.T. complex frequentie-domein s esTs = z z

Benadering van V1 volgens V2

Beste benadering = loodrechte projectie V1 Ve V1 Ve V2 c12 V2 V2 c12 V2 V1 Ve De foutvector Ve is het kleinst bij loodrechte projectie. V2 c12 V2

Optimale c12 Ve = V1 – c12 V2 c12 is een scalair getal Optimale c12 is die waarde waarvoor de foutvector Ve minimaal is c12 V2 Indien V1 loodrecht staat op V2 dan is de optimale c12 gelijk aan nul ! 5

Loodrechte vectoren minimale Ve = V1 c12 V2 Voor elke waarde c12 ≠ 0 is Ve groter dan V1 . Dus de optimale waarde voor c12 is gelijk aan nul !

Benadering van x1 volgens x2 t1 t2 Binnen een tijdsinterval [ t1 , t2 ] kan het signaal x1 worden benaderd door het signaal x2 x1 = c12 x2 + xe

Kwadratisch gemiddelde fout xe kan positief of negatief zijn : we nemen het kwadraat van xe zodat de bijdrage steeds positief is we nemen het gemiddelde over het interval [ t1 , t2 ] we bekomen dan de volgende formule voor de kwadratisch gemiddelde fout e : of

Optimale c12 Optimale c12 is die waarde waarvoor de kwadratisch gemiddelde fout e minimaal is De waarde van c12 kan worden berekend uit of

Berekening van c12 De volgorde van afleiden en integreren mag worden omgewisseld, bijgevolg zodat

Orthogonale signalen Twee signalen x1 en x2 zijn orthogonaal (loodrecht) binnen het interval [ t1 , t2 ] als c12 = 0 De voorwaarde voor orthogonaliteit wordt dus : c12 driehoek.xls

Benadering met meer orthogonale signalen Binnen een tijdsinterval [ t1 , t2 ] kan het signaal x1 worden benaderd door de signalen x2 en x3 x1 = c12 x2 + c13 x3 + xe we bekomen nu de volgende formule voor de kwadratisch gemiddelde fout e :

Berekening van c12 (x2 en x3 zijn orthogonaal) omdat bekomen we dezelfde c12 :

Berekening van c13 voor c13 geldt : Hoe meer signalen er worden gebruikt, hoe beter de benadering ! c12 puls.xls

Periodieke signalen x(t) t T x(t ± T) = x(t)

Verzameling orthogonale signalen Binnen het interval [ t , t + T ] zijn de volgende signalen orthogonaal : 1 ; cos w1t ; cos 2w1t ; cos 3w1t ; cos 4w1t ; … cos kw1t sin w1t ; sin 2w1t ; sin 3w1t ; sin 4w1t ; … sin kw1t 2 p met w1 = T We kunnen dus elk periodiek signaal benaderen door deze verzameling orthogonale signalen.

Fourierreeks A0 is de DC-komponent (de gemiddelde waarde) van het signaal x(t)

Berekening van Ak en Bk

Integratiegrenzen Integreren van 0 naar T komt uiteraard op hetzelfde neer als integreren van –T/2 naar T/2.

Oneven signaal x(t) t x(t) = -x(-t) In dit geval zijn alle Ak = 0 !

Even signaal x(t) t x(t) = x(-t) In dit geval zijn alle Bk = 0 !

Halve golfsymmetrie x(t) x(t) = -x(t+T/2) -T/2 T/2 t -T T T x(t) = -x(t+T/2) In dit geval zijn alle A2k = 0 en alle B2k = 0 !

Voorbeeld: een puls met D = 50% x(t) 1 -T/2 T/2 t -T T -1 x(t) = -x(t+T/2) én x(t) = -x(-t) In dit geval zijn alle Ak = 0 en alle B2k = 0 !

Berekenen van B1 x(t) 1,273 1 -T/2 T/2 t -T T

Berekenen van B3 x(t) 1 0,424 -T/2 T/2 t -T T

Alternatieve vorm van Fourierreeks cos kw1t Mk Ak qk -180° < qk < 180° sin kw1t Bk Ak cos kw1t + Bk sin kw1t = Mk sin (kw1t + qk)

Alternatieve vorm van Fourierreeks cos kw1t Mk Ak jk -180° < jk < 180° sin kw1t Bk Ak cos kw1t + Bk sin kw1t = Mk cos (kw1t - jk)

Besluit Elk periodiek signaal x(t) kan geschreven worden als een som van enkel sinussen of cosinussen We noemen w1 de eerste harmonische, 2w1 de tweede harmonische, 3w1 de derde harmonische frequentie enz. Bij elke frequentie hoort een amplitude Mk en een fase qk (of jk )

Frequentiespectrum amplitude kw1 fase kw1 q3 q2 q8 q1 q5 q7 q4 q6 M6 0 w1 2w1 3w1 4w1 5 w1 6w1 7w1 8w1 fase q3 q2 q8 q1 q5 q7 kw1 0 w1 2w1 3w1 5 w1 7w1 8w1 q4 q6

Voorbeeld: een puls met D = 50% x(t) 1 -T/2 T/2 t -T T -1 Alle Ak = 0 → alle qk = 0 ; eveneens Mk = Bk Mk = 0 voor k even ; Mk = 4/kp voor k oneven

Frequentiespectrum qk Mk kw1 kw1 1,273 0,424 0,255 0,182 0 w1 2w1 3w1 4w1 5 w1 6w1 7w1 8w1 qk kw1 0 w1 2w1 3w1 4w1 5 w1 6w1 7w1 8w1

Algemene formules voor een puls x(t) 1 aT (a+D)T T t aT -1 Fourieranalyse.xls en Fouriersynthese.xls 32

Fourieranalyse Met Micro-Cap worden Mk en qk berekend T = 1 ms → f1 = 1 kHz

Amplitude- en fasespektrum 1,9 1,372 Mk 1,197 0,32 0,27 0,243 0,12 0,059 0,086 0,015 qk 90 -24 -30 -47 -32 -133 -150 -147 -156

Fouriersynthese Deze Mk en qk worden dan gebruikt om het originele signaal te benaderen met een som van sinussen DC +1 kHz 2 kHz 3 kHz 4 kHz 5 kHz 6 kHz 7 kHz 8 kHz 9 kHz

Het lukt niet altijd even goed … Bij een discontinuïteit (een plotse overgang) bekomt een steeds een doorschot van ongeveer 9% (ongeacht het aantal benaderingen) Men noemt dit het verschijnsel van Gibbs Voorbeeld: puls

Ander voorbeeld zaagtand

Vermogenspectrum vermogen kw1 M62/2 M42/2 M72/2 M12/2 M32/2 M02 M82/2 0 w1 2w1 3w1 4w1 5 w1 6w1 7w1 8w1 62

Voorbeeld: een puls met D = 50% Mk 1,273 0,424 0,255 0,182 kw1 0 w1 2w1 3w1 4w1 5 w1 6w1 7w1 8w1 Mk2/2 0,811 81% v.h. vermogen in 1e harmonische 0,090 0,032 0,017 kw1 0 w1 2w1 3w1 4w1 5 w1 6w1 7w1 8w1 63

Besluit Door de formules van de fourierreeks kan van een periodiek signaal een discreet frequentiespectrum worden berekend