Periodieke verbanden

Hoogte bij cirkelbeweging Goniometrie Hulpmiddel: eenheidscirkel Radialen Goniometrie uitbreiden naar driehoeken zonder rechte hoek Hulpmiddel: eenheidscirkel

Wat is een hoek?

Hoe groot is een hoek? Radialen 0,3 rad = 135 ° = 0,3 π ⋅180°≈17,2° 135 180 ⋅π= 3 4 π ≈2,36 𝑟𝑎𝑑

Driehoeken

Goniometrie sin ∠𝐴 = 𝐵𝐶 𝐴𝐶 cos ∠𝐴 = 𝐴𝐵 𝐴𝐶 tan ∠𝐴 = 𝐵𝐶 𝐴𝐵

Eenheidscirkel Cirkel met straal 1 en middelpunt (0, 0) Draai tegen de klok in vanaf (1, 0) Hoek met positieve x-as Radialen Hoogte: 𝑦 𝑃 =sin⁡(𝑡) Breedte: 𝑥 𝑃 =cos⁡(𝑡) Eerste kwadrant

Hoek > 90⁰ Hoogte: 𝑦 𝑃 =sin⁡(𝑡) Ook: 𝑦 𝑃 =sin⁡(π−𝑡)

Negatieve hoeken Met de klok mee 𝑦 𝑄 =− 𝑦 𝑃 𝑥 𝑄 = 𝑥 𝑃 cos⁡(−𝑡)=cos⁡(𝑡)

Bereken ∠𝑃𝑂𝑄 𝑦 𝑝 =0,41 𝑥 𝑝 =−0,65 sin −1 (0,41) ≈24,20° 𝛼≈180°−24,2°≈155,8° cos −1 (−0,65) ≈130,5° 𝛽≈360°−130,5° ≈229,5° ∠𝑃𝑂𝑄=𝛽−𝛼≈229,5°−155,8°≈73,7° ∠𝑃𝑂𝑄=360°−155,8°−130,5°≈73,7°

Exacte waarden sin(0°) sin (30⁰) sin(60⁰) sin(90⁰) sin(45°)

Exacte waarden sin: 1 2 0 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 4 graden 0° 30° 45° 60° 90° rad 1 6 π 1 4 π 1 3 π 1 2 π sin 1 2 1 2 2 1 2 3 1 cos tan 3 1 3 3 X

Andere hoeken

Periodieke verbanden Uitgerekt en verplaatst in 𝑥- en 𝑦-richting Vier transformaties = vier parameters

Sinusoïde Evenwichtsstand = 𝑚𝑎𝑥+𝑚𝑖𝑛 2 Amplitude = 𝑚𝑎𝑥−𝑚𝑖𝑛 2 =max⁡ – evenwichtsstand Periode = tijd (afstand op de 𝑥-as) waarna de grafiek zich herhaalt Zoek twee punten met dezelfde y-coördinaat en helling Beginpunt: 𝑥-coördinaat van snijpunt waar je stijgt door de evenwichtsstand meerdere mogelijkheden

Periode Halve periode tussen minimum en maximum Kwart periode tussen toppen en beginpunt Snelste stijging en daling bij evenwichtsstand

𝑦=𝑎+𝑏 sin⁡(𝑐(𝑥−𝑑)) 𝑐 = 2π 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒 Kenmerken Waarde Transformatie Eigenschappen amplitude 𝑏 Vermenigvuldiging met 𝑏 t.o.v. 𝑥-as Buiten formule Langs de y-as Voorrangregels volgen evenwichts-stand 𝑎 𝑎 omhoog periode 2π 𝑐 Vermenigvuldiging met 1 𝑐 t.o.v. 𝑦-as Binnen formule Langs de x-as Voorrangsregels omkeren beginpunt 𝑑 𝑑 naar rechts 𝑐 = 2π 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒

𝑦=𝑝+𝑞 sin⁡(𝑟𝑥+𝑠) Vermenigvuldiging met 𝑞 t.o.v. 𝑥-as 𝑝 omhoog 𝑠 naar links Vermenigvuldiging met 1 𝑟 t.o.v. 𝑦-as I 1 2 II of 1 2 I II of I 1 II 2 of … Eerst I dan II, eerst 1 dan 2

𝑦=𝑎+𝑏 sin⁡(𝑐(𝑥−𝑑)) Stel de formule op Bereken 𝑎, 𝑏, 𝑐 en 𝑑 Geef aan hoe de formule ontstaat uit de standaardformule 𝑦=sin⁡(𝑥)

Cosinus Beginpunt: 𝑥-coördinaat van het maximum Overige parameters zijn gelijk aan die bij sinus

Exacte waarden sin(0°) sin (30⁰) sin(60⁰) sin(90⁰) sin(45°)

Exacte waarden sin: 1 2 0 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 4 graden 0° 30° 45° 60° 90° rad 1 6 π 1 4 π 1 3 π 1 2 π sin 1 2 1 2 2 1 2 3 1 cos tan 3 1 3 3 X

Andere hoeken

sin(x) = getal 𝑦= sin 𝑥 Twee oplossingen Reeksen Oplossing 𝑏=π−𝑎 Reeksen 𝑎+2π,𝑎+4π,𝑎+6π… 𝑎−2π,𝑎−4π,𝑎−6π, … Oplossing 𝑥=𝑎+𝑘2π 𝑥=π−𝑎+𝑘2π (𝑘 geheel: 𝑘=0, 1, −1, 2, −2, …)

sin(x) = 0, 1, -1 sin 𝑥 =1 → 𝑥= 1 2 π+𝑘2π sin 𝑥 =−1 → 𝑥=− 1 2 π+𝑘2π 𝑥= …,−2π, 0, 2π,4π,… 𝑥= …,−3π,−π,π,3π,5π… sin 𝑥 =0 → 𝑥=𝑘π

cos(x) = 0, 1, -1 cos 𝑥 =1 → 𝑥=𝑘2π cos 𝑥 =−1 → 𝑥=π+𝑘2π

cos(x) = getal 𝑦= cos 𝑥 Twee oplossingen Oplossing −1≤cos (𝑥) ≤1 𝑏=−𝑎 𝑥=𝑎+𝑘2π 𝑥=−𝑎+𝑘2π

Stappenplan Maak sin⁡(…) of cos … vrij Zoek de exacte waarde(n) of gebruik sin −1 (…) of cos −1 (…) Voeg +𝑘2π toe Bepaal de tweede oplossing sinus: 𝐴+𝑘2π ∨ π−𝐴+𝑘2π cosinus: 𝐴+𝑘2π ∨ −𝐴+𝑘2π Speciale gevallen: sin(…) of cos(…)=0, −1, 1 Werk de oplossing(en) uit (Bepaal de oplossingen op het domein)