Speciale Relativiteitstheorie en Minkowski-meetkunde Jeroen Spandaw 2 februari 2018

Klein effect, grote gevolgen

Warm aanbevolen

Technisch niet moeilijk: Psychologisch wel lastig: kleine variatie op Pythagoras-afstandformule Psychologisch wel lastig: Onze intuïtie gebaseerd op 𝑣≪𝑐 geldt niet meer

Raketprobleem van John Stewart Bell laat zien dat zelfs theoretische fysici in CERN nog conceptuele problemen met Speciale Relativiteitstheorie hebben…

Speciale Relativiteit & Minkowski Technisch niet moeilijk: Kleine variatie op Pythagoras-afstandformule Psychologisch wel lastig (vooral in 90 minuten!): Onze intuïtie gebaseerd op 𝑣≪𝑐 geldt niet meer

Organisatie 3 delen van ongeveer 30 minuten Lichtsnelheid & Gedachtenexperiment + Opgave Tijdrek Tijdrekparadox, Minkowski-vlak, Gelijktijdigheid + Opgaven Minkowskivlak Bespreking opgaven + Opgave Tijdrekparadox + Afsluiting Huiswerk: Lengtekrimpparadox

Relatieve snelheid treinen: optellen

Maar lichtsnelheid altijd c = 299 792 458 m/s

Michelson & Morley: Sterrenlicht Niet 299 792  30 km/s, maar 299 792 km/s

Theorie & Experiment: c steeds 299 792 458 m/s Maxwell Michelson & Morley

Einstein: Gevolgen van c constant?

Gedachtenexperiment

Stuiterend licht: Waarnemer A in trein

Stuiterend licht: Waarnemer B op perron

Gedachtenexperiment

Gedachtenexperiment

Tijdrek: ‘Moving clocks run slow’ Niet zo… in trein buiten trein relatieve snelheid tijd afstand lichtsnelheid

Tijdrek: ‘Moving clocks run slow’ Niet zo… in trein buiten trein relatieve snelheid v tijd afstand lichtsnelheid

Tijdrek: ‘Moving clocks run slow’ Niet zo… in trein buiten trein relatieve snelheid v tijd t afstand lichtsnelheid

Tijdrek: ‘Moving clocks run slow’ Niet zo… in trein buiten trein relatieve snelheid v tijd t afstand d d’ > d lichtsnelheid d’ d

Tijdrek: ‘Moving clocks run slow’ Niet zo… in trein buiten trein relatieve snelheid v tijd t afstand d d’ > d lichtsnelheid c = d/t c’ = d’/t > c d’ d

Tijdrek: ‘Moving clocks run slow’ ...maar zo! in trein op perron relatieve snelheid lichtsnelheid afstand tijd

Tijdrek: ‘Moving clocks run slow’ ...maar zo! in trein op perron relatieve snelheid v lichtsnelheid afstand tijd

Tijdrek: ‘Moving clocks run slow’ ...maar zo! in trein op perron relatieve snelheid v lichtsnelheid c afstand tijd

Tijdrek: ‘Moving clocks run slow’ ...maar zo! in trein op perron relatieve snelheid v lichtsnelheid c afstand d d’ > d tijd d’ d

Tijdrek: ‘Moving clocks run slow’ ...maar zo! in trein op perron relatieve snelheid v lichtsnelheid c afstand d d’ > d tijd t = d/c t’ = d’/c > t d’ d

Tijdrek: ‘Moving clocks run slow’ Wat is het verband tussen t en t’? in trein op perron relatieve snelheid v lichtsnelheid c afstand d d’ > d tijd t = d/c t’ = d’/c > t d’ d

Tijdrekformule: t  t’ We gaan inzien dat 𝑐 2 − 𝑣 2 𝑡 ′ 2 = 𝑐 2 𝑡 2

Tijdrekformule: t  t’ We gaan inzien dat 𝑐 2 − 𝑣 2 𝑡 ′ 2 = 𝑐 2 𝑡 2 𝑐 2 − 𝑣 2 𝑡 ′ 2 = 𝑐 2 𝑡 2 dus dat 𝑐𝑡 2 + 𝑣 𝑡 ′ 2 = 𝑐 𝑡 ′ 2 Waaraan doet u dat denken? Aan Pythagoras! Bijbehorende recht-hoekige driehoek?

Opgave 1 Waarom geldt: 𝑐𝑡 2 + 𝑣 𝑡 ′ 2 = 𝑐 𝑡 ′ 2

Waarom 𝑐𝑡 2 + 𝑣 𝑡 ′ 2 = 𝑐 𝑡 ′ 2 ?

Daarom 𝑐𝑡 2 + 𝑣 𝑡 ′ 2 = 𝑐 𝑡 ′ 2 !

c is absoluut, maar tijd is relatief! Niet zo… Klassiek: t absoluut, c relatief … maar zo! Einstein: t relatief, c absoluut

Lorentz & FitzGerald 𝑡′=𝛾⋅𝑡 met 𝛾= 1 1 − 𝑣 2 / 𝑐 2 >1

Lorentz & FitzGerald 𝑡′=𝛾⋅𝑡 met 𝛾= 1 1 − 𝑣 2 / 𝑐 2 >1 𝛾= 1 1 − 𝑣 2 / 𝑐 2 >1 𝑣= 4 5 𝑐  𝛾= 5 3 𝑣↑𝑐  𝛾→∞

Tijd en Afstand zijn relatief Tijdrek Tijd 𝑡 voor treinreiziger versus tijd 𝑡 ′ op perron: 𝑡 ′ =𝛾⋅𝑡 met 𝛾= 1 √(1 − 𝑣 2 𝑐 2 ) >1

Tijd en Afstand zijn relatief Tijdrek Lengtekrimp in rijrichting Tijd 𝑡 voor treinreiziger versus tijd 𝑡 ′ op perron: 𝑡 ′ =𝛾⋅𝑡 met 𝛾= 1 √(1 − 𝑣 2 𝑐 2 ) >1 Lengte ℓ voor treinreiziger versus lengte ℓ ′ op perron: ℓ=𝛾⋅ ℓ ′ Loodrecht op rijrichting geen lengteverandering

Tussenstand 3 delen van ongeveer 30 minuten Lichtsnelheid & Gedachtenexperiment + Opgave Tijdrek Tijdrekparadox, Minkowski-vlak, Gelijktijdigheid + Opgaven Minkowskivlak Bespreking opgaven + Opgave Tijdrekparadox + Afsluiting Huiswerk: Lengtekrimpparadox

Paradox

Beiden hebben gelijk! Paradox A = treinreiziger, B op perron B tegen A: ‘Uw klok langzamer dan de mijne!’ A tegen B: ‘Uw klok langzamer dan de mijne!’ Beiden hebben gelijk!

Pas op! Niet alleen de klokken van waarnemers A en B lopen verschillend, maar alle processen (hartslag, veroudering, …) De tijd is verschillend voor A en B! Hoedt u voor (Franse) postmodernistische filosofen!

Naar een oplossing van de paradox Relativiteit van gelijktijdigheid à la Einstein Ruimte-tijd-plaatjes à la Minkowski (met 1 ruimtedimensie)

(x,t)-vlak Conventie: t verticaal!

licht: c = 1  hoek ±45

Relatieve snelheid van blauwe waarnemers A en B?

Relatieve snelheid is c/3.

Terminologie De blauwe lijnen heten tijdlijnen, tijdpaden of wereldlijnen van de waarnemers A resp. B Een punt (x, t), dus een punt in ruimte & tijd, heet een gebeurtenis

They do it with mirrors…

Gelijktijdigheid à la Einstein Waarnemer & spiegel snelheid 0 t.o.v. elkaar Bijv. waarnemer op x = 0 en spiegel op x = 3 Gebeurtenis P = (0, 0): waarnemer stuurt licht naar spiegel. R = (3, 3): reflectie licht Q = (0, 6): detectie licht

Gelijktijdigheid à la Einstein Einstein: de gebeurtenis M halverwege P en Q is volgens waarnemer gelijktijdig met R. De verzameling gebeurtenissen gelijktijdig met M?

De gebeurtenissen gelijktijdig met M en R volgens waarnemer A

Gelijktijdigheid volgens B

Gelijktijdigheid volgens B

Gelijktijdigheid volgens B

Gelijktijdig met M en R volgens B

Opgaven 2 en 3 Het product van de richtingscoëfficiënten van PQ en MR is +1. Herontdek de tijdrek-formule 𝑡 ′ =𝛾𝑡 met 𝛾= 1 √(1 − 𝑣 2 / 𝑐 2 ) in het Minkowski-vlak

Tussenstand 3 delen van ongeveer 30 minuten Lichtsnelheid & Gedachtenexperiment + Opgave Tijdrek Tijdrekparadox, Minkowski-vlak, Gelijktijdigheid + Opgaven Minkowskivlak Bespreking opgaven + Opgave Tijdrekparadox + Afsluiting Huiswerk: Lengtekrimpparadox

Bespreking Opgave 2 Berekening in coörd. of synthetisch argument: rc(PQ)  rc(MR) = +1 In “Minkowski-meetkunde” geldt: 𝑃𝑄⊥𝑀𝑅 Vergelijk: In Euclidische meetkunde geldt: rc  rc = -1 bij ⊥

Bespreking Opgave 3 PQ wereldlijn van waarnemer 1 W1: Q & R gelijktijdig PR wereldlijn van waarnemer 2 W2: R & S gelijktijdig Hun relatieve snelheid 𝑣=𝛽𝑐 Dus PQ = t en QR = 𝛽𝑡

Bespreking Opgave 3 W1: Q & R gelijktijdig PQ = t & PR = t’  t = 𝛾𝑡′ W2: R & S gelijktijdig

Bespreking Opgave 3 W1: Q & R gelijktijdig PQ = t & PR = t’  t = 𝛾𝑡′ W2: R & S gelijktijdig PR = t’ & PS = 𝑡 ∗  𝑡′ = 𝛾 𝑡 ∗ Samen: 𝑡= 𝛾 2 𝑡 ∗ Gelijkvormigheidsarg.: 𝛾 2 = 𝑃𝑄 𝑃𝑆 = 1 1− 𝛽 2

Vreemd afstandsbegrip…

Vreemd afstandsbegrip… t = 𝛾 𝑡 ′ met 𝛾>1, dus 𝑡>𝑡′ ! Afstandsbegrip in Minkowski-vlak is blijkbaar anders dan in Euclidische vlak…

Tussenstand 3 delen van ongeveer 30 minuten Lichtsnelheid & Gedachtenexperiment + Opgave Tijdrek Tijdrekparadox, Minkowski-vlak, Gelijktijdigheid + Opgaven Minkowskivlak Bespreking opgaven + Opgave Tijdrekparadox + Afsluiting Huiswerk: Lengtekrimpparadox

Opgave 4 A tegen B: ‘Uw klok loopt te langzaam!’ B tegen A: ‘Uw klok loopt te langzaam!’ Beiden hebben gelijk! Los deze paradox op met Minkowski-diagram

Oplossing 4: Gelijktijdig volgens A A en B zetten klok op 0 bij O. B tegen A: “Als mijn klok op 3 sec, dan uw klok op 2.8 sec.” “Uw klok loopt te langzaam!”

Oplossing 4: Gelijktijdig volgens B A en B zetten klok op 0 bij O. B tegen A: “Als uw klok op 3 sec, dan mijn klok op 3.2 sec.” “Uw klok loopt te langzaam!”

Gelijktijdigheid is relatief! Gelijktijdig volgens A Gelijktijdig volgens B

Universaliteit van lichtsnelheid is evident in het Minkowski-vlak

Lichtsnelheid volgens A Als A in A, dan licht in L. Licht heeft 4 lichtseconde afgelegd in 4 seconden. Dus A vindt lichtsnelheid = 4 𝑙𝑠 4 𝑠 = c.

Lichtsnelheid volgens B? Het klassieke, foute beeld Stel B met 𝑣 = 1 3 𝑐 Als B in B, dan licht in L Licht heeft 2 lichtseconde afgelegd in 3 seconden Dus B vindt lichtsnelheid = 2 𝑙𝑠 3 𝑠 < 2 3 𝑐. Conclusie: Normale optelling van snelheden is fout!

Lichtsnelheid volgens B in Minkowski-meetkunde Niet zo: 2 𝑙𝑠 3𝑠 = 2 3 𝑐

Lichtsnelheid volgens B in Minkowski-meetkunde Niet zo: 2 𝑙𝑠 3𝑠 = 2 3 𝑐 Maar zo: 2,8 𝑙𝑠 2,8 𝑠 =𝑐

Lichtsnelheid volgens B in Minkowski-meetkunde Maar zo: 2,8 𝑙𝑠 2,8 𝑠 =𝑐 Gebeurtenissen B en L zijn gelijktijdig volgens B: Als B in B, dan licht in L. Gelijkbenige OBL, dus BL (ls) = OB (s) dus lichtsnelheid = c.

Afstanden en hoeken in Minkowski-meetkunde BL loodrecht op OB dus ⊥ als product rico’s = +1 Afstand: (OB in s)2 = Δ𝑡 2 − Δ𝑥 2 (BL in ls)2 = Δ𝑥 2 − Δ𝑡 2

Samenvatting Ruimte-tijd-plaatjes verhelderen Speciale Relativiteitstheorie De meetkunde in SRT is plat (niet gekromd), maar toch niet euclidisch. Afstand tussen (x, t) en (x’, t’) is namelijk niet √( Δ𝑡 2 + Δ𝑥 2 ), maar √| Δ𝑡 2 − Δ𝑥 2 |. (Beter: ct in plaats van t.) Richtingen in Minkowski-vlak niet ‘gelijkwaardig’

Hoe nu verder?

Hoe nu verder? Zie De sublieme eenvoud van relativiteit door Sander Bais voor: Lengtekrimp Snelheden optellen Energie en impuls 𝐸=𝑚 𝑐 2

En daarna? Algemene Relativiteit Zwaartekracht is kromming Inzoomen  Minkowski-meetkunde Wiskunde: differentiaal-meetkunde

Opgave 5: Trein-Tunnel-Paradox Trein met 𝑣= 4 5 𝑐 door een tunnel. Rust: tunnel = 400 m en trein = 500 m. Factor 1− 4 5 2 = 3 5 , dus trein = 300 m. Past de trein wel of niet in de tunnel?

Oplossing 5: Trein & Tunnel A en B uiteinden tunnel C en D uiteinden trein Trein CD beweegt naar rechts door tunnel AB A & B: “Trein PQ is korter dan de tunnel.” C & D: “Trein RS is langer dan de tunnel.” Geen tegenspraak!

Oplossing 5: Trein & Tunnel Plaatje niet helemaal correct: Neem lijnen door P en Q parallel aan C en D. Op die lijnen liggen ook de correcte uiteinden R en S

j.g.spandaw@tudelft.nl