e 2,71828182845…
Wat is het grootst mogelijke product? Neem positieve getallen met som 100 70∙30 = 2100 20∙37∙24∙19= 337440 332∙2∙2=7,41 ∙1015 100 𝑛 𝑛 maximaal bij 𝑛=37 100 37 ≈2,7
Som = 100, product zo groot mogelijk 100 37 37 ≈9,47⋅ 10 15 is maximaal 100 e ≈36,8 Som 1000: 1000 368 ≈2,71 Som 1000000: 1000000 367879 ≈2,71828…
Wat is e? constante van Napier ‘exponentiële getal’ logaritmen ‘exponentiële getal’ Euler grondtal natuurlijk logaritme
Afgeleide van f(x)=gx Δ𝑓 Δ𝑥 = 𝑔 𝑥+ℎ − 𝑔 𝑥 𝑥+ℎ −𝑥 = 𝑔 𝑥 ⋅ 𝑔 ℎ − 𝑔 𝑥 ℎ Δ𝑓 Δ𝑥 = 𝑔 𝑥+ℎ − 𝑔 𝑥 𝑥+ℎ −𝑥 = 𝑔 𝑥 ⋅ 𝑔 ℎ − 𝑔 𝑥 ℎ = 𝑔 ℎ −1 ℎ ⋅ 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 ′ =𝑐⋅ 𝑔 𝑥 g 1,1 2 3 4 c 0,1 0,69 1,4
formule = afgeleide 𝑔 𝑥 ′ =𝑐⋅ 𝑔 𝑥 𝑐=1 als 𝑔≈2,718281828459… e 𝑥 ′= e 𝑥 𝑔 𝑥 ′ =𝑐⋅ 𝑔 𝑥 𝑐=1 als 𝑔≈2,718281828459… grondtal e e 𝑥 ′= e 𝑥 bij hoogte 1,3 is de helling 1,3 bij hoogte 2,4 is de helling 2,4
Bereken e 𝑓 𝑥 =1+𝑥+ 1 2 𝑥 2 + 1 6 𝑥 3 + 1 24 𝑥 4 +… 𝑓 𝑥 =1+𝑥+ 1 2 𝑥 2 + 1 6 𝑥 3 + 1 24 𝑥 4 +… e 𝑥 =1+𝑥+ 1 2 𝑥 2 + 1 6 𝑥 3 + 1 24 𝑥 4 +… e=1+1+ 1 2 + 1 6 +…+ 1 𝑛! +… 𝑛!=𝑛 𝑛−1 𝑛−2 ⋯2⋅1 e≈2,718281828459045… e= 𝑛=0 ∞ 1 𝑛!
Groeifactoren Wat is de groeifactor per jaar bij 12% rente per jaar 6% rente per half jaar 1% rente per maand per week, per dag, per … 𝑔 𝑛 = 1+ 0,12 𝑛 𝑛 → e 0,12 ≈1,1275
Kansrekening 100 keer meedoen aan loterij met kans 0,01 P(nooit prijs) = 1− 1 100 100 ≈ e −1 = 1 e Lootje trekken in een grote groep P(niemand heeft zichzelf) ≈ 1 e 1 e =1−1+ 1 2 − 1 6 +…+ −1 𝑛 𝑛! +…≈0,368
Optimalisatie Bijvoorbeeld 100 voorstellen op een datingsite Accepteren of doorgaan naar volgende Bekijk de eerste 37 om een idee te krijgen 1 e ⋅100≈37 Kies de eerstvolgende die beter is of neem de allerlaatste Optimale strategie om de beste date te vinden P(beste date) = 1 e