Tweedegraads vergelijkingen oplossen Een korte en onvolledige samenvatting van paragraaf 1.3 van hoofdstuk 1 HAVO 4 wiskunde B © 2011 W.v.Ravenstein

Wat is een tweedegraads vergelijking? Dat is een vergelijking met termen en getallen waarbij de hoogste macht van ‘x’ (de variabele) gelijk is aan twee. Voorbeelden: x² = 3x + 4 x² = 2 (4x - 3)² = (x + 4)² + 12x + 19 9x(x - 1) = 4x - 5

Voorbeeld 1 Het meest eenvoudige voorbeeld: x² = 4 Oplossen?

Voorbeeld 1 Het meest eenvoudige voorbeeld: x² = 4 Oplossen? x=2 of x=–2 TWEE OPLOSSINGEN DUS!

Voorbeeld 1 Het meest eenvoudige voorbeeld: x² = 2 Oplossen?

Voorbeeld 1 Het meest eenvoudige voorbeeld: x² = 2 Oplossen? x=− 2 of x= 2 TWEE OPLOSSINGEN DUS!

Voorbeeld 1 Het meest eenvoudige voorbeeld: x² = 0 Oplossen?

Voorbeeld 1 Het meest eenvoudige voorbeeld: x² = 0 Oplossen? x=0 Één oplossing dus!

Voorbeeld 1 Het meest eenvoudige voorbeeld: x² = –3 Oplossen?

Voorbeeld 1 Het meest eenvoudige voorbeeld: x² = –3 Oplossen? De oplossing is dat er geen oplossing is… Géén oplossing dus!

Dat geldt voor alle tweedegraads vergelijkingen. Conclusie Bij een tweedegraads vergelijking kan je dus 2, 1 of 0 oplossingen krijgen. Dat geldt voor alle tweedegraads vergelijkingen. Dat je ‘t maar weet…

Er volgen nu 8 voorbeelden… de vraag is steeds “hoe pak je dat aan?” Nu de rest nog… Er volgen nu 8 voorbeelden… de vraag is steeds “hoe pak je dat aan?”

Voorbeeld 1 𝑥²−5𝑥+6=0 Oplossen? Hoe?

Voorbeeld 1 𝑥²−5𝑥+6=0 Oplossen? Hoe? Ontbinden in factoren! Product-som-methode… 𝑥−3 𝑥−2 =0 𝑥=3 ∨𝑥=2

Waarom werkt dat? 𝑥²−5𝑥+6=0 𝑥−3 𝑥−2 =0 𝑥=3 ∨𝑥=2

Waarom werkt dat? 𝑥²−5𝑥+6=0 𝑥−3 𝑥−2 =0 𝑥=3 ∨𝑥=2 𝑥−3 𝑥−2 =0 𝑥=3 ∨𝑥=2 Een soort van hoofdregel: Als a · b = 0 dan is a = 0 of b = 0.

Voorbeeld 2 3𝑥+2 𝑥−7 =0 Oplossen? Hoe?

Voorbeeld 2 3𝑥+2 𝑥−7 =0 Oplossen? Hoe? Gebruik de hoofdregel… 3𝑥+2 𝑥−7 =0 Oplossen? Hoe? Gebruik de hoofdregel… 3𝑥+2=0∨𝑥−7=0 3𝑥=−2∨𝑥=7 𝑥=− 2 3 ∨𝑥=7

Voorbeeld 3 3𝑥+2 𝑥−7 =8 Oplossen? Hoe?

Voorbeeld 3 3𝑥+2 𝑥−7 =8 Oplossen? Hoe? 3𝑥+2 𝑥−7 =8 Oplossen? Hoe? De hoofdregel gaat nu niet werken! Het moet wel NUL zijn… en niet 8. Haakjes wegwerken, op nul herleiden en verder oplossen…

Voorbeeld 4 3𝑥+2 𝑥−7 =8 3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 3𝑥²−19𝑥−14=8 3𝑥²−19𝑥−22=0 3𝑥+2 𝑥−7 =8 3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 3𝑥²−19𝑥−14=8 3𝑥²−19𝑥−22=0 Maar wat nu?

Voorbeeld 4 3𝑥+2 𝑥−7 =8 3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 3𝑥²−19𝑥−14=8 3𝑥²−19𝑥−22=0 3𝑥+2 𝑥−7 =8 3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 3𝑥²−19𝑥−14=8 3𝑥²−19𝑥−22=0 Maar wat nu? Met de abc-formule zou ‘t kunnen… Maar dat gaan we nu niet doen

Voorbeeld 5 𝑥²+4𝑥=0 Oplossen? Hoe?

Voorbeeld 5 𝑥²+4𝑥=0 Oplossen? Hoe? Ontbinden in factoren! 𝑥 𝑥+4 =0 𝑥=0∨𝑥+4=0 𝑥=0∨𝑥=−4

Voorbeeld 6 𝑥²+4=20 Oplossen? Hoe?

Voorbeeld 6 𝑥²+4=20 Oplossen? Hoe? Lijkt toch wel erg veel op het eenvoudigste voorbeeld van net… 𝑥²=16 𝑥=−4∨𝑥=4

Voorbeeld 7 𝑥²−8𝑥=12 Oplossen? Hoe?

Voorbeeld 7 𝑥²−8𝑥=12 Oplossen? Hoe? Eerst op nul herleiden… 𝑥²−8𝑥−12=0 Maar dan?

Voorbeeld 7 𝑥²−8𝑥=12 Oplossen? Hoe? Eerst op nul herleiden… 𝑥²−8𝑥−12=0 Maar dan? Ontbinden in factoren gaat niet!

Voorbeeld 8 𝑥²−8𝑥=12 𝑥²−8𝑥−12=0 Ontbinden gaat niet? Wat dan?

Voorbeeld 8 𝑥²−8𝑥=12 𝑥²−8𝑥−12=0 Ontbinden gaat niet? Wat dan? De ABC-formule! 𝑎=1, 𝑏=−8 𝑒𝑛 𝑐=−12 𝐷=𝑏²−4𝑎𝑐= −8 2 −4·1·−12=112 𝑥= −𝑏± 𝐷 2𝑎 = −−8± 112 2·1 = 8±4 7 2 𝑥=4−2 7 ∨𝑥=4+2 7

Tot slot - overzicht Ontbinden in factoren Verschillende typen tweedegraads vergelijkingen De abc-formule

E I N D E "Inside every cynical person, there is a disappointed idealist." George Carlin