Jaco van de Pol, informatica Waar stopt oneindig? Jaco van de Pol, informatica

Fascinatie met oneindig ∞ tellen Als kinderen tellen: “wat komt er na miljoen?” En dan, en dan, en dan? Magie: ontelbaar Zeno’s paradox (490-430 BC): oneindig klein Achilles kan de Schildpad nooit inhalen: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, …. Aristoteles (384-322 BC): Potentieel oneindig: 0, 1, 2, 3, … het stopt nooit … Actueel oneindig: alleen goddelijk? (Thomas van Aquino) Cantor: wiskundige uit de 19e eeuw -- precieze definities Waar stopt oneindig? - Jaco van de Pol 3 nov 2016

Verzamelingen Eindige verzamelingen: {0,1,2,3} {1845,1918} {} N – verzameling natuurlijke getallen: {0, 1, 2, 3, … } Q – verzameling rationele getallen: {½, ¾, 5 100 , 218.333333…, … } R – verzameling reële getallen: { 2 , 3 , e, 𝜋, 0,101001000100001…} Wanneer zijn twee verzamelingen even groot? {0,1,2,3,4} ~ {0,1,4,9,16} Waar stopt oneindig? - Jaco van de Pol 3 nov 2016

Cantor (1845-1918) De wiskunde van het oneindige hotel Twee verzamelingen zijn even groot als je ze op elkaar kunt afbeelden (X ~ Y als X en Y gelijkmachtig) Hotel met oneindig veel kamers: 1 gast erbij? 2x zoveel gasten? {0,1,2,3,4…} ~ {0,2,4,6,8,…} Zijn alle oneindige verzamelingen even groot? N ~ Q? N ~ R? Nee! Waar stopt oneindig? - Jaco van de Pol 3 nov 2016

Cantors diagonaal-argument Stel dat er een lijst is van alle reële getallen tussen 0 en 1… 0,123451234512345…… 0,100000000000000…… 0,314159265358979…… 0,000000000000100....... 0,101001000100001…… ..………6………………… Beschouw de diagonaal, tel er telkens 1 bij op: 0,215117….. Zit niet in de lijst Tegenspraak! Dus: Er is geen lijst van alle reële getallen N ~ R is niet waar Waar stopt oneindig? - Jaco van de Pol 3 nov 2016

Cardinaalgetallen ℵ0 (Alef-0): de grootte van N (aftelbaar) Cardinaalgetallen “meten” de grootte van een verzameling 0,1,2,3,… (eindige cardinaalgetallen) ℵ0 (Alef-0): de grootte van N (aftelbaar) ℵ1 (Alef-1): de grootte van R (overaftelbaar) Continuüm hypothese (Georg Cantor, 1877): “Er is geen verzameling “groter” dan ℵ0 en “kleiner” dan ℵ1 Dit is nog nooit bewezen maar ook nooit weerlegd! Maar Q dan? Er geldt toch: N ⊂𝐐⊂ R Waar stopt oneindig? - Jaco van de Pol 3 nov 2016

Ordinaal-getallen Notatie-systeem voor lineair-geordende “oneindige” getallen Opvolger Limiet 0,1,2,…. etc,etc. Limiet: 𝜔 (omega, het eerste oneindige ordinaalgetaal) Gewoon steeds verder: 𝜔+1, 𝜔+2, 𝜔+3, 𝜔+4, … Limiet: 𝜔+𝜔 = 𝜔2 𝜔2+1, …, 𝜔3,…, 𝜔4,…,𝜔𝜔= 𝜔 2 , 𝜔 3 , 𝜔 4 , …𝜔 𝜔 𝜔 𝜔 +1, … 𝜔 𝜔 𝜔 …. ? Wat nu? Wat komt “erna”? Limiet: 𝜀 0 . Dit is de “kleinste oplossing” van 𝑥= 𝜔 𝑥 … overaftelbaar…ontoegankelijk… Geen enkel notatie-principe is “toereikend”. Er is steeds een nieuw principe nodig Waar stopt oneindig? - Jaco van de Pol 3 nov 2016

Terminatie van programma’s Een grote frustratie van software Stopt dit programma wel altijd? Hangt de computer nu? Moet ik nog langer wachten? Input N While (N>0) N := N-1 Termineert in 𝜔 stappen Input N While (N>0) N := N-1 Input M While (M>0) M := M-1 Termineert in 𝜔 2 stappen Waar stopt oneindig? - Jaco van de Pol 3 nov 2016

Rij van Syracuse Terminatie is moeilijk… While (N>1) Als N=1: Klaar Als N even: Kies N/2 Als N oneven: Kies N*3+1 Vb: 5, 16, 8, 4, 2, 1 Vb: 9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 Vraag: Komt dit altijd uit op 1? Niemand die het weet Tip: probeer 27 Waar stopt oneindig? - Jaco van de Pol 3 nov 2016

Alan Turing (1912-1954) Pionier en computerheld WO-2: Kraakt Turing de Duitse Enigma code met zijn eerste zelfgebouwde computer Als wiskundige: bedenkt de Turing Machine (de eerste “programmeerbare” computer) Turing Machine: Eindige besturing lokale beslissingen Oneindige tape (invoer/uitvoer) programma = Data Invoer kan de “code” van een Turingmachine zijn Benedict Cumberbatch, The Imitation Game Waar stopt oneindig? - Jaco van de Pol 3 nov 2016

Terminatie is onbeslisbaar Lastig, programma’s die niet termineren Kunnen we geen programma schrijven die dat checkt? IBM had hiervoor in de beginjaren ‘50 een team programmeurs Alan Turing (1936): Een programma dat checkt of programma M termineert bij input I KAN NIET BESTAAN Bewijs: Stel: er bestaat zo’n programma H dat het Halting Problem oplost Dus H(M,I) = “JA” als M(I) stopt, “NEE” als M(I) hangt … Tegenspraak Prachtige illustratie: https://www.youtube.com/watch?v=92WHN-pAFCs Waar stopt oneindig? - Jaco van de Pol 3 nov 2016

oneindigheid in beeld? MC Escher, 1898-1972 Ga naar Horsttoren T1300 voor meer spectaculair beeld Waar stopt oneindig? - Jaco van de Pol 3 nov 2016