Kansverdelingen

Kansverdelingen Inleiding In deze presentatie gaan we kijken naar hoe kansen zijn verdeeld. We gaan in op verschillende voorbeelden en gebruiken het vaasmodel. Kortom worden de voorafgaande hoofdstukken snel besproken.

Kansverdelingen Kans De kans (P) dat er aan een voorwaarde (G) wordt voldaan, volgt uit de kansdefinitie van Laplace:

Kansverdelingen Somregel Als er een vraag komt waarbij meerdere gebeurtenissen zijn, kun je gebruik maken van de somregel. In de vraag staat dan altijd of. Hierbij moeten het wel uitsluitende gebeurtenissen zijn! Indien er overlapping plaatsvindt, moet het aantal overlappingen van het aantal gunstige uitkomsten worden afgetrokken.

Kansverdelingen Rekenvoorbeeld We gooien met een dobbelsteen 1)Bereken de kans dat je een 6 gooit bij één keer gooien. 2)Bereken de kans op een 3 of een 4 bij één keer gooien. Antwoord Bij bereken rond je af op 3 decimalen!

Kansverdelingen Rekenvoorbeeld We hebben een spel kaart (13 harten, 13 ruiten, 13 klavers en 13 schoppen). 1)Bereken de kans dat je een harten kaart trekt bij één keer trekken. 2)Bereken exact de kans op een harten of een boer bij één keer trekken. Antwoord Bij bereken rond je af op 3 decimalen! Bij bereken exact laat je de breuk staan!

Kansverdelingen Rekenvoorbeeld We hebben een spel kaart (13 harten, 13 ruiten, 13 klavers en 13 schoppen). Bij een gokspel mag je 2 vragen stellen. Je bedenkt dat je 2 mogelijkheden hebt: a)Je stelt eerst de vraag of de kaart rood of zwart is en kiest vervolgens een kaart b)Je kiest 2 verschillende kaarten Wanneer heb je de grootste kans de juiste kaart te kiezen? Antwoord

Kansverdelingen Complementregel Soms is het veel werk om een kans uit te rekenen. Dan is het makkelijker om uit te rekenen wanneer die kans niet gebeurd. Dan geldt de complementregel:

Kansverdelingen Rekenvoorbeeld We hebben een spel kaart (13 harten, 13 ruiten, 13 klavers en 13 schoppen). 1)Bereken de kans dat je geen harten kaart trekt bij één keer trekken. Antwoord

Kansverdelingen Het aantal mogelijkheden Om een kans te kunnen berekenen, moet je weten hoeveel mogelijkheden je hebt. Met: n = het aantal elementen waaruit je kiest k = het aantal elementen dat je kiest

Kansverdelingen Rekenvoorbeeld Van de 30 leerlingen worden 3 mensen gekozen voor de leerlingenraad. Hoeveel mogelijkheden zijn er? Antwoord Bedenk dat het niet uit maakt of je als eerste, tweede of derde wordt gekozen, iedereen zit immers in de leerlingenraad. Je pakt dus 3 knikkers uit de vaas, zonder terugleggen, waarbij volgorde niet belangrijk is: combinatie

Kansverdelingen Rekenvoorbeeld Van de 30 leerlingen worden 3 mensen gekozen voor de leerlingenraad. De eerste die wordt gekozen is voorzitter, de tweede notulist en de derde bordschrijver. Hoeveel mogelijkheden zijn er? Antwoord Bedenk dat het nu wel uit maakt of je als eerste, tweede of derde wordt gekozen, je hebt een andere functie. Je pakt dus 3 knikkers uit de vaas, zonder terugleggen, waarbij volgorde belangrijk is: Permutatie

Kansverdelingen Het vaasmodel Kansexperimenten kun je omzetten naar een vaasmodel. Je neemt een vaas en vult deze met knikkers. Schrijf altijd op hoe je de verbanden legt in een vaasmodel: -Hoeveel knikkers in totaal? -Hoeveel van welke kleuren? -Wat betekenen de kleuren bij het op te lossen vraagstuk?

Kansverdelingen Rekenvoorbeeld Op een CD staan 16 nummers. De nummers worden in willekeurige volgorde afgespeeld. Bereken exact de kans dat nummer 1,5 en 8 als laatste 3 worden afgespeeld. Antwoord Neem een vaas met 16 knikkers, waarvan 13 rood, en 3 blauw. De blauwe zijn de nummers die als laatste worden afgespeeld. Hoe groot is nu de kans dat je alle 13 rode knikkers er eerst uit pakt? 16 13

Kansverdelingen Rekenvoorbeeld Op een CD staan 16 nummers. De nummers worden in willekeurige volgorde afgespeeld. Bereken exact de kans dat nummer 1 als laatste wordt afgespeeld. Antwoord (Optie 1) Neem een vaas met 16 knikkers, waarvan 15 rood, en 1 blauw. De blauwe is het nummers die als laatste wordt afgespeeld. Hoe groot is nu de kans dat je alle 15 rode knikkers er eerst uit pakt? 16 15

Kansverdelingen Rekenvoorbeeld Op een CD staan 16 nummers. De nummers worden in willekeurige volgorde afgespeeld. Bereken exact de kans dat nummer 1 als laatste wordt afgespeeld. Antwoord (optie 2) Neem een vaas met 16 knikkers, waarvan 15 rood, en 1 blauw. De blauwe is het nummers die als laatste wordt afgespeeld. Of, hoe groot is de kans dat alleen de blauwe wordt gepakt? 16 1

Kansverdelingen Productregel Als er een vraag komt waarbij meerdere gebeurtenissen zijn, kun je gebruik maken van de productregel. In de vraag staat dan altijd en. Het is handig om hierbij een kansboom voor jezelf te maken, daarin zie je de mogelijkheden die er zijn.

Kansverdelingen Rekenvoorbeeld We hebben een spel kaart (13 harten, 13 ruiten, 13 klavers en 13 schoppen). 1)Bereken exact kans dat je een harten kaart trekt en een schoppen kaart. Antwoord (Optie 1) 1)Totaal 52 kaarten, waarvan 13 harten en 13 schoppen. Bedenk dat de volgorde niet belangrijk is en geen teruglegging: combinatie.

Kansverdelingen Antwoord (Optie 2) 1)Totaal 52 kaarten, waarvan 13 harten en 13 schoppen. Bedenk dat je de eerste kaart harten kunt pakken: kans is 13/52 op harten. De kaart erna moet schoppen zijn, op dat moment zitten er nog 51 kaarten in, waarvan 13 schoppen. De kans op schoppen is dan 13/51. Bedenk dat je ook eerst schoppen en dan pas harten kunt pakken. Dit kan dus op 2 boven 1 manieren. Zie ook de (gedeeltelijke) kansboom:

Kansverdelingen Rekenvoorbeeld Je gooit 4x met een dobbelsteen. Bereken de kans op minimaal één 6. Antwoord (Optie 1) 1)Kans op een 6 is steeds 1/6. Er is sprake van teruglegging. Maak een kansboom, groen is succes, rood is pech.

Kansverdelingen Rekenvoorbeeld Je gooit 4x met een dobbelsteen. Bereken de kans op minimaal één 6. Antwoord (Optie 2) 1)Kans op geen 6 is steeds 5/6. Er is sprake van teruglegging. Bedenk dat de kans op minimaal één 6 gelijk is aan 1-P(geen 6). Dus complementregel:

Kansverdelingen Verwachtingswaarde = het gemiddelde dat je verwacht te krijgen bij het vaak herhalen van een experiment

Kansverdelingen Rekenvoorbeeld We nemen een loterij waarin per 100 loten 20 prijzen van 1€ zijn en 1 prijs van €10 en een van €20. Bereken de verwachtingswaarde per lot van de prijzen. Antwoord Maak een tabel Prijs € Kans78/10020/1001/100

Kansverdelingen Rekenvoorbeeld We nemen een loterij waarin per 100 loten 20 prijzen van 1€ zijn en 1 prijs van €10 en een van €20. Wat moet een lot kosten om een eerlijk spel te krijgen? Antwoord De gemiddelde uitbetaling is €0,50, dus moet de prijs ook €0,50 zijn voor een eerlijk spel.

Kansverdelingen Einde