De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Oneindig E. Vanlommel NWD 2016 1. Uitwiskeling Artikel: oneindig en oneindig is twee Auteurs: Anne Schatteman en Luc Van den Broeck Concreet lesmateriaal:

Verwante presentaties


Presentatie over: "Oneindig E. Vanlommel NWD 2016 1. Uitwiskeling Artikel: oneindig en oneindig is twee Auteurs: Anne Schatteman en Luc Van den Broeck Concreet lesmateriaal:"— Transcript van de presentatie:

1 Oneindig E. Vanlommel NWD

2 Uitwiskeling Artikel: oneindig en oneindig is twee Auteurs: Anne Schatteman en Luc Van den Broeck Concreet lesmateriaal: werkteksten (keuze: lln zelfstandig of onderwijsleergesprek) Achtergrond voor leraar, met verwijzing naar filmpjes Materiaal online 2 Inleiding

3 3 Inleiding

4 4

5 5 Verschillende betekenissen van oneindig

6 Oneindig binnen de meetkunde 6 Verschillende betekenissen van oneindig

7 7

8 Even veel punten op een lijnstuk als op een rechte? Tussen elke twee punten van een rechte liggen oneindig veel andere punten, ook als die punten zelf willekeurig dicht bij elkaar liggen! 8 Verschillende betekenissen van oneindig

9 9 Enkele elementaire begrippen en paradoxen

10 10 Enkele elementaire begrippen en paradoxen

11 Er bestaat een bijectie tussen de verzameling van luchthavencodes en de verzameling luchthavens. We zien onmiddellijk dat er even veel luchthavens als codes zijn. De verzamelingen hebben even veel elementen of anders gezegd: dezelfde kardinaliteit. 11 Enkele elementaire begrippen en paradoxen

12 Paradoxen Galileo Galilei ( ) bijectie: Even veel kwadraten als natuurlijke getallen? Natuurlijke getallen die geen kwadraat zijn? 12 Er zijn méér natuurlijke getallen dan kwadraten maar toch heeft elk natuurlijk getal juist één kwadraat???? Enkele elementaire begrippen en paradoxen

13 Bernard Bolzano ( ) bijectie: Bevat een lijnstuk van 2cm lang even veel punten als een lijnstuk van 3cm? 13 Enkele elementaire begrippen en paradoxen

14 Conclusie: Het aantal elementen van oneindige verzamelingen kun je niet vergelijken zoals je dat met eindige verzamelingen doet. Je kunt niet spreken van meer, minder, even veel… Hoe vergelijken we dan wel? 14 Enkele elementaire begrippen en paradoxen

15 Richard Dedekind ( ) Een verzameling wordt een oneindige verzameling genoemd, als er een bijectie kan gevonden worden met een echt deel van de verzameling. De verzameling zelf en de lege verzameling worden geen ‘echte’ delen genoemd. 15 Aftelbaar oneindig

16 16 Aftelbaar oneindig

17 Georg Cantor ( ) Als er een bijectie bestaat tussen twee verzamelingen noemen we die verzamelingen gelijkmachtig. aantal elementen van een verzameling = kardinaliteit van de verzameling (zowel eindig als oneindig) 17 Aftelbaar oneindig

18 18 Aftelbaar oneindig

19 19 Aftelbaar oneindig

20 20 Aftelbaar oneindig

21 Verzameling witte stippen gelijkmachtig met verz. zwarte stippen? 21 Aftelbaar oneindig

22 22 Aftelbaar oneindig

23 23 Aftelbaar oneindig

24 24 Aftelbaar oneindig

25 25 Aftelbaar oneindig

26 Bespreking 26 Andere soorten oneindig...

27 0, … 10 kleuren nodig 27 Andere soorten oneindig

28 28 Andere soorten oneindig

29 29 Andere soorten oneindig

30 30 Andere soorten oneindig

31 31 Andere soorten oneindig

32 32 continuümhypothese Andere soorten oneindig

33 33 Andere soorten oneindig

34 Kurt Gödel en Paul Cohen bewezen dat met het gebruikelijk systeem van axioma’s (zonder contradicties) uit de verzamelingenleer de continuümhypothese noch kan worden weerlegd, noch kan worden bewezen Deze onbeslisbaarheid oplossen door andere (betere?) axiomasystemen te zoeken? 34 Andere soorten oneindig

35 Onvolledigheidsstelling van Gödel (1931): Elk axiomatisch systeem dat krachtig genoeg is om alle basiseigenschappen van de natuurlijke getallen te bewijzen, is ofwel onvolledig ofwel incosistent. onvolledig systeem = axiomatisch systeem waarin ware uitspraken bestaan die niet kunnen bewezen worden, onbeslisbaren genoemd incosistent systeem = axiomasysteem waarin contradicties zitten 35 Andere soorten oneindig

36 Zijn onbeslisbaren zeldzaam? Cristian Calude (1994): er zijn oneindig veel ware uitspraken, maar slechts een heel beperkt deel ervan kan bewezen worden met onze axiomasystemen → onbeslisbaarheid is de regel: het overgrote deel van wat waar is, is onbereikbaar 36 Andere soorten oneindig

37 37 Hotel van Hilbert

38 38 Hotel van Hilbert

39 gedachte-experiment van Hilbert tijdens lezing in 1924 om tegenintuïtieve eigenschappen van oneindig te verduidelijken 39 Hotel van Hilbert

40 Hotel met oneindig veel kamers, genummerd 1,2,3,4,... oneindig veel meubilair, servies, keukenpersoneel, kamermeisjes... het hotel is volgeboekt 40 Hotel van Hilbert

41 Probleem 1 3 nieuwe gasten die elk een kamer willen geen probleem volgens uitbater hoe lost hij dit op? 41 Hotel van Hilbert

42 42 Hotel van Hilbert

43 Probleem 2 toeristen in bus met aftelbaar oneindig veel zitplaatsen die alle bezet zijn hoteleigenaar geeft deze gasten weer allemaal een kamer hoe? 43 Hotel van Hilbert

44 44 Hotel van Hilbert

45 45 Hotel van Hilbert

46 Probleem 3 colonne van aftelbaar oneindig veel bussen met telkens aftelbaar oneindig veel zitplaatsen die alle bezet zijn door toeristen wordt dit een catastrofe voor de hoteluitbater? 46 Hotel van Hilbert

47 oorspronkelijke gasten in even kamers per bus op rij slinger maken zoals hiernaast in oneven kamers inschuiven 47 Hotel van Hilbert

48 48 Hotel van Hilbert

49 35 Hotel van Hilbert

50 Probleem 4: bewoners in opstand, ambitieus plan bewoners vormen comités, zoveel als mogelijk: alle mogelijke comités van 1 persoon, van 2 personen... ook het lege comité elk comité nodigt vriend uit die kamer wil vriend van lege comité in kamer 1 36 Hotel van Hilbert

51 triomfantelijk dagen ze eigenaar uit: ‘los dit maar eens op’! lukt niet meer moeilijk te bewijzen 37 Hotel van Hilbert

52 38 Hotel van Hilbert

53 39 Hotel van Hilbert

54 40 Hotel van Hilbert

55 40 Hotel van Hilbert

56 40 Hotel van Hilbert


Download ppt "Oneindig E. Vanlommel NWD 2016 1. Uitwiskeling Artikel: oneindig en oneindig is twee Auteurs: Anne Schatteman en Luc Van den Broeck Concreet lesmateriaal:"

Verwante presentaties


Ads door Google