De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

1 Snaren Theorie Dr. Ronald Westra Universiteit Maastricht, vakgroep Wiskunde.

Verwante presentaties


Presentatie over: "1 Snaren Theorie Dr. Ronald Westra Universiteit Maastricht, vakgroep Wiskunde."— Transcript van de presentatie:

1 1 Snaren Theorie Dr. Ronald Westra Universiteit Maastricht, vakgroep Wiskunde

2 2 The Elegant Universe Inhoud 1.De grens van onze kennis 2.De ruimtetijd tegenover de kwantumpakketjes 3.De kosmische symfonie 4.Het weefsel van ruimtetijd en de snarentheorie 5.Een Theorie voor Alles

3 3 Snarentheorie LEZING 5: Een Theorie voor Alles 1.De tweede superstringrevolutie 2.Duale partners 3.Superzwaartekracht 4.De M van M-theorie

4 4 0. Korte samenvatting DE ESSENTIE: Elementaire deeltjes zijn geen puntmassa’s maar ‘snaren’: ultra-kleine trillende draadjes

5 5 Wat zijn snaren? Snaren zijn erg klein: 1,6x m Melkweg: m Zichtbare heelal: m Virus: 6x10 -8 m snaar: mens ≈ virus : zichtbare heelal 0. Korte samenvatting van voorgaande

6 6 Met de aanname dat de kleinste deeltjes geen punten zijn maar snaren lossen we op: - het conflict tussen GRT en QM - een ‘geunificeerde theorie’: alle deeltjes en krachten zijn wezenlijk trillende snaren - leiden tot een nieuw begrip van ruimtetijd

7 7 Muzikale noten en de vioolsnaar 0. Korte samenvatting van voorgaande Massa’s en ladingen en de elementaire snaar

8 8 Zwaartekracht en QM met snaren Dat heeft een belangrijke consequentie: Als niets in de natuur op kleinere schaal dan h (= de Planck-constante) kan ‘aftasten’, dan hebben de catastrophale effecten op schalen kleiner dan h ook geen enkele invloed!!! Het gevolg is dat de oneindigheden in QM en SM nu geheel verdwijnen !!! Er is geen quantumschuim. Filosophisch: geen manier om kleiner dan h te kijken. (Dus bestaat het niet???) 0. Korte samenvatting van voorgaande

9 9

10 10 Interacties 0. Korte samenvatting van voorgaande

11 11 Rondtollende spinoren Een spin of een spinor is een rondtollende deeltje. Het heeft een draairichting en een grootte (draaisnelheid). Maar wat is de spin van een puntmassa? Dat is niet voor te stellen en heet daarom maar een intrinsieke grootheid. 0. Korte samenvatting van voorgaande

12 12 Supersymmetrie en superpartners In 1971 begreep men dat rotaties, dus de spin, een wezenlijke extra symmetrie in de Natuurwetten konden opleveren. Deze mogelijk extra wiskundige symmetrie in de noemt men nu super-symmetrie, afkorting: SUSY. 0. Korte samenvatting van voorgaande

13 13 Supersymmetrie vóór ST Supersymmetrie is tot nu toe nog nooit waargenomen! Het zou echter vreemd zijn als de Natuur een symmetrie zomaar laat liggen! Bovendien, zelfs in puntmassa-theorien als het SM blijken allerlei netelige kwesties elegant oplosbaar als we SUSY aannemen. Met name allerlei processen vergden zeer nauwe zetting van de SM-natuurconstanten, 1 op de 10 15, maar met SUSY verdween dit. 0. Korte samenvatting van voorgaande

14 14 Supersymmetrie in ST 0. Korte samenvatting van voorgaande De oorspronkelijke snaartheorie (ST) (Veneziano en Susskind) ging over bosonen (=geheeltallige spins), later kwamen er ook STs voor fermionen (halftallige spins). Vanaf 1971 combineerde men die in één ST. Toen (1977) bleek – tot ieders verrassing – dat fermion- en boson-vibraties altijd samengingen: voor elke fermion moest een boson ontstaan en vv Maw: Deze ST was automatisch en gratis SUSY !!!

15 15 Het bedriegelijke van het bekende Intuitie ‘leert’ ons dat de ruimte 3 dimensies heeft, en dat tijd 1 dimensionaal is. Einstein leerde ons met de ART dat zwaartekracht een ‘illusie’ is van een gekromde 4D-ruimtetijd. De truck is dus dat de zwaartekracht vervangen kan worden door kromming te introduceren in 4D ruimtetijd De extra dimensie is compect: opgerold, heel klein. 0. Korte samenvatting van voorgaande

16 16 P Korte samenvatting van voorgaande De compacte dimensie

17 17 Meer-Dimensionale Modellen Vanaf 1975 veel interesse in meer-dimensionale modellen, de zg Kaluza-Klein theorie. Met name de SUSY modellen en de zg Super-Gravity SUGR De hoger-dimensionale theorien gaven krachten die veel op EM, Zwak en Sterk leken, SUSY zorgde dat de divergenties mild bleven, maar andere zaken (chiraliteit: verschil links en rechts) kreeg men er niet in. 0. Korte samenvatting van voorgaande

18 18 Meer dimensies en snarentheorie In ST zijn deze extra dimensies ook noodzakelijk, want pas vanaf 10 ruimtelijke dimensies zijn er stabiele snaar- vibraties, in minder dimensies bestaan geen stabiele snaren! ST heeft dus echt minimaal 10 dimensies nodig: daarvan is 1 tijd en de rest ruimtelijke dimensie. Zonder die 10 dimensies is er geen zinvolle ST !!! 0. Korte samenvatting van voorgaande

19 19 Hoe zien de opgerolde dimensies er uit? De extra ruimtelijke dimensies kunnen niet zomaar lukraak opgerold worden. In 1984 vond men dat slechts een bepaalde meetkundige klasse van 6-D objecten aan alle noodzakelijke voorwaarden voldeed. Dit zijn de zg Calabi-Yau ruimten. 0. Korte samenvatting van voorgaande

20 20 Hoe zien de opgerolde dimensies er uit? Een 6D Calabi-Yau ruimte geprojecteerd op 3D ziet er zo uit: 0. Korte samenvatting van voorgaande

21 21 Op elk punt van de ruimtetijd zit nu zo’n 6-dimensionale Calabi-Yau ruimte. Het is dus in deze totale 10-D ruimte dat de supersnaren moeten trillen! 0. Korte samenvatting van voorgaande

22 22 Wat gebeurt er als we de ruimte laten krimpen of groeien? In de klassieke puntdeeltjes-natuurkunde is er geen beperking hoe klein het heelal kan worden. Verder laat de Riemann-meetkunde dus de AR theorie toe dat de ruimtetijd willekeurig klein kan worden gemaakt (of althans gedacht). Nieuw aan de snaartheorie is dat de snaren verhinderen dat de ruimte willekeurig klein worden. Zowel open, gesloten, als gewonden snaren. 0. Korte samenvatting van voorgaande

23 23 Gesloten snaren kunnen om de gekromde dimensie zitten. Dat heeft grote gevolgen 0. Korte samenvatting van voorgaande

24 24 Interacties 0. Korte samenvatting van voorgaande

25 25 Interacties 0. Korte samenvatting van voorgaande

26 26 Interacties 0. Korte samenvatting van voorgaande

27 27 Het Spectrum van Snaar-states Ordinare vibraties: gewone trillingen in de snaar : omgekeerd evenredig met straal R van opgerolde dimensie (dus 1/R) : recht evenredig met het trillingsgetal T Uniforme vibraties: bewegingen van de gehele snaar : recht evenredig met straal R van opgerolde dimensie (dus R) : recht evenreding met windingsgetal W p Korte samenvatting van voorgaande

28 28 Snaar spectra windingsgetaltrillingsgetalTotale Energie Straal RWTT/R + W*R 0. Korte samenvatting van voorgaande

29 29 Snaar spectra windingsgetaltrillingsgetalTotale Energie Straal 10233/ = 20.3 Straal 1/ /10 = Korte samenvatting van voorgaande windingsgetaltrillingsgetalTotale Energie Straal 10544/ = 50.4 Straal 1/ /10 = 50.4

30 30 Het Spectrum van Snaar-states Hierdoor zijn straat R en straal 1/R on-onderscheidbaar geworden Het is onmogelijk on een fysisch experiment te bedenken waarmee je kunt testen of het heelal een straal R dan wel 1/R heeft (NB voor gemak h even op 1 gesteld) 0. Korte samenvatting van voorgaande

31 31 De kleinste afstand Om te meten hebben we alleen het lichtste soort foton beschikbaar; dat is de ongewonden in een groot heelal (R groter dan h ), en de gewonden in een klein heelal (R kleiner dan h ). Beide methoden geven lengten voor de ruimtestraal groter dan h. Op deze manier blijven wederom lengten kleiner dan de Planck-schaal h onbereikbaar. Dit komt omdat het fysisch begrip ‘afstand’ subtiel is. Bij opgerolde dimensies kleiner dan h, past toch een heelal met kromtestraal groter dan h. 0. Korte samenvatting van voorgaande

32 32 De Spiegelsymmetrie De ruimtetijd is de klankkast van de strings en bepaalt hoe we ze waarnemen: de natuurwetten. We zagen net dat gekromde ruimten met straal R en straal 1/R ononderscheidbaar zijn. We kunnen niet door een experiment beslissen in welke we zitten. Daardoor lijkt het alsof steeds in een groot heelal zitten. Zijn er meer klassen van ruimte die topologisch ‘anders’ zijn, maar die we niet kunnen onderscheiden? 0. Korte samenvatting van voorgaande

33 33 Denk eraan, dit is een 3D-projectie van een 6D-plaatje! 0. Korte samenvatting van voorgaande Het kan zijn dat dit gat in zijn definitie 5D nodig heeft En dit gat 4D En dit 3D En dit gat 2 D En dit gat 6D Totaal 5 gaten: 3 in even aantal, 2 in oneven aantal D

34 34 Orbifolding Calabi-Yau ruimten 0. Korte samenvatting van voorgaande Het aantal even-D gaten in CYR1 = het aantal oneven-D gaten in CYR2 Het aantal oneven-D gaten in CYR1 = het aantal even-D gaten in CYR2 Het totaal aantal gaten in CYR1 = Het totaal aantal gaten in CYR2 CYR1 CYR2

35 35 De Spiegelsymmetrie Spiegel-varieteit: (Greene, Plesser, Candelas, 1987) Spiegel-paren: Topologisch verschillende CYRn die natuurkundig equivalent zijn (dus dezelfde natuurwetten geven). p Korte samenvatting van voorgaande Spiegel-paren

36 36 De Natuurkunde van Spiegelsymmetrie Wiskundigen werkten al aan Calabi-Yau ruimten (CYRn) ver voor de snarentheorie in de z.g. Algebraische Geometrie. Sommige eigenschappen van CYRn waren echter veel te moeilijk om op te lossen. Maar dankzij spiegel-varieteiten uit snaartheorie is er een leuke oplossing. De spiegel-varieteit van een ‘moeilijke’ CYR blijkt een makkelijke CYR! p Korte samenvatting van voorgaande Spiegel-paren makkelijk moeilijk

37 37  Kan ruimtetijd plaatselijk scheuren tgv grote krachten of drukken?  ‘Scheuren’ is hier in de topologische betekenis van het woord.  In de Algemene Relativiteits Theorie van Einstein kan de ruimte niet scheuren.  Maar kan dit wel in snaartheorie?  In ST blijkt de ruimte wel te kunnen scheuren! 0. Korte samenvatting van voorgaande

38 38 Het Spiegel-perspectief Bewijs dat als B het SP van A is dat A’ het SP van B’ is. En dat de fysica van A’ en B’ hetzelfde zijn. Dit blijkt precies waar te zijn! Dus kan de ruimte echt scheuren! Maar waarom merken we daar niets van??? 0. Korte samenvatting van voorgaande boven: ruimte-scheurende flop-overgang onder: vanuit het spiegelperspectief AA’ BB’

39 39 De Verklaring volgens Witten Waarom merken we niet dat de ruimte scheurt? Edward Witten liet zien dat als een snaar de scheur omcirkeld (iets wat een puntdeeltje niet kan doen) dat deze de catastrophale effecten van de scheur voor de rest van de kosmos afschermd. 0. Korte samenvatting van voorgaande

40 40 De Verklaring volgens Witten Denk aan het wezenlijke kenmerk van de Quantum Mechanica: alle mogelijke paden van begin tot eind worden feitelijk bewandeld! 0. Korte samenvatting van voorgaande Maar wat als er geen snaar is die de scheur omcirkeld ?

41 41 Sommeren over alle mogelijke paden 0. Korte samenvatting van voorgaande

42 42 De gevolgen van scheurende ruimten Er zijn geen drastische gevolgen van scheuren in de ruimte, wel varieren de massa’s van de deeltjes licht maar niet abrupt. Kunnen deze scheuren ook in de ‘echte’ grote dimensies gebeuren? Ja, wederom vanwege de dualiteit tussen groot en klein Kunnen deze scheuren ook vandaag of morgen gebeuren, of in het verleden? Ja, maar de massa’s van elementaire deeltjes blijkt heel erg stabiel te zijn. Misschien zitten we wel in zo’n breuk. 0. Korte samenvatting van voorgaande

43 43 Scheuren en discontinuiteiten 0. Korte samenvatting van voorgaande

44 44 VERVOLG

45 45 Een Theorie voor Alles 1.De tweede superstringrevolutie 2.Duale partners 3.Superzwaartekracht 4.De ‘M’ van M-theorie

46 46 1. De tweede superstringrevolutie Het grote probleem in snaartheorie is dat er 5 totaal verschillende snaartheorieen (STs) zijn. Tot 1995 was er een sektarische strijd tussen de vijf STs en dacht men dat er een waar was en de anderen niet. In 1995 beschreef Edward Witten hoe die 5 STs samen met Superzwaartekracht SUGR samen één enkele theorie vormen: de zg M-theorie.

47 47 De Ultieme Theorie 1. De tweede superstringrevolutie Is er misschien maar één enkele manier waarop de Natuurwetten logisch in elkaar kunnen zitten, zodanig dat zelfs God geen enkele vrijheid had om andere te maken dan deze? (Einstein, in zijn speurtocht naar de “Grand Unified Theory”) p 283

48 48 De Ultieme Theorie 1. De tweede superstringrevolutie Zou het zo kunnen zijn dat er dus geen andere theorie mogelijk is dan de enige ultieme? Dat andere theorieen paradoxen of tegenspraken bevatten. (D it doet aan Descartes denken …) Maar waarom zijn er dan vijf verschillende van? p 283

49 49 5 Snaartheorieën 1. De tweede superstringrevolutie Het grote probleem in snaartheorie is dat er 5 totaal verschillende snaartheorieen (STs) zijn. Tot 1995 was er een sektarische strijd tussen de vijf STs en dacht men dat er een waar was en de anderen niet. In 1995 beschreef Edward Witten hoe die 5 STs samen met Superzwaartekracht SUGR samen één enkele theorie vormen: de zg M-theorie. p 283

50 50 Meerduidige Snaartheorieën 1. De tweede superstringrevolutie Wat was de verwarring? Snaartheorien staan op twee verschillende manieren meerdere oplossingen toe. [1] Er zijn vijf verschillende snaartheorieen. Ze hebben veel overeenkomsten: de manier waarop ze vibreren, de massa’s en (hyper)ladingen, de struktuur van de ruimte die ze opleggen (Calabi-Yau), maar ook wezenlijke verschillen

51 51 1. De tweede superstringrevolutie

52 52 Vijf Snaartheorieën 1. De tweede superstringrevolutie

53 53 Type II Snaartheorieën 1. De tweede superstringrevolutie Beide type II STs zijn supersymmetrisch. Echter, in type IIA zijn klokrichting en tegenklokrichting rotaties anders, terwijl deze in type IIB identiek zijn (verschillende fysische eigenschappen, bv vibratiepatronen).

54 54 Heterotische Snaartheorieën 1. De tweede superstringrevolutie Beide Heterotische STs zijn zeer verschillend maar ook SUSY. Voor kloksgewijze rotaties zijn de snaren identiek aan type II snaren. Maar voor tegen-kloksgewijze rotaties zijn ze gelijk aan de originele 26D Bosonische snaren (van Suskind uit 1969). Deze schijnbare tegenspraak (Grieks: heterosis) valt enigszins te begrijpen doordat de extra 16D zeer compact zijn opgerold. Er zijn twee manieren waarop die extra 16D opgevouwen kunnen zijn: (Heterotic SO(32): H-O en Heterotic E8xE8: H-E) – dit is de reden van hun verschillende naam. p XXX

55 55 Type I Snaartheorie 1. De tweede superstringrevolutie Het type I ST lijkt veel op type IIB ST, maar hier zijn ook open snaren toegestaan, terwijl in type II alleen gesloten snaren zijn.

56 56 Meerduidigheid in STs 1. De tweede superstringrevolutie Behalve dat er vijf verschillende STs zijn nog dit: [2] Elke snaartheorie lijkt meerdere oplossingen te hebben. Bijvoorbeeld de vergelijking: twee maal een bepaald getal is 10 (dat is: 2X = 10) heeft één oplosing: 5 (X = 5). Maar de vergelijking: nul maal een bepaald getal is 0 (dat is: 0X = 0) heeft oneindig veel oplossingen (want elk getal keer nul is nul). p 284

57 57 Meerduidige Snaartheorieën 1. De tweede superstringrevolutie Ook deze meerduidigheid is van toepassing; de STs staan meerdere oplossingen toe, en welke daarvan beschrijven onze wereld? Nu is duidelijk dat dit veroorzaakt wordt omdat we alleen met benaderde vergelijkingen werken, domweg omdat we de echte vergelijking nog niet kennen. Ook is duidelijk dat de vijf verschuillende STs in een ‘betere’ opzet gewoon facetten van één enkele theorie (‘M’) zijn. p 285

58 58 Nieuw in de 2e SSRev 1. De tweede superstringrevolutie Edward Witten heeft geschetst hoe de 5 STs samenhangen, namelijk door dualiteiten. Wezenlijk is het volgende: 1. Op deze manier zijn al deze 10D-theorieen onderdeel van één enkele 11D-theorie – de M-theorie. Net als bij ART en in Kaluza-theorie de ene extra D verschillende krachten verenigd, kan deze ene extra D de verschillende STs verenigen. Deze extra D is er echter niet kunstmatig bijgehaald maar eerder over het hoofd gezien. p 287

59 59 Nieuw in de 2e SSRev 1. De tweede superstringrevolutie 2. De ‘ingredienten’ in M-theorie zijn niet alleen de 1D- strings, maar ook 2D-membranen (genaamd branen of 2- branen), 3D-bubbels (3-branen) en nog meer complexe en hoger-dimensionale ‘dingen’ (de zg p-branen). Op deze manier biedt M-theorie een prachtig overkoepelende theorie die alle vijf STs verenigd. Grootste probleem: M-theorie bestaat nog niet! We kennen alleen enkele groffe corrspondenties. p 288

60 60 De Vergelijkingen van de STs 1. De tweede superstringrevolutie Elk van de STs zijn vanuit een fysisch redelijk standpunt geformuleerd. De verwachting was dat ze allen eigenlijk equivalent zouden moeten zijn. In de klassieke natuurkunde was dat al eerder gebeurd, zowel de (i) Newton-, (ii) Lagraniaan-, (iii) Hamiltoniaan-, (iv) ‘kleinste actie’-, en (v) ergoden- methode geven allemaal oplossingen die exact analoog zijn hoewel de wiskundige beschrijving geheel anders is. Het zijn als het ware andere invalshoeken. Bv: Newton geeft de geparameteriseerde baan terwijl de lagrangiaan de curve geeft. p 288

61 61 De vergelijkingen van snaartheorie 1. De tweede superstringrevolutie Bij elk van de STs zijn niet alleen de beschrijvingen anders, ook de oplossingen zijn totaal anders! Zijn dus echt verschillend! Dat gegeven werd (voor 1995) nooit goed begrepen en gold als een serieus tegenagument tegen ST in het geheel! p 295

62 62 De vergelijkingen van snaartheorie 1. De tweede superstringrevolutie Wat we zoeken is één vergelijking die de interactie tussen snaren beschrijft. Elk van de STs heeft zo’n impliciete vergelijking, en die bevat een vrije constante g die de sterkte van de koppeling tussen snaren beschrijft – de zg koppelingsconstante. p 295

63 63 Storingsrekening 1. De tweede superstringrevolutie De vergelijkingen voor de STs zijn zo algemeen dat alleen met groffe benaderingen ruwweg iets benaderd kan worden. Onze kennis over de vijf STs is gebaseerd op zg perturbatie- methoden oftewel “storingsrekening”. Dit gaat vaak aan de hand van termen: * term 1 (lineair) is al heel dichtbij de ‘echte’ oplossing – zeg 95% correct * term 2 (kwadratisch) geeft een kleine correctie op term 1 – tot zeg 98% * term 3 (3e macht) geeft nog kleinere correctie – tot zeg 99,5% In principe zijn er oneindig veel termen, maar hun bijdrage wordt progressief kleiner. p 288

64 64 Storingsrekening 1. De tweede superstringrevolutie De storingsrekening werkt dus in ontwikkeling van storingstermen. De bijdrage van elke term wordt bepaald door de zg koppelingsconstante g. In het algemeen ziet de schatting eruit als: schatting ≈ term0 + g.term1 + g 2.term2 + g 3.term3 + … p 288

65 65 Storingsrekening 1. De tweede superstringrevolutie schatting ≈ term0 + g.term1 + g 2.term2 + g 3.term3 + … Als de koppelingsconstante g kleiner is dan 1 werkt dit prima, bv als alle termen 1 zijn en de g = 0.1: schatting ≈ … = Als de koppelingsconstante g echter groter is dan of gelijk 1 werkt dit totaal niet, bv als alle termen 1 zijn en de g = 10: schatting ≈ … = 1111… = ∞ Voor storingsreeksen is de waarde de koppelingsconstante g dus van groot belang – ze moet kleiner dan 1 zijn!!! p 288

66 66 Storingsrekening 1. De tweede superstringrevolutie Storingsrekening wordt al eeuwen met succes toegepast, bv bij het berekenen van kometenbanen: term0 = invloed van zon term1 = invloed van Jupiter etcetera … De koppelingsconstante g is hier: totale_massa_planeten/massa_zon p 288

67 67 Storingsrekening 1. De tweede superstringrevolutie Als de koppelingsconstante g = totale_massa_planeten/massa_zon niet kleiner dan 1 is werk deze aanpak niet! Bv: het drielichamen-probleem p 288

68 68 Storingsrekening 1. De tweede superstringrevolutie Ander probleem: met storingsreeksen kom je niet tot complex, niet-lineair gedrag. Voorbeeld : de niet-harmonische slinger De koppelingsconstante g is hier ≈ v 2 /g Voor kleine uitwijkingen (v 2 /g <<1) krijgen we de bekende slingerbeweging p 288

69 69

70 70 De vergelijkingen van snaartheorie 1. De tweede superstringrevolutie Als we dus storingsreeksen (perturbatietheorie) willen toepassen op ST moeten we weten hoe groot de koppelingsconstante g is. Als we echter proberen te berekenen hoe groot die g is krijgen we een vergelijking als: 0xg = 0 Dat betekent dat we de koppelingsconstante g niet op deze manier kunnen berekenen! En dus niet weten of storings- rekening mag worden toegepast! p 295

71 71 De vergelijkingen van snaartheorie 1. De tweede superstringrevolutie Wat betekent dit voor ST? 1. De vergelijkingen laten echt meerdere oplossingen toe 2. De koppelingsconstante g is gewoon niet kleiner dan 1 en dus mogen we geen storingsontwikkeling toepassen, en daarom verschillen de 5 STs. 3. De koppelingsconstante g is wel kleiner dan 1 maar de termen (term1, term2,..) worden steeds groter zodanig dat het niet sommeert tot een eindig getal. p 296

72 72 De vergelijkingen van snaartheorie 1. De tweede superstringrevolutie Dit alles betekent dat we echt behoefte hebben aan een andere exacte aanpak voor ST die niet gebaseerd is op stroringsreeksen. p 297

73 73 2. Duale partners Wat nu zijn de relaties tussen de 5 verschillende STs? Hierbij blijkt het begrip dualiteit van groot belang te zijn. We zijn het begrip al twee keer tegen gekomen: de dualiteit klein-groot, en de spiegel-symmetrie. p 297

74 74 Wat is dualiteit? 2. Duale partners Natuurkundige gebruiken het begrip dualiteit als (twee) verschillende modellen dezelfde natuurkundige werkelijkheid beschrijven. Voorbeeld 1: translatie van 1 m (of wat dan ook) maakt geen verschil voor de natuurwetten, ook niet voor een rotatie, of zelfs voor een eenparige beweging (Einstein’s inertiaal- stelsels). Voorbeeld 2: Een natuurkundige theorie in Chinees of Nederlands vertellen (nou ja...) p 298

75 75 Wat is dualiteit? 2. Duale partners Deze voorbeelden heten triviale dualiteiten. We hebben al eerder (vorige lezing) twee niet-triviale dualiteiten gezien: * groot-klein (R versus 1/R) (de zg T-dualiteit) * spiegel-symmetrie van Calabi-Yau ruimten in 6D. p 298

76 76 Wat is dualiteit? 2. Duale partners Edward Witten heeft in 1995 laten zien dat er verscheidene dualiteiten bestaan tussen bepaalde STs, en dat ze dus eigenlijk één werkelijkheid weergeven. De reden waarom we 5 STs zien, is omdat ze allemaal verschillend zijn voor kleine waarden van hun koppelingsconstanten (g I, g IIA, g IIB, g HO, g HE ) – typisch de waarden waarop we storingsrekening konden uitvoeren. Dat heet als een ST zg zwak-gekoppeld is – dat is g << 1. p 299

77 77 Wat is dualiteit? 2. Duale partners Wat bleek nu (dankzij Witten 1995) tot ieders verbazing?: dat een bepaalde zwak-gekoppelde ST de duale beschrijving is van een andere sterk-gekoppelde theorie (dat is g >> 1). Vergelijk dit met drie mensen waarvan een alleen water, een andere alleen ijs, en een derde alleen stoom kent. Alle drie hebben een ander beeld van deze stof – tot ze er achter komen dat alle drie modellen één stof beschrijven: H 2 O. p 300

78 78 De kracht van symmetrie 2. Duale partners Symmetrie maakt dat we meer weten over de oplossing: Als je een deel van de oplossing kent kun je mbv symmetrie het geheel volledig reconstrueren. p 300

79 79 De kracht van symmetrie 2. Duale partners

80 80 De kracht van symmetrie 2. Duale partners Het is door gebruik te maken van zulke sterke symmetrieën dat Witten de dualiteiten tussen de STs kon ontdekken. Hij gebruikte nl de zg BPS-states, en die zijn gebaseerd op supersymmetrie SUSY. p 300

81 81 BPS states 2. Duale partners BPS-toestanden: E. Bogolny, Prasad, en Sommerfield konden door gebruik te maken van SUSY (super- symmetrie) en van het gegeven van de minimale massa- per-lading uniek de identiteit van een deeltje (= snaar) bepalen – zonder storingsrekening! Dus om een deeltje in een doos met gegeven lading de kleinst-mogelijke massa geven. Zulke toestanden heten naar hen: BPS-states. Dit is natuurlijk een heel klein deel van M-theorie, maar dit kunnen we tenminste helemaal exact berekenen!!! p 303

82 82 De kracht van symmetrie 2. Duale partners BPS-toestanden: De Bogomol'nyi-Prasad-Sommerfeld grens is een ongelijkheid voor de oplossingen voor een dynamisch systeem. Als we aanemen dat de toestand verzadigd is dan geldt het gelijk-teken ( = ) en kunnen we dus de ondergrens E exact berekenen. Deze verzadigde oplossingen heten BPS states en zijn dus zonder storingsreeksen te berekenen!!!

83 83 Van BPS naar dualiteit in ST 2. Duale partners Laten we eens kijken naar bv een type I-snaar met zwakke koppeling (g I << 1). Laten we nu eens naar de BPS-states kijken van deze snaar – die kunnen we tenminste berekenen onafhankelijk van g I. Wat blijkt nu: de sterke koppelings eigenschappen van type I (g I >>1) zijn exact gelijk aan de zwakke koppelings- eigenschappen van de Heterotic-O snaar (g HO <<1)!!! Sterker nog blijkt dat: g HO * g I = 1 !!! HO en I zijn dus duale theorieen!!! p 304

84 84 Van BPS naar dualiteit in ST 2. Duale partners De BPS-states bieden nu een anker (of hefkraan) om de STs te onderzoeken onafhankelijk van de waarden van de koppelingsconstanten. p 304

85 85 Dus wat is de dualiteit in STs? 2. Duale partners Sommige van de STs zijn op deze manier verbonden door dualiteiten (dit is de zg sterk-zwakke dualiteit of S-dualiteit): p 306

86 86 3. Superzwaartekracht Er is nog een andere verbinding: voor lage energieen (veel lager dan de Planck-schaal) lijken snaren gewoon puntdeeltjes. Dan is traditionele QFT van toepassing. Deze theorie is Super-symmetrische zwaartekrachts- theorie, ook bekend als de 11D supergravity (SUGR). p 307

87 87 11D SUGRA 3. Superzwaartekracht Superzwaartekracht (ENG: supergravity theory: SUGRA) is een kwantumveldentheorie die de principes van lokale SUSY (supersymmetrie) en ART (algemene relativiteitstheorie) combineert. p 307

88 88 11D SUGRA 3. Superzwaartekracht Werner Nahm toonde aan dat 11 dimensies het grootste aantal dimensies was dat consistent is met een enkelvoudige graviton, en dat een theorie met meer dimensies ook deeltjes zou hebben met spins groter dan 2. (of je moet multiple-tijden toelaten) → D ≤ 11 Iets later toonde Ed Witten aan dat 11 het kleinste aantal dimensies was dat groot genoeg was om de zg ijkgroepen van het Standaard Model te bevatten → D ≥ 11. Dus: D = 11 !!! p 307

89 89 Intermediaire koppelings-waarden 3. Superzwaartekracht In 1995 liet Witten zien dat voor bv type IIA snaar de koppelingsconstante laten toenemen tot waarden ver voorbij 1, dat de BPS-verzadigde states in lage-energie benadering gelijk is aan 11D-SUGRA!!! Met andere woorden: 11D-SUGRA is de benadering van de werkelijkheid als de energieën veel kleiner zijn dan de Planck-schaal – en de snaren dus puntmassa’s lijken. p

90 90 11D SUGRA 3. Superzwaartekracht Dit verklaart ook (achteraf) waarom er vier SUGRAs waren: SUGRA-1 : type IIA ST SUGRA-2 : type IIB ST SUGRA-3 : type Heterotic-E ST SUGRA-4 : type I + Heterotic-O STs In alle gevallen zijn de SUGRAs de lage-energie benaderingen van de STs. Overigens laat de laatste equivalentie (achteraf) al de dualiteit tussen type I + Heterotic-O STs zien. p 308

91 91 De rol van de koppelingsconstanten 3. Superzwaartekracht Ed Witten liet zien dat de lage-energie benadering van 11D- SUGRA blijft behouden voor alle waarden van de koppelingsconstanten. (Hij deed dat door gebruik te maken van verzadigde BPS-states) Daarmee toonde hij aan dat de natuur van alle STs wezenlijk 11D is! Die 11e D was vanwege de storingsreeks nooit duidelijk geworden! p 308/309

92 92 De rol van de koppelingsconstanten 3. Superzwaartekracht Maar er is iets geheels nieuws en onverwachts aan de hand: Als we een koppelings-constante laten toenemen, komt er opeens een nieuwe dimensie bij!!! Dit is een nieuwe – tiende – ruimtelijke dimensie, dus met tijd erbij totaal 11Ds. p 309

93 93 3. Superzwaartekracht

94 94 De rol van de koppelingsconstanten 3. Superzwaartekracht Hieruit blijkt ook dat de HE-snaar eigenlijk een 2D lint is ipv een 1D elastiekje. De breedte van dit HE-membraan wordt bepaald door de koppelingsconstante g HE. Als g HE = 0 dan is het een pure snaar, anders een lint. Analoog bij type IIA, daar vervormt de snaar tot een torus met doorsnede g IIA. Een soort ‘interne’ dimensie. Verdere analyse liet zien dat de nieuwe extra dimensie speciaal was: ze is niet toegankelijk voor vibraties van de snaar! Daardoor blijven alle conclusies van de 10D-STs gewoon overeind. p 310

95 95 De rol van de koppelingsconstanten 3. Superzwaartekracht Hieruit blijkt dat de nieuwe extra dimensie de snaar/membraan zeer zwaar maakt, ze zullen dus erg zeldzaam zijn. Des te meer reden waarom de 10D-STs van belang blijven!

96 96 De rol van de koppelingsconstanten 3. Superzwaartekracht Wat nu is de 11D theorie? Voor lage energieën is het de 11D- SUGRA, maar wat voor hoge energieën? NIEMAND DIE HET WEET! Om die reden noemde Witten de theorie ‘M’-theorie met M van: Mysterious, mother, matrix, membrane, maar ook ‘murky’ en ‘missing’. p

97 97 4. De ‘M’ van M-theorie In 1995 beschreef Edward Witten hoe de vijf STs met 11D- SUGRA samen onderdeel zouden kunnen zijn van een enkele 11D theorie: de M-theorie. p 312

98 98 Een spinneweb van relaties 4. De ‘M’ van M-Theorie We kunnen nu een web van relaties tussen de STs schetsen: T-dualiteit tussen type I en type HO, en tussen M-theorie en HE en type IIA. Verder is type IIB zelf-duaal: het is duaal aan zichzelf. S-dualiteit bestaat tussen HO en HE en type IIA en type IIB. Zo komen we tot het volgende web: p 313

99 99 Titel De S en T dualiteiten tussen de STs en M-theorie. 4. De ‘M’van M-theorie

100 100 Het gehele plaatje 4. De ‘M’ van M-Theorie We kunnen nu ook het gehele plaatje laten zien, de relatie tussen M-theorie en de vijf STs, en de relatie tot 11D- SUGRA. * De STs zijn benaderingen van M-theorie voor een lage waarde van hun koppelingsparameter: het zijn ieder voor zich de uithoeken van de M-ruimte. * 11D-SUGRA is de lage-energie-benadering van M-theorie, en relateert met de vier typen 10D SUGRA voor lage koppelingswaarden. p 314

101 101 M-theorie

102 102 Nog een verrassende eigenschap van M-theorie 4. De ‘M’ van M-Theorie De hoger-dimensionale branes (p-branes) komen in alle STs voor. (wandel maar in gedachten door M-ruimte door de koppelingswaarden te variëren). Nu weten we (weer gebruik maken van BPS-states) dat er 1D-, 2D-, 3D-, …, 8D-, 9D-branes kunnen zijn! Maar 1D-branes (dus snaren) zijn speciaal; binnen alle 5 STs geldt voor alle p-branes met p>1 geldt dat hun massa omgekeerd evenredig is met de koppelingsconstante: m ≈ 1/g. Daarom zijn p-branes met p>1 enorm massief! p 316/317

103 103 Nog een verrassende eigenschap van M-theorie 4. De ‘M’ van M-Theorie Als we echter buiten de uithoeken van de 5 STs wandelen naar het centrale gebied in de M-ruimte geldt deze beperking niet meer, en hier kunnen p-branes lichtere massa’s hebben. Dat centrale deel kan dus bevolkt met allerhande p-branes. p 317

104 De ‘M’ van M-Theorie p-branes

105 105 Nog een verrassende eigenschap van M-theorie 4. De ‘M’ van M-Theorie Verder blijken er relaties te bestaan tussen p- branes en open snaren. Het blijkt dat open snaren (dus van type I) met een vrij uiteinde vast kunnen zitten in een hoger- dimensionale p-brane, een zg Dirichlet p-brane (Polchinski 1995).

106 106 Nog een verrassende eigenschap van M-theorie 4. De ‘M’ van M-Theorie Bestaan er ook zulke beperkingen tussen p-branes en gesloten snaren?

107 107 Membraan Interacties 4. De ‘M’ van M-Theorie Een van de redenen dat M-theorie zo moeilijk formuleerbaar is is dat het aantal mogelijke membranen in verschillende dimensies exponentieel toeneemt. Bijvoorbeeld voor 3-dimensionale hypervlakken heb je te maken met vaste objecten met knoop-vormige gaten, en is de gehele knopen theorie nodig om deze te klassificeren. Omdat M-Theorie in 11D is gedefinieerd wordt dit probleem nog moeilijker! Echter, net als in ST moet M-theorie om causaal te zijn strikt lokaal zijn, dus topologie-veranderingen kunnen alleen per punt voorkomen. De elementaire orienteerbare 2-brane interacties kunnen we wel tonen. Orienteerbare 2-branes zijn veel-gatige torussen met meerdere gaten eruit gesneden.

108 108 Knopentheorie 4. De ‘M’ van M-Theorie Knopentheorie is een deelgebied van de topologie. De topologie bestudeert eigenschappen van lichamen die niet veranderen bij continue vervorming. Knopentheorie onderzoekt welke knopen in elkaar kunnen worden vervormd. Daarbij is een knoop een wiskundige idealisering van een stuk touw waarvan de eindjes zijn samengebonden.

109 De ‘M’ van M-Theorie

110 110 Zijn hiermee alle vragen beantwoord? 4. De ‘M’ van M-Theorie Ja en Nee. Ja: we hebben nu een vaag idee van een overkoepelende theorie. Nee: we hebben nog geen exacte vergelijkingen; alleen benaderende voor de 5 STs en voor lage energie in 11D- SUGRA. Nee: waarom zijn er precies 3-niet opgerolde ruimtelijke dimensies en 1-tijd, wat is die extra 11e-dimensie, waarom zien we geen monopolen, waarom geen SUSY, … ??? p 318

111 De ‘M’ van M-Theorie Sommigen voorspelden hierop het einde van de wetenschap. …

112 112 De uitdaging 4. De ‘M’ van M-Theorie * Welk punt in de M-ruimte stelt onze wereld voor? * Waarom dat punt? * Daarvoor moeten we de volledige en exacte vergelijkingen van M-theorie eerst vinden – en oplossen. Dit is het programma voor Grand Unification in de 21 e eeuw. p 319

113 113 Snaren Theorie EINDE LEZING 5


Download ppt "1 Snaren Theorie Dr. Ronald Westra Universiteit Maastricht, vakgroep Wiskunde."

Verwante presentaties


Ads door Google