De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

1 Methodologie & Statistiek I Toetsen van twee gemiddelden 6.1.

Verwante presentaties


Presentatie over: "1 Methodologie & Statistiek I Toetsen van twee gemiddelden 6.1."— Transcript van de presentatie:

1 1 Methodologie & Statistiek I Toetsen van twee gemiddelden 6.1

2 2 U kunt deze presentatie ook op uw eigen PC afspelen! Gebruikmaken van internet:  Education  Health sciences  Presentations of lectures “op dit moment ……. beschikbaar Opening --- Hoofdstuk 5 (Principes van …) --- Powerpointviewer downloaden”

3 3 Deze diapresentatie werd vervaardigd door Tjaart Imbos & Michel Janssen van de Capaciteitsgroep Methodologie en Statistiek. De presentatie mag alleen worden gecopieerd voor eigen gebruik door studenten en medewerkers van de Universiteit Limburg in Maastricht. Met eventuele op- en aanmerkingen kunt u terecht bij: Universiteit Maastricht Capaciteitsgroep M&S Tjaart Imbos Postbus MD

4 4 Methodologie & Statistiek I Toetsen van twee gemiddelden februari 2002

5 5 Toetsen van één gemiddelde Kijken of de steekproef met dat bepaalde gemiddelde redelijkerwijs afkomstig kan zijn uit een populatie met een  waarvan in de hypothesen werd uitgegaan. De vraag was te beantwoorden omdat de verdeling van x-gemiddelden uit de veronderstelde populatie (H 0 ) bekend is.  bekend: z-toets  niet bekend: t-toets

6 6 Hoe extreem is de gevonden steekproefwaarde binnen de verdeling van de toetsingsgrootheid

7 7 Toetsen van twee gemiddelden Toetsen van gemiddelden van twee steekproeven

8 8 Er worden twee situaties onderscheiden 1.afhankelijke of gepaarde steekproeven 2.onafhankelijke of niet gepaarde steekproeven Keuze wordt bepaald door de opzet van het onderzoek voorbeeld……..

9 9 afhankelijke of gepaarde steekproeven Onderzoek naar het rendement van twee soorten benzines. Men wil een aantal auto’s op de ene soort en een aantal auto’s op de andere soort laten rijden en de afstand (mijlen) meten die wordt gereden op 1 gallon van de betreffende benzine.

10 10 afhankelijke of gepaarde steekproeven Onderzoek naar het rendement van twee soorten benzines. Men wil een aantal auto’s op de ene soort en een aantal auto’s op de andere soort laten rijden en de afstand (mijlen) meten die wordt gereden op 1 gallon van de betreffende benzine. Men realiseert zich op tijd dat het rendement van de auto’s mede afhankelijk is van merk/model en zelfs binnen merk/model kan variëren oplossing ???

11 11 afhankelijke of gepaarde steekproeven oplossing:Laat tien verschillende auto’s achtereenvolgens op de twee soorten benzine rijden en ga na of er per auto verschil is in de gereden afstand. Aan elk element in de steekproef worden twee metingen verricht Model wordt gebruikt in situaties waar sprake is van een voor- en nameting

12 12 Aantal mijlen dat 10 auto’s afleggen op 1 gallon soort benzine Auto A B  afstand in mijlen, gereden op 1 gallon van de betreffende benzine

13 13 Aantal mijlen dat 10 auto’s afleggen op 1 gallon soort benzine Auto A B Redenering: Als er geen verschil zou zijn tussen de twee soorten benzines, zou het verschil in gereden mijlen ongeveer gelijk moeten zijn aan 0. H 0 : het verschil = 0 H A : het verschil > 0

14 14 Aantal mijlen dat 10 auto’s afleggen op 1 gallon soort benzine Auto A B verschil A  B 

15 15 Het twee-steekproevenprobleem is daarmee teruggebracht tot een probleem met een steekproef: Kan de steekproef (van verschillen) redelijkerwijs afkomstig zijn uit een populatie met  = 0 en onbekende 

16 16 De gemiddelden van alle steekproeven (n=10) uit de populatie met  = 0 zijn normaal verdeeld met verwachtingswaarde=0 en variantie=  2 /n Omdat  2 niet bekend is, wordt de s 2 van de steekproef als schatter gebruikt. De beste schatter van de variantie van de verdeling van steekproefgemiddelden is dan s 2 /n.

17 17 DE TOETS: maak gebruik van het kritieke gebied 1.Formuleer de nul-hypothese 2.Stel onbetrouwbaarheid (  ) vast 3.Kies de toetsingsgrootheid 4.Bepaal de verdeling van de toetsingsgrootheid 5.Bepaal kritieke gebied 6.Bereken toetsingsgrootheid t* 7.Trek conclusie: t* ligt in kritieke gebied: H 0 verwerpen t* ligt niet in kritieke gebied: H 0 niet verwerpen

18 18 1.Formuleer de H 0 2.Stel onbetrouwbaarheid (  ) vast 3.Kies de toetsingsgrootheid 4.Bepaal de verdeling van de toetsingsgrootheid 5.Bepaal kritieke gebied 6.Bereken toetsingsgrootheid t* 7.Trek conclusie: t* in kritieke gebied: H 0 verwerpen t* niet in kritieke gebied: H 0 niet verwerpen 1.Verwachtingswaarde verschillen = 0 H A : benzine A levert meer mijlen/gallon 2.Kies  is gelijk aan 0.05 (=eenzijdig) 3.Toetsingsgrootheid : 4.t* heeft een t-verdeling met 9 vrijheidsgraden 5.t(9,0.95)= Kritieke gebied: alle waarden rechts van

19 19 1.Formuleer de H 0 2.Stel onbetrouwbaarheid (  ) vast 3.Kies de toetsingsgrootheid 4.Bepaal de verdeling van de toetsingsgrootheid 5.Bepaal kritieke gebied 6.Bereken toetsingsgrootheid t* 7.Trek conclusie: t* in kritieke gebied: H 0 verwerpen t* niet in kritieke gebied: H 0 niet verwerpen 1.Verwachtingswaarde verschillen = 0 H A : benzine A levert meer mijlen/gallon 2.Kies  is gelijk aan 0.05 (=eenzijdig) 3.Toetsingsgrootheid : 4.t* heeft een t-verdeling met 9 vrijheidsgraden 5.t(9,0.95)= Kritieke gebied: alle waarden rechts van

20 20 Er werden twee situaties onderscheiden 1.afhankelijke of gepaarde steekproeven 2.onafhankelijke of niet gepaarde steekproeven Keuze wordt bepaald door de opzet van het onderzoek voorbeeld……..

21 21 onafhankelijke of niet gepaarde steekproeven Men doet onderzoek naar salarisverschillen tussen enerzijds docenten aan openbare scholen en anderzijds docenten aan privé-scholen. Men neemt een steekproef van de docenten aan de ene schoolsoort en een steekproef van de docenten aan de andere schoolsoort. De elementen in de ene steekproef hebben niets van doen met de elementen uit de andere steekproef.

22 22 Men doet onderzoek naar salarisverschillen tussen enerzijds docenten aan openbare scholen en anderzijds docenten aan privé-scholen. Men neemt een steekproef van de docenten aan de ene schoolsoort en een steekproef van de docenten aan de andere schoolsoort. De elementen in de ene steekproef hebben niets van doen met de elementen uit de andere steekproef. Er is sprake van twee populaties, met uit elk daarvan een steekproef.

23 23 steekproef-2 uit populatie-2: n= 35 steekproef-1 uit populatie-1: n= 30 Is het verschil ($ ) toevallig of niet

24 24 Om die vraag te kunnen beantwoorden moet je kennis hebben van het gedrag van het verschil tussen twee gemiddelden Net als, is ook een random-variabele

25 25 Trek uit populatie-1 met  1 en  1 ‘alle’ mogelijke steekproeven van n 1 stuks en bepaal de gemiddelden Wat valt er te zeggen over de verdeling van de steekproefgemiddelden?

26 26 Trek uit populatie-1 met  1 en   1 ‘alle’ mogelijke steekproeven van n 1 stuks en bepaal de gemiddelden Wat valt er te zeggen over de verdeling van de steekproefgemiddelden? De steekproefgemiddelden zijn, bij benadering, normaal verdeeld met verwachtingswaarde =  1 en variantie =   1 /n 1

27 27 Trek uit populatie-2 met  2 en   2 ‘alle’ mogelijke steekproeven van n 2 stuks en bepaal de gemiddelden Wat valt er te zeggen over de verdeling van de steekproefgemiddelden?

28 28 Trek uit populatie-2 met  2 en   2 ‘alle’ mogelijke steekproeven van n 2 stuks en bepaal de gemiddelden Wat valt er te zeggen over de verdeling van de steekproefgemiddelden? De steekproefgemiddelden zijn, bij benadering, normaal verdeeld met verwachtingswaarde =  2 en variantie =   2 /n 2

29 29 Geprojecteerd op het voorbeeld: Het gemiddelde van de steekproef met salarissen van leraren aan openbare scholen is een exemplaar uit de verdeling van de gemiddelden van alle steekproeven met leraarsalarissen aan openbare scholen. Het gemiddelde van de steekproef met salarissen van leraren aan prive scholen is een exemplaar uit de verdeling van de gemiddelden van alle steekproeven met leraarsalarissen aan prive scholen.

30 30 Het verschil ($ ) is een exemplaar uit de verdeling van alle verschillen Zijn exemplaren uit twee verdelingen van x-gemiddelden Als meer bekend is omtrent de verdeling van die verschillen is ook aan te geven hoe waarschijnlijk een bepaald verschil is.

31 31 Het verschil van twee verdelingen Verdeling A: normale verdeling met verwachtingswaarde:  A variantie:  2 A Verdeling B: normale verdeling met verwachtingswaarde:  B variantie:  2 B Verdeling A-B: normale verdeling met verwachtingswaarde:  A -  B variantie:  2 A +  2 B

32 A B gemiddelde A gemiddelde B gemiddelde (A-B) variantie A variantie B variantie (A-B)

33 33 Deze theorie toegepast op het voorbeeld Vaak stelt men in de H 0 dat

34 34 Deze theorie toegepast op het voorbeeld

35 35 steekproef-2 uit populatie-2: n= 35 steekproef-1 uit populatie-1: n= 30 Het voorbeeld van de leraren-salarissen Ga er van uit dat:  1 = $ en  2 = $ 14850

36 36 DE TOETS: maak gebruik van het kritieke gebied 1.Formuleer de nul-hypothese 2.Stel onbetrouwbaarheid (  ) vast 3.Kies de toetsingsgrootheid 4.Bepaal de verdeling van de toetsingsgrootheid 5.Bepaal kritieke gebied 6.Bereken toetsingsgrootheid t* 7.Trek conclusie: t* ligt in kritieke gebied: H 0 verwerpen t* ligt niet in kritieke gebied: H 0 niet verwerpen stap voor stap……………..

37 37 1.Formuleer de Nulhypothese  1 =  2 dus  1 –  2 = 0 2.Stel onbetrouwbaarheid (  ) vast  1  2 Formuleer de alternatieve hypothese Onbetrouwbaarheid  = 5%

38 38 3.Kies de toetsingsgrootheid 4.Verdeling toetsingsgrootheid

39 39 5.Bepaal kritieke gebied (in termen van z) tweezijdige toets  = 5% 2.5%

40 40 6.Bereken toetsingsgrootheid

41 41 De zojuist beschreven situatie, waarbij de varianties van beide populaties bekend zijn, zal in de praktijk niet zo vaak voorkomen. Als de populatie-varianties niet bekend zijn vormen de steekproefvarianties de best beschikbare schatters van de populatie-parameters.

42 42 Daarbij kunnen twee situaties worden onderscheiden: 1.De onbekende populatie-varianties zijn (ongeveer) gelijk aan elkaar. 2.De onbekende populaties-varianties zijn niet gelijk aan elkaar. Wanneer op basis van de beschikbare steekproeven moet worden gekozen tussen de twee mogelijkheden, staat een toets ter beschikking: F-toets

43 43 1.De onbekende populatie-varianties zijn (ongeveer) gelijk aan elkaar. Het voorbeeld van de leraren-salarissen wordt gebruikt. Omdat de populatie-varianties gelijk zijn aan elkaar zijn zowel s 1 als s 2 schatters van die populatie-variantie.

44 44 De gecombineerde schatter van de variantie (Eng. pooled variance) wordt als volgt berekend.

45 45 Bij bekende varianties was de toetsingsgrootheid deze was normaal verdeeld  1 en  2 worden vervangen door s p. De toetsingsgrootheid deze is t-verdeeld met n 1 +n 2 -2 vrijheidsgraden zie formule 6.7

46 46 Toegepast op het salarissen-voorbeeld: Het tabellenboek geeft geen informatie omtrent een t-verdeling met 63 vrijheidgraden: gebruik de z-verdeling: Conclusie bij  =5% tweezijdig?

47 47 Als niet mag worden verondersteld dat  1 gelijk is aan  2 (omdat bijvoorbeeld de F-toets die veronderstelling verwerpt) wordt de zaak aanzienlijk moeilijker. Er zijn diverse oplossingen. Een daarvan wordt in het boek besproken (par. 6.5) Voor het bepalen van het aantal vrijheidsgraden: zie formule 6.13

48 48 Ook als er sprake is van twee onafhankelijke steekproeven kan op basis van een BETROUWBAARHEIDSINTERVAL worden berekend. Uitgangspunt voorbeeld met bekende varianties.

49 49 De toetsingsgrootheid was: Het (100-  ) betrouwbaarheidsinterval:

50 50 Samenvatting toetsen voor gemiddelden van twee steekproeven 1.Twee gepaarde steekproeven herleiden tot een-steekproefprobleem 2.Twee onafhankelijke steekproeven a.populatie-varianties bekend b.populatie-varianties onbekend, maar gelijk c.populatie-varianties onbekend en ongelijk

51 51 F-toets voor het vergelijken van 2 varianties De toetsingsgrootheid is De grootste variantie komt in de teller!

52 52 Onder H0 is het quotient van de varianties F-verdeeld Met df(teller) n-1 die hoort bij steekproef met de grootste variantie Met df(noemer) n-1 die hoort bij steekproef met de kleinste variantie voorbeeld…………..

53 53 Steekproef-1: s 2 = 17 en n=5 Steekproef-2: s 2 = 48 en n=8 Onder H 0 is F-verdeeld met (7 en 4) df Uit de F-tabel (7,4) blijkt dat de berekende waarde (= ) tussen het 75ste (=2.079) en 90ste (=3.979) percentiel ligt. Op grond van deze waarden wordt H 0 dus NIET verworpen! SPSS: CDF.F(2.8235,7,4)

54 54

55 55


Download ppt "1 Methodologie & Statistiek I Toetsen van twee gemiddelden 6.1."

Verwante presentaties


Ads door Google